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Chapitre I : CALCUL VECTORIEL, CALCUL MATRICIEL
I – Espaces vectoriels réels
1) Espaces vectoriels sur ℝ
a) Définitions
Définition 1 : Soit un ensemble non vide.
On dit que la loi + est une loi de composition interne sur si et seulement si :
∀; ∈ , + ∈ .
On dit que la loi ⋅ est une loi de composition externe sur si et seulement si :
∀ ∈ , ∀ ∈ ℝ, ⋅ ∈ .
Exemple 1 : Dans ℳ ℝ, l’addition des matrices carrées de taille 3 est une loi de composition interne
et la multiplication d’une matrice par un scalaire est une loi de composition externe.
Définition 2 : On appelle espace vectoriel sur ℝ, ou plus simplement espace vectoriel, tout
ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne, notée +, et d’une loi de composition
externe, notée⋅, qui vérifient :
(i) ∀; ∈ , + = + (commutativité de +)
(ii) ∀; ; ∈ , + + = + + (associativité de +)
(iii) Il existe un élément de E noté 0 tel que : ∀ ∈ , + 0 = 0 + = (0 est appelé élément
neutre de E pour la loi +, il est unique et noté simplement 0 s’il n’y a pas d’ambiguïté de notation).
(iv) Pour tout élément de E, il existe un élément de E qui vérifie : + = + = 0 ( est unique
et appelé opposé de, il est noté – ).
(v) ∀; ∈ ℝ , ∀ ∈ , ⋅ = ⋅ ⋅ (vi) ∀; ∈ ℝ , ∀ ∈ , + ⋅ = ⋅ + ⋅ (vii) ∀ ∈ ℝ, ∀; ∈ , ⋅ + = ⋅ + ⋅ (viii) ∀ ∈ , 1 ⋅ = Vocabulaire : Si est un espace vectoriel, les éléments de sont appelés des vecteurs, et les éléments
de ℝ sont appelés des scalaires.
Remarque 1 : Le symbole ⋅ de la loi de composition externe qui se trouve entre un scalaire et un
vecteur est la plupart du temps sous-entendu : dans le cas des matrices, on écrira 2 et non pas 2 ⋅ .
Propriété 1 : Soit un espace vectoriel.
Pour tout réel (scalaire) et pour tout vecteur ∈ , on a :
⋅ = 0 ⇔ = 0ou = 0
b) Espaces vectoriels de référence
Théorème 1 : Pour tout ∈ ℕ∗ , l’ensemble ℝ! = "# , , … , ! , # ∈ ℝ, ∈ ℝ, … , ! ∈ ℝ%
des -uplets de réels est un espace vectoriel.
Remarque 2 : En notant = # , , … , ! et = # , , … , ! deux vecteurs de ℝ! , les lois sur ℝ!
sont définies par : + = # + # , + , … , ! + ! et , pour tout ∈ ℝ, = # , , … , ! .
1
Théorème 2 : Pour tout , & ∈ ℕ∗ , l’ensemble ℳ!,' ℝ des matrices à coefficients réels, à lignes
et & colonnes est un espace vectoriel.
Remarque 3 : Les lois associées à ℳ!,' ℝ sont l’addition d’une matrice et la multiplication des
matrices par un réel.
Théorème 3 : L’ensemble ℝℕ des suites numériques réelles est un espace vectoriel.
Remarque 4 : Les lois associées à ℝℕ sont définies de la façon suivante :
Si (et ) sont deux suites de ℝℕ (de terme général respectif (! et )! ), alors ( + ) est la suite de
ℝℕ dont le terme général est (! + )! et, pour tout ∈ ℝ,la suite ( est la suite de ℝℕ dont le terme
général est (! .
Théorème 4 : Soit * une partie de ℝ (en général un intervalle ou une réunion d’intervalles). L’ensemble
+*, ℝ des applications de * dans ℝ est un espace vectoriel.
Remarque 5 : Les lois associées à +*, ℝ sont définies de la façon suivante :
Si ,et - sont deux applications de +*, ℝ, alors , + - est l’application de +*, ℝdéfinie par : pour
tout ∈ *, , + - = , + -, et pour tout ∈ ℝ, , est l’application de +*, ℝdéfinie par :
pour tout ∈ *, , = ,.
Remarque 6 : L’ensemble ℝ est lui aussi un espace vectoriel. Les lois associées sont l’addition des réels
et la multiplication des réels (ici la loi de composition externe est une loi interne …).
