Les algorithmes de Las Vegas

Les algorithmes de Las Vegas
La r´eponse retourn´ee par ces algorithmes est toujours exacte.
Un algorithme de LV peut retourner un message disant qu’il n’a pas
pu trouver de r´eponse.
Dans ce dernier cas, on ex´ecute l’algorithme autant de fois que
n´ecessaire.
Un appel typique `a un algorithme de LV a la forme:
r´eponse=LV(x,succ`es)
o`u succ`es est une variable bool´eene
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On ne peut pas toujours pr´evoir le temps d’ex´ecution d’un algorithme de
Las Vegas:
R´epeterLV(x)
r´epeter
r´eponse=LV(x,succ`es)
jusqu’`a ce qu’`a (succ`es==VRAI)
retourner r´eponse
Mais on est toujours certain que la r´eponse est bonne.
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Factorisation
´
Etant donn´e un nombre entier compos´e n, on veut trouver un facteur non
trivial.
fonction facteur(n)
pour i= 2 `a b√ncfaire
si (nmod i)=0 alors
retourner i
retourner 1
Temps: √n= 10m/2o`u m= log n
Fait: On ne connait aucun algorithme capable de factoriser un nombre en
temps polynomial en m.
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Algorithme de Dixon
1) Trouver 1 ≤a,b<ntels que
a2=b2(mod n) mais a6=±b(mod n).
Exemple: n= 2537,a= 2012,b= 1127.
a2= 1595n+ 1629
b2= 500n+ 1629
2) On a a2−b2= (a−b)(a+b) = 0 (mod n)
Exemple: 20122−11272= (2012 −1127)(2012 + 1127)
= (885)(3139) = 2778015 = 1095 ×2537
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3) a6=b(mod n) =⇒(a−b)6= 0 (mod n) et
a6=−b(mod n) =⇒(a+b)6= 0 (mod n)
Exemple: (2012 −1127) = 0 ×2537 + 885
(2012 + 1127) = 3139 = 1 ×2537 + 602
4) On a donc n=xy tel que
x|a+bet y|a−b
Exemple: 2537 = 43 ×59
602 = 14 ∗43
885 = 15 ∗59
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