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Chapitre I : CALCUL VECTORIEL, CALCUL MATRICIEL
I – Espaces vectoriels réels
1) Espaces vectoriels sur 
a) Définitions
Définition 1 : Soit  un ensemble non vide.
On dit que la loi  est une loi de composition interne sur  si et seulement si :
.
On dit que la loi  est une loi de composition externe sur  si et seulement si :
.
Exemple 1 : Dans  , l’addition des matrices carrées de taille 3 est une loi de composition interne
et la multiplication d’une matrice par un scalaire est une loi de composition externe.
Définition 2 : On appelle espace vectoriel sur , ou plus simplement espace vectoriel, tout
ensemble  non vide, muni d’une loi de composition interne, notée , et d’une loi de composition
externe, notée, qui vérifient :
(i)   (commutativité de )
(ii)   (associativité de )
(iii) Il existe un élément de E noté  tel que : ,   ( est appelé élément
neutre de E pour la loi , il est unique et noté simplement 0 s’il n’y a pas d’ambiguïté de notation).
(iv) Pour tout élément de E, il existe un élément  de E qui vérifie :  ( est unique
et appelé opposé de, il est noté ).
(v) 
(vi) 
(vii) 
(viii) 
Vocabulaire : Si  est un espace vectoriel, les éléments de  sont appelés des vecteurs, et les éléments
de  sont appelés des scalaires.
Remarque 1 : Le symbole  de la loi de composition externe qui se trouve entre un scalaire et un
vecteur est la plupart du temps sous-entendu : dans le cas des matrices, on écrira  et non pas .
Propriété 1 : Soit  un espace vectoriel.
Pour tout réel (scalaire)  et pour tout vecteur , on a :
b) Espaces vectoriels de référence
Théorème 1 : Pour tout   l’ensemble 
des -uplets de réels est un espace vectoriel.
Remarque 2 : En notant 
et   deux vecteurs de 
, les lois sur 
sont définies par : 
 et , pour tout ,  .

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Théorème 2 : Pour tout   l’ensemble   des matrices à coefficients réels, à  lignes
et  colonnes est un espace vectoriel.
Remarque 3 : Les lois associées à   sont l’addition d’une matrice et la multiplication des
matrices par un réel.
Théorème 3 : L’ensemble  des suites numériques réelles est un espace vectoriel.
Remarque 4 : Les lois associées à  sont définies de la façon suivante :
Si et  sont deux suites de  (de terme général respectif  et  ), alors  est la suite de
dont le terme général est  et, pour tout la suite  est la suite de  dont le terme
général est  .
Théorème 4 : Soit  une partie de  (en général un intervalle ou une réunion d’intervalles). L’ensemble
 des applications de  dans  est un espace vectoriel.
Remarque 5 : Les lois associées à  sont définies de la façon suivante :
Si et  sont deux applications de , alors  est l’application de définie par : pour
tout  et pour tout  est l’application de définie par :
pour tout .
Remarque 6 : L’ensemble  est lui aussi un espace vectoriel. Les lois associées sont l’addition des réels
et la multiplication des réels (ici la loi de composition externe est une loi interne …).
2) Sous espaces vectoriels
Définition 3 : On appelle sous-espace vectoriel de , ou plus simplement sous-espace de , toute
partie (sous-ensemble) de  non vide, telle que :
(i)   ( est stable pour l’addition) ;
(ii)  ( est stable pour la multiplication par un réel).
Théorème 5 :  est un sous-espace vectoriel de  si et seulement si :
(i)  est une partie non vide de ;
(ii)  .
Propriété 2 : Les seuls sous-espaces vectoriels de  sont  et .
Remarque 7 : Tout espace vectoriel  a au moins deux sous-espaces vectoriels, 
 et .
Propriété 3 : Tout sous-espace vectoriel de  est lui-même un espace vectoriel.
Théorème 6 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels, noté ,
est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications définies sur  noté 
Théorème 7 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels de degré
inférieur ou égal à  (), noté  , est un sous-espace vectoriel de 