2) Sous espaces vectoriels
Définition 3 : On appelle sous-espace vectoriel de ., ou plus simplement sous-espace de ., toute
partie (sous-ensemble) de non vide, telle que :
(i) ∀; ∈ / , + ∈ / (0 est stable pour l’addition) ;
(ii) ∀ ∈ /, ∀ ∈ ℝ, ⋅ ∈ / (0 est stable pour la multiplication par un réel).
Théorème 5 : 0 est un sous-espace vectoriel de si et seulement si :
(i) 0 est une partie non vide de ;
(ii) ∀; ∈ / , ∀ ∈ ℝ, + ∈ /.
Propriété 2 : Les seuls sous-espaces vectoriels de ℝ sont "0% et ℝ.
Remarque 7 : Tout espace vectoriel a au moins deux sous-espaces vectoriels, "0 % et .
Propriété 3 : Tout sous-espace vectoriel de est lui-même un espace vectoriel.
Théorème 6 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels, noté ℝ[2],
est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications définies sur ℝ noté +ℝ, ℝ.
Théorème 7 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels de degré
inférieur ou égal à ( ∈ ℕ), noté ℝ! [2], est un sous-espace vectoriel de ℝ[2].
2
3) Familles de vecteurs
Dans toute la suite du paragraphe I, désigne un espace vectoriel.
a) Combinaisons linéaires
Définition 4 : Soit un entier naturel et ℱ = 6# , 6 , … , 6! une famille de vecteurs de . On dit qu’un
vecteur ( de est combinaison linéaire des vecteurs de ℱ s’il existe réels # , , … , ! tels que
!
( = # ⋅ 6# + ⋅ 6 + ⋯ + ! ⋅ 6! = 8 9 ⋅ 69
9:#
Remarque 8 :
(i) Les 9 sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire.
(ii) Le vecteur nul est combinaison linéaire de n’importe quel vecteur.
Exemple 2 :
(i) Dans l’ensemble ℝ :
2; 1 − 21; 1 + 1; −2 = 1; −3 donc le vecteur 1; −3 est combinaison linéaire de la famille
=2; 1, 1; 1, 1; −2> : les coefficients de la CL sont alors 1, -2 et 1.
On peut exprimer ce même vecteur 1; −3 à l’aide d’une autre CL :
1; −3 = −22; 1 + 31; 1 + 21; −2 : les coefficients sont alors -2, 3 et 2.
(ii) Dans l’ensemble ℳ ℝ :
1 2
1
Le vecteur ?
A est CL de la famille B?
3 4
0
1 2
1 0
0 1
0 0
?
A=?
A + 2?
A + 3?
A
3 4
0 0
0 2
1 0
0
0 1
0
A,?
A,?
0
0 2
1
0
AC, en effet :
0
b) Familles génératrices
Définition 5 : Soit ℱ = 6# , 6 , … , 6! une famille de vecteurs de . On dit que ℱ est une famille
génératrice de . si tout vecteur de s’écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de ℱ.
Autrement dit :
ℱ est une famille génératrice de si, pour tout vecteur ( ∈ , il existe réels # , , … , ! tels que
!
( = # ⋅ 6# + ⋅ 6 + ⋯ + ! ⋅ 6! = 8 9 ⋅ 69
9:#
Théorème 8 : Soit ℱ = 6# , 6 , … , 6! une famille de vecteurs de . L’ensemble de toutes les
combinaisons linéaires de vecteurs de ℱ est un sous-espace vectoriel de appelé sous-espace
vectoriel engendré par ℱ et noté : Vect6# , 6 , … , 6! .
Remarque 9 :
(i) Ce théorème apporte une nouvelle méthode pour justifier qu’un ensemble est un sous-espace
vectoriel et donc un espace vectoriel.
(ii) La famille ℱ = 6# , 6 , … , 6! est une famille génératrice de Vect6# , 6 , … , 6! .
3
Propriété 4 : Propriétés des familles génératrices
(i) Si 0 = Vect6# , 6 , … , 6! , 6!H# et si 6!H# est combinaison linéaire des vecteurs 6# , 6 , … , 6! alors
0 = Vect6# , 6 , … , 6! et en particulier : Vect6# , 6 , … , 6! , 0I = Vect6# , 6 , … , 6! .
(ii) Si 0 = VectJ# 6# , J 6 , … , J! 6! et si les réels J# , J , … , J! sont tous non nuls, alors
0 = Vect6# , 6 , … , 6! .
