II Probabilité - Mathieu Cathala

ESPACES PROBABILISES FINIS II Probabilité
II Probabilité
Dans toute cette partie, Ωdésigne un univers fini.
1 Généralités
Une probabilité sur Ωest :
i)
ii)
On dit que (Ω,P ) est un espace probabilisé (fini).
Définition
•Remarque. ∀A∈ P (Ω), 0 ≤P(A)≤1.
Soit (Ω,P ) un espace probabilisé et soient A,B ∈ P (Ω) :
1. P(A)=1−P(A) ;
2. P(B) = P(B∩A) + P(B∩A) ;
3. Si A⊂B, alors P(A)≤P(B) ;
4. P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
5. Si A1,A2,...,An∈ P (Ω), sont deux à deux incompatibles. : Pn
S
i=1
Ai=n
P
i=1
P(Ai).
Théorème : Propriétés des probabilités
•Remarque. Avec A=Ω, on a A=∅et P(A) = 1 donc P(∅)=0
Exercice 1 — Démonter les points 1 à 4.
2 Construire des probabilités
•But. On cherche à construire une probabilité Psur un univers Ω={ω1,ω2,...,ωn}.
On donne p1,p2,...,pn∈Rtels que : 1. 2.
Il existe une unique probabilité Psur Ωtelle que :
Pour tout A∈ P (Ω) :
Théorème
•Conséquence. Définir une probabilité sur Ω revient définir toutes les probabilités élémentaires P (
{ω1}
) ,...,P (
{ωn}
).
Exemple 1 Lancer d’un dé truqué — On lance un dé dont la probabilité d’obtenir la face k est proportionnelle à
k. Quelle est la probabilité de A: « Obtenir un nombre pair » ?
Exemple 2 — Une urne contient des boules numérotées de 1 jusqu’à 2 n avec : une boule numérotée « 1 », deux
boules indiscernables numérotées « 2 », . . ., 2nboules indiscernables numérotées « 2n».
1. Définir un univers Ωet une probabilité sur Ωmodélisant le tirage d’une boule dans cette urne.
2. Calculer la probabilité de l’événement A: « On tire une boule de numéro pair ».
3 Equiprobabilité
Une probabilité Psur Ωest uniforme si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
En ce cas pour tout A∈ P (Ω) :
Définition
•Conséquence. En cas d’équiprobabilité, le calcul des probabilité se ramène à des calculs de dénombrement.
• Lancer d’une pièce ou d’un dé équilibré.
• Tirage au hasard d’une boule dans une urne contenant nboules indiscernables au toucher.
En pratique : exemples de situations d’équiprobabilité
Exemple 3 — On lance 4 fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir quatre numéros différents ?