Loi normale - S. Tummarello

Loi normale
Objectifs
X Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre de la loi normale.
X Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité des événements
suivants : { X ∈ [µ − σ, µ + σ]}, { X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]} et { X ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ]}, lorsque X suit la
loi normale d’espérance µ et d’écart type σ.
X Déterminer les paramètres de la loi normale approximant une loi binomiale donnée.
X Savoir déterminer les paramètres des lois de aX + b, X + Y et X − Y dans le cas où X et Y sont des
variables aléatoires indépendantes.
X Savoir déterminer les paramètres de la loi normale correspondant à une moyenne dans le cadre du
théorème de la limite centrée.
1 – Loi normale centrée réduite
Définition
On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité de
probabilité f est donnée sur R par :
2
1
G(t) = √ e−t /2 .
2π
0,4
0,3
0,2
0,1
t
−3
−2
−1
1
2
3
Définition - Théorème
Si X suit la loi normale centrée réduite, on définit son espérance par :
E( X ) =
Z ∞
−∞
Z 0
t G(t)dt = lim
x →− ∞
x
t G(t)dt + lim
y→+ ∞
Z y
0
t G(t)dt ,
où G désigne la densité de la loi normale centrée réduite.
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2 – Loi normale N µ; σ2
Définition
Soit µ ∈ R et σ > 0. Une variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ, si sa
densité de probabilité Gµ,σ est donnée par la formule (non-exigible) :
1
1
Gµ,σ (t) = √ exp −
2
σ 2π
t−µ
σ
2 !
.
Représentation graphique
On donne ci dessous quelques exemples de densités Gµ,σ .
On remarquera l’allure en cloche de la courbe, la symétrie par rapport à la droite d’équation x = µ ainsi que
la « dispersion », d’autant plus grande que σ l’est.
1,0
1,0
µ = 0 ; σ = 0, 7
µ = 2 ; σ = 0, 7
0,5
−3
−2
−1
0,5
1
2
3
−1
1
1,0
2
5
µ = −1 ; σ = 0, 3
0,5
−2
4
1,0
µ = 1 ; σ = 0, 4
−3
3
−1
0,5
1
2
3
−3
−2
−1
1
2
3
Propriétés (admises)
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres µ et σ, alors :
• l’espérance de X est égale à µ : E( X ) = µ ;
• l’écart-type de X est égal à σ : σ( X ) = σ .
Théorème
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres µ et σ, et si X ∗ la variable aléatoire
définie par
X−µ
,
X∗ =
σ
alors X ∗ suit la loi normale centrée réduite.
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Calcul instrumenté
Si X suit la loi normale de paramètres µ et σ, la valeur de P( a 6 X 6 b) est donnée par la calculatrice :
3 – La fonction Π
Définition
On note Π la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Cela signifie que, si X ∗ suit la loi normale centrée réduite,
Π ( t) = P ( X ∗ 6 t) .
0
t
Propriétés
Π ( a)
a
b
P ( X ∗ > a) = 1 − Π ( a)
Π(− a)
−a
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a
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Calcul théorique
On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ.
X−µ
, qui suit la loi normale centrée
Pour calculer P( a 6 X 6 b), on introduit la variable aléatoire X ∗ =
σ
réduite. Alors :
a−µ
b−µ
∗
P( a 6 X 6 b) = P( a − µ 6 X − µ 6 b − µ) = P
6X 6
.
σ
σ
On utilise ensuite le fait que P(α 6 X ∗ 6 β) = Π( β) − Π(α).
4 – Règle des trois sigmas
Loi normale et écart type
Si X suit la loi normale de moyenne de paramètres µ et σ, alors :
P(µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0, 68
P(µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≈ 0, 95
P(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≈ 0, 997
Démonstration
X−µ
Soit ν ∈ {1, 2, 3} et X ∗ =
. Alors :
σ
P(µ − νσ 6 X 6 µ + νσ = P(−νσ 6 X − µ 6 νσ) = P(−ν 6 X ∗ 6 ν) .
X ∗ suit la loi normale centrée réduite, et le théorème est démontré en remarquant que
P (−1 6 X ∗ 6 1) ≈ 0, 68
P (−2 6 X ∗ 6 2) ≈ 0, 95
P (−3 6 X ∗ 6 3) ≈ 0, 997 .