Attention : Ne pas confondre les notations 0 (qui désigne un espace vectoriel) et ℱ (qui désigne une
famille de vecteurs) !!!
Exemple 3 : Simplifier l’écriture de 0, sous-espace vectoriel de ℳ ℝ, défini par :
1 0
0 2
0 0
1 0
1 0
0 0
1 −1
0 = Vect B?
A,?
A,?
A,?
A,?
A,?
A,?
AC
0 0
0 2
1 0
0 0
1 0
0 0
0 −1
c) Familles libres – Familles liées
Définition 6 : Soit ℱ = 6# , 6 , … , 6! une famille de vecteurs de . On dit que ℱ est une famille libre
de . ou que les vecteurs 6# , 6 , … , 6! sont linéairement indépendants, si toute combinaison linéaire
nulle de 6# , 6 , … , 6! ne peut s’écrire qu’avec des réels tous nuls.
Autrement dit :
!
ℱestunefamillelibredessi 8 9 ⋅ 69 = 0 ⇒ ∀V ∈ W1; X, 9 = 0.
9:#
Définition 7 : Une famille liée est une famille qui n’est pas libre.
Exemple 4 :
(i) Etudions la famille de vecteurs de ℝ : =2; 1, 1; 1, 1; −2>
On observe que : −32; 1 + 51; 1 + 1; −2 = 0; 0
Il existe donc une CL nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls, la famille =2; 1, 1; 1, 1; −2>
est donc liée.
(ii) Etudions la famille de vecteurs de ℳ ℝ B?
1 0
0 1
0
A + J ?
A + J ?
0 0
0 2
1
0 J
0
J# 0
⇒?
A+Z
[+Z
J
0 2J
0 0
J# J
0 0
⇒?J 2J A = ?
A
0 0
J# = 0
J
⇒\ = 0]
J = 0
J# ?
0
0
A=?
0
0
0
0
[=?
0
0
0
A
0
0
A
0
1
0
0
0 1
0 0
A,?
A,?
AC
0
0 2
1 0
La seule CL nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls : la famille B?
donc libre.
(iii) Etudier la famille de ℝ : =1,1,1, 2,1,3>
(iv) Etudier la famille de vecteurs de ℳ ℝ : B?
1 0
0
A,?
0 0
0
1 −1
0 1
2 −3
A,?
A,?
AC
0 2
1 3
−1 1
4
1
0 0
A,?
AC est
2
1 0
Propriété 5 : Si ℱ = 6# , 6 , … , 6! est une famille libre, alors toute sous-famille de ℱ est une famille
libre.
Propriété 6 : Propriétés des familles liées
(i) Une famille de vecteurs de est liée si et seulement si au moins un des vecteurs de la famille est
combinaison linéaire des autres.
(ii) Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
(iii) Toute famille de vecteurs de contenant une famille liée est liée.
Propriété 7 : Cas particuliers
(i) Soit ( un vecteur de . La famille ( est liée si et seulement si ( = 0 .
Conséquence : La famille ( est libre si et seulement si ( ≠ 0 .
(ii) Soient ( et )deux vecteurs de . La famille (, ) est liée si et seulement si ( et ) sont multiples
l’un de l’autre (on dit aussi colinéaires).
Conséquence : La famille (, ) est libre si et seulement si ( et ) ne sont pas colinéaires.
d) bases
Définition 8 : Soit ℬ = 6# , 6 , … , 6! une famille de vecteurs de . On dit que ℬ est une base de . si
ℬ est à la fois libre et génératrice de .
Théorème 9 : La famille ℬ = 6# , 6 , … , 6! est une base de si et seulement si, pour tout vecteur ( de
, il existe un unique -uplet # , , … , ! d’éléments de ℝ tel que :
!
( = 8 9 69
9:#
Remarque 10 : Les réels # , , … , ! sont appelés les coordonnées du vecteur ( dans la base ℬ.
Exemple 5 : Détermine une base de l’ensemble = "; ; ∈ ℝ / + + = 0%
4) Espace vectoriel de dimension finie
a) Dimension d’un espace vectoriel
Théorème 10 (admis) : Théorème de la dimension
Si l’espace vectoriel admet une base constituée de vecteurs ( ∈ ℕ∗ ), alors toutes les bases de E
ont elles aussi vecteurs.
Définition 9 : Le nombre de vecteurs, commun à toutes les bases de est appelé dimension de et
noté dim . On dit que est de dimension a ou plus généralement de dimension finie.
