Loi normale - S. Tummarello

Loi normale
Objectifs
XUtiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre de la loi normale.
XConnaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité des événements
suivants : {X∈[µ−σ,µ+σ]},{X∈[µ−2σ,µ+2σ]}et {X∈[µ−3σ,µ+3σ]}, lorsque X suit la
loi normale d’espérance µet d’écart type σ.
XDéterminer les paramètres de la loi normale approximant une loi binomiale donnée.
XSavoir déterminer les paramètres des lois de aX +b,X+Yet X−Ydans le cas où Xet Ysont des
variables aléatoires indépendantes.
XSavoir déterminer les paramètres de la loi normale correspondant à une moyenne dans le cadre du
théorème de la limite centrée.
1 – Loi normale centrée réduite
Définition
On dit qu’une variable aléatoire continue Xsuit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité de
probabilité fest donnée sur Rpar :
G(t) = 1
√2πe−t2/2 .
0,1
0,2
0,3
0,4
1 2 3−1−2−3
t
Définition - Théorème
Si Xsuit la loi normale centrée réduite, on définit son espérance par :
E(X) = Z∞
−∞
tG(t)dt=lim
x→−∞Z0
xtG(t)dt+lim
y→+∞Zy
0tG(t)dt,
où Gdésigne la densité de la loi normale centrée réduite.
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris

2 – Loi normale Nµ;σ2
Définition
Soit µ∈Ret σ>0. Une variable aléatoire Xsuit une loi normale de moyenne µet d’écart-type σ, si sa
densité de probabilité Gµ,σest donnée par la formule (non-exigible) :
Gµ,σ(t) = 1
σ√2πexp −1
2t−µ σ2!.
Représentation graphique
On donne ci dessous quelques exemples de densités Gµ,σ.
On remarquera l’allure en cloche de la courbe, la symétrie par rapport à la droite d’équation x=µainsi que
la « dispersion », d’autant plus grande que σl’est.
0,5
1,0
123−1−2−3
µ=0 ; σ=0, 7
0,5
1,0
12345−1
µ=2 ; σ=0, 7
0,5
1,0
123−1−2−3
µ=1 ; σ=0, 4
0,5
1,0
1 2 3−1−2−3
µ=−1 ; σ=0, 3
Propriétés (admises)
Si Xest une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres µet σ, alors :
•l’espérance de Xest égale à µ:E(X) = µ;
•l’écart-type de Xest égal à σ:σ(X) = σ.
Théorème
Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres µet σ, et si X∗la variable aléatoire
définie par
X∗=X−µ
σ,
alors X∗suit la loi normale centrée réduite.
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 2 Lycée Fresnel - Paris

Calcul instrumenté
Si Xsuit la loi normale de paramètres µet σ, la valeur de P(a6X6b)est donnée par la calculatrice :
3 – La fonction Π
Définition
On note Πla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Cela signifie que, si X∗suit la loi normale centrée réduite,
Π(t) = P(X∗6t).
t0
Propriétés
ab
Π(a)
−a a
Π(−a)P(X∗>a) = 1−Π(a)
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 3 Lycée Fresnel - Paris

Calcul théorique
On suppose que Xsuit la loi normale de moyenne µet d’écart-type σ.
Pour calculer P(a6X6b), on introduit la variable aléatoire X∗=X−µ
σ, qui suit la loi normale centrée
réduite. Alors :
P(a6X6b) = P(a−µ6X−µ6b−µ) = Pa−µ
σ6X∗6b−µ σ.
On utilise ensuite le fait que P(α6X∗6β) = Π(β)−Π(α).
4 – Règle des trois sigmas
Loi normale et écart type
Si Xsuit la loi normale de moyenne de paramètres µet σ, alors :
P(µ−σ6X6µ+σ)≈0, 68
P(µ−2σ6X6µ+2σ)≈0, 95
P(µ−3σ6X6µ+3σ)≈0, 997
Démonstration
Soit ν∈{1, 2, 3}et X∗=X−µ
σ. Alors :
P(µ−νσ 6X6µ+νσ =P(−νσ 6X−µ6νσ) = P(−ν6X∗6ν).
X∗suit la loi normale centrée réduite, et le théorème est démontré en remarquant que
P(−16X∗61)≈0, 68 P(−26X∗62)≈0, 95 P(−36X∗63)≈0, 997 .
Remarque
Ces égalités sont importantes car elles permettent d’interpréter la notion statistique d’écart type dans le cas
d’une répartition gaussienne :
•environ 68% des effectifs sont à une distance inférieure à σde la moyenne ;
•environ 95% des effectifs sont à une distance inférieure à 2σde la moyenne ;
•environ 99, 7% des effectifs sont à une distance inférieure à 3σde la moyenne ;
µµ −σ µ +σµ −2σ µ +2σµ −3σ µ +3σ
68%
95%
99, 7%
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 4 Lycée Fresnel - Paris

5 – Théorème de Moivre-Laplace
Théorème (admis)
On suppose que Xsuit la loi binomiale de paramètres net p.
L’espérance et l’écart-type de Xnvalent respectivement µn=np et σn=pnp(1−p).
On pose :
Zn=Xn−µn
σn
=Xn−np
pnp(1−p).
Alors, pour tous nombres réels aet btels que a6b:
lim
n→+∞P(a6Zn6b)=Zb
aG(t)dt,
où G(t) = 1
√2πe−t2/2 est la densité de la loi normale centrée réduite.
Remarques
•Le théorème de Moivre Laplace affirme que Zn« converge en loi » vers une variable aléatoire qui suit la
loi normale centrée réduite.
•Ce théorème permet d’approcher la loi binomiale B(n,p)par la loi normale de moyenne µ=np et d’écart
type σ=pnp(1−p). On admet que cette approximation est valable si n>30, np >5 et n(1−p)>5.
•De manière générale, si Xnest la somme de nvariables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
loi de probabilité, le théorème central limite assure que Zn=Xn−µn
σnconverge en loi vers la loi normale
centrée réduite.
Le théorème de Moivre Laplace est donc un cas particulier du théorème central limite, dans le cas où Xn
est la somme de nvariables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernoulli.
•Dans la nature, de nombreux phénomènes sont dus à l’addition d’un grand nombre de petites perturba-
tions aléatoires, ce qui explique que la loi normale soit celle que, « normalement », on rencontre.
Corollaire
Soit Xune variable aléatoire discrète suivant une loi binomiale de paramètre net p.
Si n>30 , np >5 et nq >5, alors la loi de Xpeut être approchée par
une loi normale de moyenne µ=np et d’écart-type σ=√npq.
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 5 Lycée Fresnel - Paris