Remarque
Ces égalités sont importantes car elles permettent d’interpréter la notion statistique d’écart type dans le cas
d’une répartition gaussienne :
• environ 68% des effectifs sont à une distance inférieure à σ de la moyenne ;
• environ 95% des effectifs sont à une distance inférieure à 2σ de la moyenne ;
• environ 99, 7% des effectifs sont à une distance inférieure à 3σ de la moyenne ;
µ − 3σ
µ − 2σ
µ−σ
µ
µ+σ
µ + 2σ
µ + 3σ
68%
95%
99, 7%
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5 – Théorème de Moivre-Laplace
Théorème (admis)
On suppose que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
p
L’espérance et l’écart-type de Xn valent respectivement µn = np et σn = np(1 − p).
On pose :
Xn − µ n
X − np
.
Zn =
=p n
σn
np(1 − p)
Alors, pour tous nombres réels a et b tels que a 6 b :
lim P ( a 6 Zn 6 b) =
n →+ ∞
où G(t) =
2
√1 e− t /2
2π
Z b
a
G(t)dt ,
est la densité de la loi normale centrée réduite.
Remarques
• Le théorème de Moivre Laplace affirme que Zn « converge en loi » vers une variable aléatoire qui suit la
loi normale centrée réduite.
• Ce théorème permet d’approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi normale de moyenne µ = np et d’écart
p
type σ = np(1 − p). On admet que cette approximation est valable si n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.
• De manière générale, si Xn est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
X −µ
loi de probabilité, le théorème central limite assure que Zn = nσn n converge en loi vers la loi normale
centrée réduite.
Le théorème de Moivre Laplace est donc un cas particulier du théorème central limite, dans le cas où Xn
est la somme de n variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernoulli.
• Dans la nature, de nombreux phénomènes sont dus à l’addition d’un grand nombre de petites perturbations aléatoires, ce qui explique que la loi normale soit celle que, « normalement », on rencontre.
Corollaire
Soit X une variable aléatoire discrète suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
Si n > 30 , np > 5 et nq > 5, alors la loi de X peut être approchée par
une loi normale de moyenne µ = np et d’écart-type σ =
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√
npq.
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Illustrations
• Pour la loi binomiale de paramètres n = 40 et p = 0, 4, on vérifie que
n = 40 > 30 ,
np = 40 × 0, 4 = 16 > 5
et
nq = 40 × 0, 6 = 24 > 5 ,
de sorte qu’elle peut être approchée par la loi normale de paramètres
µ = np = 16
et
σ=
√
npq =
√
9, 6 ≈ 3, 1 .
13%
12%
11%
10%
9%
Loi binomiale B (n = 40 ; p = 0, 4)
8%
7%
Loi normale N (µ = 16 ; σ = 3, 1)
6%
5%
4%
3%
2%
1%
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
• Pour la loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0, 75, on vérifie que
n = 80 > 30 ,
np = 80 × 0, 75 = 60 > 5
et
nq = 80 × 0, 25 = 20 > 5 ,
de sorte qu’elle peut être approchée par la loi normale de paramètres
µ = np = 60
et
σ=
√
npq =
√
15 ≈ 3, 9 .
11%
10%
9%
Loi binomiale B (n = 80 ; p = 0, 75)
8%
7%
Loi normale N (µ = 60 ; σ = 3, 9)
6%
5%
4%
3%
2%
1%
10
20
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30
40
50
6
60
70
80
90
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Exercices
Exercice 1
On considère la variable aléatoire Z qui, à toute fiche prélevée au hasard dans un fichier médical, associe la
pression intraoculaire du patient, exprimée en millimètres de mercure. On admet que Z suit la loi normale de
moyenne 19 et d’écart type 2.
Calculer la probabilité P(15 6 Z 6 23).
Exercice 2
Dans une grande chaîne de magasins d’optique, on s’intéresse aux stocks de montures de lunettes. Une monture est considérée comme conforme pour le poids si celui-ci est, en grammes, compris entre 99 et 101. On
note L la variable aléatoire qui, à chaque monture prélevée au hasard dans un lot très important de montures,
associe son poids. On suppose que L suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 0, 5.
Déterminer la probabilité qu’une monture prélevée au hasard dans le lot soit conforme pour le poids.
Exercice 3
Une machine remplit des flacons de produit de nettoyage pour lentilles de contact. Dans la production d’une
journée, on prélève au hasard un flacon. On désigne par V la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé,
associe le volume de produit contenu dans ce flacon, exprimé en millilitres.
1. On suppose que V suit la loi normale de moyenne 250 et d’écart type 4.
Calculer la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 245 et
255 millilitres.
2. Le réglage de la machine est modifié de façon que 95 % des flacons contiennent entre 245 et 255 millilitres
de produit. On suppose qu’après réglage, la variable aléatoire V suit la loi normale de moyenne 250 et
d’écart type σ. Calculer σ.