Convention : Si = "0 % alors dim = 0.
Remarque 11 :
(i) Un espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle ou plus simplement droite.
(ii) Un espace vectoriel de dimension 2 est appelé plan vectoriel ou plus simplement plan.
5
b) Dimension des espaces vectoriels de référence
Théorème 11 : Pour tout ∈ ℕ∗ , l’ensemble ℝ! des -uplets de réels est un espace vectoriel de
dimension finie et dim ℝ! = . En notant 6# = 1,0,0, … ,0, 6 = 0,1,0, … ,0, … , 6! = 0,0, … ,0,1, la
famille 6# , 6 , … , 6! ainsi définie est une base de ℝ! appelée base canonique de ℝ! .
Théorème 12 : Pour tout , & ∈ ℕ∗ , l’ensemble ℳ!,' ℝ est un espace vectoriel de dimension finie
et dim ℳ!,' ℝ = × &. En notant, pour tout V ∈ W1, X et pour tout c ∈ W1, &X , 9d la matrice
constituée de 0 sauf celui de la V ème ligne et cème colonne qui vaut 1, la famille =9d >
ainsi
définie est une base deℳ!,' ℝappelée base canonique de ℳ!,' ℝ.
#e9e!,#ede'
Cas particulier : L’ensemble ℳ! ℝ des matrices carrées de taille est de dimension .
Théorème 13 : L’ensemble ℝ! [2], est un espace vectoriel de dimension finie et dim ℝ! [2] = + 1. En
notant, pour toutf ∈ W0, X, 6g la fonction définie sur ℝ par 6g = g , la famille 6h , 6# , 6 , … , 6! ainsi définie est une base de ℝ! [2], appelée base canonique de ℝ! [2].
Remarque 12 : La fonction 6h est la fonction constante égale à 1.
c) Familles de vecteurs en dimension finie
Théorème 14 (admis) : Soit un espace vectoriel de dimension .
(i) Une famille libre de possède au plus a vecteurs.
(ii) Une famille libre de a vecteurs de . est une base de ..
(iii) Une famille génératrice de possède au moins a vecteurs.
(iv) Une famille génératrice formée de a vecteurs de . est une base de ..
Remarque 13 :
(i) Une famille qui contient plus de vecteurs de est donc forcément liée.
(ii) Ce théorème permet de démontrer qu’une famille de vecteurs de est une base de en
justifiant seulement qu’elle est libre ou génératrice.
Exemple 6 :
Soit ,h , ,# , , , , la famille de ℝ [2] définie par :
,h = − 1 − 2 − 3;,# = − 2 − 3;, = − 1 − 3
et, = − 1 − 2
Montrer que cette famille est une base de ℝ [2].
d) Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Propriété 8 (admise) : Soit un espace vectoriel de dimension finie.
Tout sous-espace vectoriel 0 de est aussi de dimension finie et dim 0 ≤ dim .
Théorème 15 (admis) : Soit un espace vectoriel de dimension finie.
Si 0 est un sous-espace vectoriel de tel que dim 0 = dim alors 0 = .
Exemple 7 : On sait que dim ℳ! ℝ = . Déterminer la dimension de l’ensemble des matrices
diagonales de taille , TS de taille , symétriques de taille et antisymétriques de taille .
6
5) Rang d’une famille de vecteurs – Rang d’une matrice
Définition 10 : Soit un espace vectoriel de dimension finie et =6# , 6 , … , 6' > une famille de & vecteurs
de (& ∈ ℕ∗ . On appelle rang de la famille =6# , 6 , … , 6' >, et on note rg6# , 6 , … , 6' , la dimension de
Vect6# , 6 , … , 6' .
Conséquence de la définition : Le rang de la famille =6# , 6 , … , 6' > est le cardinal de la plus grande
famille libre contenue dans =6# , 6 , … , 6' >.
Exemple 7 : En reprenant l’exemple 3, étudier le rang de la famille :
1 0
0 2
0 0
1 0
1 0
0 0
1 −1
B?
A,?
A,?
A,?
A,?
A,?
A,?
AC
0 0
0 2
1 0
0 0
1 0
0 0
0 −1
Définition 11 : Le rang d’une matrice deℳ!,' ℝ est égal au rang de la famille de ses vecteurs
colonnes dans ℳ!,# ℝ. On le note rg.
