Chapitre 12 - Trigonométrie

2nde Chapitre 12 - Trigonométrie 2012-2013
Chapitre 12 - Trigonométrie
I Enroulement de la droite numérique
TD : Longueurs d’arcs
L’unité de longueur est le cm. Sur la figure ci-dessous, le repère (O, I, J)est orthonormé, le cercle C
a pour centre Oet pour rayon 1.
I
B
O
A
C
D
E
F
A′
B′
C′
D′
E′
F′
I′
J
J′
+
On choisit comme sens de parcours sur le cercle celui indiqué par la flèche, appelé sens positif ou sens
direct.
Les points A,Bet Csont situés au tiers, à la moitié, au deux tiers de l’arc Í IJ. Les autres points sont
obtenus par symétrie par rapport à (OI)ou (OJ)ou O.
Une bille rouge part de Iet parcourt le cercle dans le sens direct.
1. Quelle longueur a parcourue la bille rouge :
(a) lorsqu’elle revient en Iaprès un tour complet ?
(b) lorsqu’elle arrive pour la première fois au point : I′;J;B;E′;A;F;C;C′?
2. Où s’arrête la bille après avoir parcouru une distance de :
(a) 3π
4
(b) π+π
6
(c) π−π
3
(d) π
2+π 6
(e) 2π−π
6
(f) 2π+π
3
(g) 7π
4
(h) 7π
4+50π
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Définition 1
Le cercle trigonométrique Cde centre Oest le cercle de centre O
et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, appelé sens
direct (c’est le sens inverse des aiguilles d’une montre).
Dans toute la suite, on considère des points Iet Jde Ctels que :
–(O, I, J)est un repère orthonormé ;
– le quart de cercle Í IJ se parcourt de IàJdans le sens direct.
Soit dune droite graduée dont le zéro coïncide avec le point Idu cercle (voir
figure). On enroule sur le cercle Cla demi-droite rouge des réels positifs
dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans l’autre sens.
◇Chaque réel xde la droite dvient s’appliquer sur un point Munique du
cercle C, appelé image de xsur C.
◇Réciproquement, tout point M′du cercle Cest l’image d’un réel x′; il
est alors aussi l’image des réels x′+2π,x′+4π, . . ., x′−2π,x′−4π, . . .,
c’est-à-dire de tous les réels s’écrivant x′+k×2πoù k∈Z.
II Cosinus et sinus d’un réel
TD : Repérage sur un quart de cercle
(O, I, J)est un repère orthonormé. Mest un point du quart de cercle Í IJ de centre O.αest la mesure
en degrés de l’angle ̂ IOM .
OI
J
M
α
H
K
A. Cas particuliers
1. α=30○(c’est le cas de la figure ci-dessus)
(a) Justifier que le triangle OMJ est équilatéral.
(b) Calculer sa hauteur M K.
(c) En déduire les coordonnées du point Mdans le repère (O, I, J).
2. α=60○
(a) Faire une figure adaptée à ce cas et préciser la nature du triangle OIM .
(b) En déduire les coordonnées du point M.
3. α=45○
(a) Faire une nouvelle figure et montrer que le quadrilatère OHMK est un carré.
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(b) Calculer la longueur de ses côtés et en déduire les coordonnées de M.
B. Coordonnées de Men fonction de α
1. En considérant le triangle OHM, montrer, dans le cas général, que les coordonnées de Msont :
OH =cos αet OK =sin α.
2. Compléter les 2ème et 3ème colonnes du tableau suivant :
αcos αsin αLongueur de Î IM
30○
45○
60○
C. Longueur de l’arc Î IM
1. Calculer la longueur de l’arc Í IJ.
2. Finir de compléter le tableau précédent en utilisant la proportionnalité d’un arc et d’un angle
au centre qui l’intercepte.
Définition 2
Soit xun nombre réel et Mson image sur le cercle C. L’abscisse et l’ordonnée du point Msont
appelées cosinus et sinus du réel x. On les note : cos xet sin x.
Propriété 1
◇Pour tout réel x,−1⩽cos x⩽1 et −1⩽sin x⩽1.
◇Pour tout réel x,(cos x)2+(sin x)2=1.
Lien avec le cosinus et le sinus d’un angle aigu
Soit xun réel avec 0 <x<π
2et Mson image sur le cercle C. Dans le triangle rectangle OHM, avec
OM =1 : cos ̂ IOM =OH
OM =OM =cos x; sin ̂
IOM =HM
OM =OK =sin x.
Valeurs remarquables :
angle α0○30○45○60○90○
réel x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos α=cos x1√3
2
√2
2
1
20
sin α=sin x01
2
√2
2
√3
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Vocabulaire : Le réel xcompris entre 0et πcorrespondant à l’angle αest appelé mesure en radian
de cet angle.
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