Exercice 4
Une entreprise fabrique des faces de lunettes en grande série. Une face de lunettes est conforme si sa longueur,
en millimètres, est comprise entre 129 et 131.
1. On désigne par L1 la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans la production dune
journée associe sa longueur.
On suppose que L1 suit la loi normale de moyenne 130 et d’écart type 0, 5.
Calculer la probabilité qu’une face produite ce jour-là soit conforme.
2. On désigne par L2 la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans un stock associe sa
longueur.
On suppose que L2 suit la loi normale de moyenne 130 et d’écart type σ inconnu.
On note p la probabilité qu’une face de ce stock soit non conforme.
Déterminer σ pour que l’on ait p = 0, 03.
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Exercice 5
Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils.
Les appareils sont aussi conditionnés par lots de 800 pour l’expédition aux usines de montage. On prélève au
hasard un lot de 800 appareils. On considère la variable aléatoire X2 qui, à tout prélèvement de 800 appareils,
associe le nombre d’appareils défectueux. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X2 par la loi
normale de moyenne 40 et d’écart-type 6, 2.
1. Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot.
2. Déterminer le réel x tel que P( X2 > x) = 0, 01.
En déduire, sans justification, le plus petit entier k tel que la probabilité que le lot comporte plus de k
appareils défectueux soit inférieure à 0, 01.
Exercice 6
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 lentilles dans la production. On considère ce prélèvement comme
un prélèvement avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de lentilles qui présentent
au moins un des deux défauts (pour le traitement T1 ou pour le traitement T2 ).
On admet, que la probabilité qu’une lentille présente au moins un des deux défauts est : p = 0, 25.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent au moins un des deux
défauts. Arrondir le résultat à 10−4 .
3. On considère que la loi de probabilité de la variable aléatoire X peut être approchée par une loi normale.
On note Y une variable aléatoire qui suit cette loi normale N (12, 5 ; 3, 06).
(a) Calculer, avec cette approximation, la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui
présentent au moins un des deux défauts, c’est à dire : P(11, 5 6 Y 6 12, 5).
(b) Déterminer le nombre réel h tel que : P(12, 5 − h 6 Y 6 12, 5 + h) = 0, 673.
Arrondir le résultat à l’unité.
Exercice 7
Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise
entre 79, 8 mm et 80, 2 mm.
1. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm.
On admet que la variable L suit une loi normale de moyenne 80 et d’écart type 0, 0948.
On prélève une pièce au hasard dans la production.
Déterminer la probabilité que cette pièce soit conforme.
2. L’entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on projette de changer le processus
de fabrication des pièces.
On définit alors une nouvelle variable L1 qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus
associera sa longueur en mm.
La variable aléatoire L1 suit une loi normale de moyenne m = 80 et d’écart type σ′ .
Déterminer σ′ pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future production, la probabilité d’obtenir une pièce conforme soit égale à 0, 99.
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Exercice 8
Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques. La longueur
des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient
à l’intervalle [245 ; 255].
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d’une journée,
associe sa longueur.
1. Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250
et d’écart type 3.
Calculer la probabilité qu’un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit conforme pour
la longueur.
2. Le résultat obtenu au 1. n’est pas jugé satisfaisant. On décide de modifier l’écart type à l’aide d’un
nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la variable aléatoire Y suit une loi normale de
moyenne 250 et d’écart type σ.
Déterminer l’écart type σ pour que P(245 6 Y 6 255) = 0, 97.
Exercice 9
Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est
comprise entre 7,495 et 7,505. L’entreprise dispose d’une machine de contrôle des pièces fabriquées.
On prélève une pièce au hasard dans la production.
On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».
On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».
Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :
1.
P( A) = 0, 95, P C ∩ A = 0, 01 et P C ∩ A = 0, 005.
(a) À l’aide d’une phrase, donner la signification des évènements C ∩ A et C ∩ A.
Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur.
(b) Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.
2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d’une pièce en grammes.
On admet que X suit une loi normale de moyenne 7,5 et d’écart type σ où σ désigne un nombre réel strictement
positif.
3. Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal.
L’écart type σ vaut alors 0, 015.
Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme.
4. Calculer la valeur de σ pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0, 99.
5. Dans cette question, on suppose que σ vaut 0,002 et qu’à la suite d’un nouveau dérèglement, la variable
aléatoire X suit la loi normale de moyenne 7, 502 et d’écart type 0, 002.
Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.
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