Exemple 8 : Etudier le rang des matrices et k suivantes :
2 1 1
2 1 0
= l1 0 1m et k = l1 0 1m
3 2 1
3 2 1
Propriété 9 (admise) : Pour toute matrice deℳ!,' ℝ, rg= n> = rg
Théorème 16 : Pour toute matrice deℳ!,' ℝ, rg = 0 ⇔ = 0.
II – Généralités sur les applications linéaires
Dans ce paragraphe, les lettres et 0 désignent deux espaces vectoriels réels.
1) Définition et propriétés
Définition 12 :
1) On appelle application linéaire de . dans /, toute application , définie sur à valeurs dans
0telle que :
(i) ∀; ∈ , , + = , + ,
(ii) ∀ ∈ , ∀ ∈ ℝ, , = ,
L’ensemble des applications linéaires de dans 0 se note ℒ, 0.
2) On appelle endomorphisme de ., toute application linéaire de dans L’ensemble des endomorphismes de se note ℒ.
Propriété 10 : ,est une application linéaire de dans 0 si, et seulement si :
∀; ∈ , ∀, ∈ ℝ ,, + = , + ,
Propriété 11 : ,est une application linéaire de dans 0 si, et seulement si :
∀; ∈ , ∀ ∈ ℝ,, + = , + ,
7
Exemple 9 :
1) L’application identité de notée *p : ↦ est un endomorphisme de .
→0]
2) L’application ,: s
est une application linéaire.
↦ 0I
3) L’application -, qui à toute fonction polynomiale u de ℝ! [2] associe le réel vy uwpw (où z et {
sont des réels), est une application linéaire de ℝ! [2] dans ℝ.
x
4) L’application ℎ, qui à toute fonction polynomiale u de ℝ! [2] associe la fonction polynomiale u’, est
une application linéaire de ℝ! [2] dans ℝ! [2].
Propriété 12 : Si ,est une application linéaire de dans 0 alors :
(i) ,0 = 0I
(ii) ∀ ∈ , ,− = −,
!
!
iii∀# , , … , ! ∈ ! , ∀# , , … , ! ∈ ℝ! ,, l8 9 9 m = 8 9 ,9 9:#
9:#
2) Opérations sur les applications linéaires
Lois sur ℒ, 0 : L’addition des applications de ℒ, 0 et la multiplication d’une application de
ℒ, 0 par un scalaire se définissent de la façon suivante :
Pour toutes applications linéaires , et - de ℒ, 0, , + - est l’application linéaire de ℒ, 0 définie,
pour tout vecteur de , par , + - = , + - et, pour tout réel , , est l’application
linéaire de ℒ, 0 définie, pour tout vecteur de , par , = ,.
Propriété 13 : ℒ, 0 et en particulier ℒ sont des espaces vectoriels réels.
Propriété 14 : Si ,est une application linéaire de dans 0 et si - est une application linéaire de 0
dans ~ (espace vectoriel), alors - ∘ , est une application linéaire de dans ~.
En particulier, la composée de deux endomorphismes de est un endomorphisme de .
Définition 13 : Soit , un endomorphisme de .
Par convention, on pose , h = *p et, pour tout entier naturel & non nul, on définit l’endomorphisme
, ' par la relation de récurrence : , ' = , '# ∘ ,.
Ainsi : , ' = ,
∘
, ∘ …
∘,
'
3) Isomorphisme – Automorphisme
Définition 14 :
1) On appelle isomorphisme de . dans / toute application linéaire bijective de dans 0.
2) On appelle automorphisme de . toute application linéaire bijective de dans ., ou plus
simplement tout endomorphisme bijectif de ..
Propriété 15 :
1) Si ,est un automorphisme de , alors , # est aussi un automorphisme de .
2) La composée de deux automorphismes, et - de est un automorphisme de et :
- ∘ ,# = , # ∘ -#
8
4) Noyau et image d’une application linéaire
Définition 15 : Soit ,est une application linéaire de dans 0.
On appelle noyau de ,, noté Ker,, le sous-ensemble de .défini par :
Ker, = " ∈ /, = 0I %
Remarque 14 :
(i) Ker, est l’ensemble des antécédents dans du vecteur nul 0I .
(ii) , étant une application linéaire, ,0 = 0I (d’après la propriété 12) donc 0 ∈ Ker,.
Ainsi Ker, n’est pas vide.
Propriété 16 : Soit ,est une application linéaire de dans 0. Ker, est un sous-espace vectoriel de ..
Théorème 17 : Une application linéaire , de dans 0 est injective si, et seulement si : Ker, = "0 %.