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3) Familles de vecteurs
Dans toute la suite du paragraphe I,  désigne un espace vectoriel.
a) Combinaisons linéaires
Définition 4 : Soit  un entier naturel et 
 une famille de  vecteurs de . On dit qu’un
vecteur  de  est combinaison linéaire des  vecteurs de  s’il existe  réels  tels que
Remarque 8 :
(i) Les  sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire.
(ii) Le vecteur nul est combinaison linéaire de n’importe quel vecteur.
Exemple 2 :
(i) Dans l’ensemble  :
 donc le vecteur  est combinaison linéaire de la famille
 : les coefficients de la CL sont alors 1, -2 et 1.
On peut exprimer ce même vecteur  à l’aide d’une autre CL :
 : les coefficients sont alors -2, 3 et 2.
(ii) Dans l’ensemble   :
Le vecteur  
  est CL de la famille    , en effet :
b) Familles génératrices
Définition 5 : Soit 
 une famille de  vecteurs de . On dit que  est une famille
génératrice de  si tout vecteur de  s’écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de .
Autrement dit :
 est une famille génératrice de  si, pour tout vecteur , il existe  réels  tels que
Théorème 8 : Soit 
 une famille de  vecteurs de . L’ensemble de toutes les
combinaisons linéaires de vecteurs de  est un sous-espace vectoriel de  appelé sous-espace
vectoriel engendré par  et noté : 
.
Remarque 9 :
(i) Ce théorème apporte une nouvelle méthode pour justifier qu’un ensemble est un sous-espace
vectoriel et donc un espace vectoriel.
(ii) La famille 
 est une famille génératrice de  .

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Propriété 4 : Propriétés des familles génératrices
(i) Si   et si  est combinaison linéaire des vecteurs  alors
 et en particulier :  .
(ii) Si   et si les réels  sont tous non nuls, alors
.
Attention : Ne pas confondre les notations  (qui désigne un espace vectoriel) et  (qui désigne une
famille de vecteurs) !!!
Exemple 3 : Simplifier l’écriture de , sous-espace vectoriel de 
, défini par :
c) Familles libres – Familles liées
Définition 6 : Soit 
 une famille de  vecteurs de . On dit que  est une famille libre
de  ou que les vecteurs  sont linéairement indépendants, si toute combinaison linéaire
nulle de  ne peut s’écrire qu’avec des réels tous nuls.
Autrement dit :
Définition 7 : Une famille liée est une famille qui n’est pas libre.
Exemple 4 :
(i) Etudions la famille de vecteurs de  : 
On observe que : 
Il existe donc une CL nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls, la famille 
est donc liée.
(ii) Etudions la famille de vecteurs de 
⇒ 
⇒
⇒
La seule CL nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls : la famille  
  est
donc libre.
(iii) Etudier la famille de  : 
(iv) Etudier la famille de vecteurs de 
 :  

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Propriété 5 : Si 
 est une famille libre, alors toute sous-famille de  est une famille
libre.
Propriété 6 : Propriétés des familles liées
(i) Une famille de vecteurs de  est liée si et seulement si au moins un des vecteurs de la famille est
combinaison linéaire des autres.
(ii) Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
(iii) Toute famille de vecteurs de  contenant une famille liée est liée.
Propriété 7 : Cas particuliers
(i) Soit  un vecteur de . La famille  est liée si et seulement si  .
Conséquence : La famille  est libre si et seulement si  .
(ii) Soient  et deux vecteurs de . La famille  est liée si et seulement si  et  sont multiples
l’un de l’autre (on dit aussi colinéaires).
Conséquence : La famille  est libre si et seulement si  et  ne sont pas colinéaires.
d) bases
Définition 8 : Soit 
 une famille de  vecteurs de . On dit que  est une base de  si
 est à la fois libre et génératrice de .
Théorème 9 : La famille 
 est une base de  si et seulement si, pour tout vecteur  de
, il existe un unique -uplet 
 d’éléments de  tel que :
Remarque 10 : Les réels  sont appelés les coordonnées du vecteur  dans la base .
Exemple 5 : Détermine une base de l’ensemble 
4) Espace vectoriel de dimension finie
a) Dimension d’un espace vectoriel
Théorème 10 (admis) : Théorème de la dimension
Si l’espace vectoriel  admet une base constituée de  vecteurs ( ), alors toutes les bases de E
ont elles aussi  vecteurs.
Définition 9 : Le nombre  de vecteurs, commun à toutes les bases de  est appelé dimension de  et
noté dim . On dit que  est de dimension  ou plus généralement de dimension finie.
Convention : Si 
 alors .
Remarque 11 :
(i) Un espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle ou plus simplement droite.
(ii) Un espace vectoriel de dimension 2 est appelé plan vectoriel ou plus simplement plan.