2nde Chapitre 12 - Trigonométrie 2012-2013 Chapitre 12 - Trigonométrie I Enroulement de la droite numérique TD : Longueurs d’arcs L’unité de longueur est le cm. Sur la figure ci-dessous, le repère (O, I, J) est orthonormé, le cercle C a pour centre O et pour rayon 1. J b D b b + C E B b b F A b b I′ O bb b b b I b A′ F′ b b B′ E′ b b D′ C′ b J′ On choisit comme sens de parcours sur le cercle celui indiqué par la flèche, appelé sens positif ou sens direct. Í . Les autres points sont Les points A, B et C sont situés au tiers, à la moitié, au deux tiers de l’arc IJ obtenus par symétrie par rapport à (OI) ou (OJ) ou O. Une bille rouge part de I et parcourt le cercle dans le sens direct. 1. Quelle longueur a parcourue la bille rouge : (a) lorsqu’elle revient en I après un tour complet ? (b) lorsqu’elle arrive pour la première fois au point : I ′ ; J ; B ; E ′ ; A ; F ; C ; C ′ ? 2. Où s’arrête la bille après avoir parcouru une distance de : (a) 3π 4 (b) π + π 3 π π (d) + 2 6 π 6 π (f) 2π + 3 (c) π − π 6 (e) 2π − -1- 7π 4 7π (h) + 50π 4 (g) 2nde Chapitre 12 - Trigonométrie 2012-2013 Définition 1 Le cercle trigonométrique C de centre O est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, appelé sens direct (c’est le sens inverse des aiguilles d’une montre). Dans toute la suite, on considère des points I et J de C tels que : – (O, I, J) est un repère orthonormé ; Í se parcourt de I à J dans le sens direct. – le quart de cercle IJ Soit d une droite graduée dont le zéro coïncide avec le point I du cercle (voir figure). On enroule sur le cercle C la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans l’autre sens. ◇ Chaque réel x de la droite d vient s’appliquer sur un point M unique du cercle C, appelé image de x sur C. ◇ Réciproquement, tout point M ′ du cercle C est l’image d’un réel x′ ; il est alors aussi l’image des réels x′ + 2π, x′ + 4π, . . ., x′ − 2π, x′ − 4π, . . ., c’est-à-dire de tous les réels s’écrivant x′ + k × 2π où k ∈ Z. II Cosinus et sinus d’un réel TD : Repérage sur un quart de cercle Í de centre O. α est la mesure (O, I, J) est un repère orthonormé. M est un point du quart de cercle IJ ̂. en degrés de l’angle IOM J M K α O H I A. Cas particuliers 1. α = 30○ (c’est le cas de la figure ci-dessus) (a) Justifier que le triangle OM J est équilatéral. (b) Calculer sa hauteur M K. (c) En déduire les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). 2. α = 60○ (a) Faire une figure adaptée à ce cas et préciser la nature du triangle OIM . (b) En déduire les coordonnées du point M . 3. α = 45○ (a) Faire une nouvelle figure et montrer que le quadrilatère OHM K est un carré. -2- 2nde Chapitre 12 - Trigonométrie 2012-2013 (b) Calculer la longueur de ses côtés et en déduire les coordonnées de M . B. Coordonnées de M en fonction de α 1. En considérant le triangle OHM , montrer, dans le cas général, que les coordonnées de M sont : OH = cos α et OK = sin α. 2. Compléter les 2ème et 3ème colonnes du tableau suivant : α cos α sin α Î Longueur de IM 30○ 45○ 60○ Î C. Longueur de l’arc IM Í 1. Calculer la longueur de l’arc IJ. 2. Finir de compléter le tableau précédent en utilisant la proportionnalité d’un arc et d’un angle au centre qui l’intercepte. Définition 2 Soit x un nombre réel et M son image sur le cercle C. L’abscisse et l’ordonnée du point M sont appelées cosinus et sinus du réel x. On les note : cos x et sin x. Propriété 1 ◇ Pour tout réel x, −1 ⩽ cos x ⩽ 1 et −1 ⩽ sin x ⩽ 1. ◇ Pour tout réel x, (cos x)2 + (sin x)2 = 1. Lien avec le cosinus et le sinus d’un angle aigu π Soit x un réel avec 0 < x < et M son image sur le cercle C. Dans le triangle rectangle OHM , avec 2 OH ̂ = HM = OK = sin x. ̂ = OM = cos x ; sin IOM OM = 1 : cos IOM = OM OM Valeurs remarquables : 30○ 45○ π π réel x 0 √6 √4 3 2 cos α = cos x 1 2 2 √ 1 2 sin α = sin x 0 2 2 Vocabulaire : Le réel x compris entre 0 et π correspondant angle α 0○ de cet angle. -3- 60○ 90○ π π 3 2 1 0 √2 3 1 2 à l’angle α est appelé mesure en radian