II Probabilité - Mathieu Cathala

ESPACES PROBABILISES FINIS
II
II Probabilité
Probabilité
Dans toute cette partie, Ω désigne un univers fini.
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Généralités
Définition
Une probabilité sur Ω est :
i)
ii)
On dit que (Ω, P ) est un espace probabilisé (fini).
• Remarque. ∀A ∈ P (Ω), 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Théorème : Propriétés des probabilités
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé et soient A, B ∈ P (Ω) :
1. P (A) = 1 − P (A) ;
2. P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) ;
3. Si A ⊂ B, alors P (A) ≤ P (B) ;
4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
5. Si A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω), sont deux à deux incompatibles. :
P
S
n
i=1
P
n
Ai =
P (Ai ).
i=1
• Remarque. Avec A = Ω, on a A = ∅ et P (A) = 1 donc P (∅) = 0
Exercice 1 — Démonter les points 1 à 4.
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Construire des probabilités
• But. On cherche à construire une probabilité P sur un univers Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }.
Théorème
On donne p1 , p2 , . . . , pn ∈ R tels que : 1.
2.
Il existe une unique probabilité P sur Ω telle que :
Pour tout A ∈ P (Ω) :
• Conséquence. Définir une probabilité sur Ω revient définir toutes les probabilités élémentaires P ({ω1 }), . . . , P ({ωn }).
Exemple 1 Lancer d’un dé truqué — On lance un dé dont la probabilité d’obtenir la face k est proportionnelle à
k. Quelle est la probabilité de A : « Obtenir un nombre pair » ?
Exemple 2 — Une urne contient des boules numérotées de 1 jusqu’à 2n avec : une boule numérotée « 1 », deux
boules indiscernables numérotées « 2 », . . ., 2n boules indiscernables numérotées « 2n ».
1. Définir un univers Ω et une probabilité sur Ω modélisant le tirage d’une boule dans cette urne.
2. Calculer la probabilité de l’événement A : « On tire une boule de numéro pair ».
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Equiprobabilité
Définition
Une probabilité P sur Ω est uniforme si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
En ce cas pour tout A ∈ P (Ω) :
• Conséquence. En cas d’équiprobabilité, le calcul des probabilité se ramène à des calculs de dénombrement.
En pratique : exemples de situations d’équiprobabilité
• Lancer d’une pièce ou d’un dé équilibré.
• Tirage au hasard d’une boule dans une urne contenant n boules indiscernables au toucher.
Exemple 3 — On lance 4 fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir quatre numéros différents ?