Définition 16 : Soit ,est une application linéaire de dans 0.
On appelle image de ,, noté Im,, le sous-ensemble de /défini par :
Im, = " ∈ 0/∃ ∈ , = ,% = ",/ ∈ %
Remarque 15 :
(i) Im, est l’ensemble des vecteurs de 0 qui ont un antécédent dans .
(ii) , étant une application linéaire, 0I = ,0 (toujours d’après la propriété 12) donc 0I ∈ Im,.
Ainsi Im, n’est pas vide.
Propriété 17 : Soit ,est une application linéaire de dans 0. Im, est un sous-espace vectoriel de /.
Théorème 18 : Une application linéaire , de dans 0 est surjective si, et seulement si : Im, = 0.
III – Applications linéaires en dimension finie
Dans tout le paragraphe, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
1) Théorème du rang
a) Caractérisation des applications linéaires
Propriété 18 : Soient et 0 deux espaces vectoriels et ℬ = 6# , 6 , … , 6! une base de Toute application linéaire , de dans 0 est parfaitement définie par la donnée des vecteurs
,6# , ,6 , … , ,6! .
Remarque 16 : On en déduit que si , et - sont deux applications linéaires de dans 0 telles que, pour
tout V ∈ W1; X, ,69 = -69 , alors , = -.
Propriété 19 : Soit ,une application linéaire de dans 0 et ℬ = 6# , 6 , … , 6! une base de .
L’image par , de la base ℬ est une famille génératrice de Im,.
Autrement dit : = , , … , a .
9
Propriété 20 : Soient et 0 deux espaces vectoriels de dimension finie et ,une application linéaire de
dans 0.
, est bijective si, et seulement si l’image par , d’une base de est une base de 0.
Théorème 19 : Soient et 0 deux espaces vectoriels de dimension finie.
S’il existe un isomorphisme de vers 0, alors dim = dim 0.
b) Rang d’une application linéaire – Théorème du rang
Définition 17 : Soit ,est une application linéaire de dans 0.
On appelle rang de ,, noté rg,, la dimension de Im,.
Remarque 17 : Si ℬ = 6# , 6 , … , 6! est une base de , d’après la propriété 19 et la définition 10, le
rang de , est le rang de la famille ,6# , ,6 , … , ,6! .
Théorème 20 : Théorème du rang
Soit ,est une application linéaire de dans 0 où . est un espace vectoriel de dimension finie. On a :
dim = dim Im, + dim Ker,
Ou encore :
dim = rg, + dim Ker,
Remarque 18 :
(i) Ce théorème est très pratique pour déterminer rapidement le noyau quand on connaît l’image et
inversement.
(ii) Conséquence du théorème : rg, = 0 ⇔ , = 0
c) Caractérisation des isomorphismes
Propriété 21 : Soient et 0 deux espaces vectoriels de même dimension finie et ,une application
linéaire de dans 0. On a :
, est injective ⇔ , est surjective ⇔ , est bijective
Remarque 19 : En particulier, si est de dimension finie :
(i) Tout endomorphisme injectif de est un automorphisme de ;
(ii) Tout endomorphisme surjectif de est un automorphisme de .
Propriété 22 : Soient et 0 deux espaces vectoriels de même dimension et ,une application
linéaire de dans 0. On a :
, est bijective ⇔ rg, = Remarque 20 :
En particulier, si est de dimension , un endomorphisme , de est un automorphisme de si, et
seulement si rg, = .
ℳ,# ℝ ⟶ ℳ,# ℝ
Soit , l’application
.] Comment montrer rapidement que , est bijective ?
2 + ? A ↦ Z
[
− 3
Exemple 10 :
10
2) Matrice associée à une application linéaire
a) Définition et premières propriétés
Définition 18 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ = 6# , 6 , … , 6! et 0 un espace
vectoriel de dimension &, de base ℬ′ = =6′# , 6′ , … , 6′' >.
Si ,est une application linéaire de dans 0, on appelle matrice de relativement aux bases et
′, la matrice de ℳ',! ℝdont la jème colonne est formée des coordonnées du vecteur ,6d dans la
base ℬ′. On la note zwℬ,ℬ ,.
ℳ,# ℝ ⟶ ℳ,# ℝ
Soit , l’application
2 + ].
BC ↦ Z
[
− 3
= ℳ,# ℝ de dimension 3 et de base canonique ℬ = 6# , 6 , 6 et 0 = ℳ,# ℝ de dimension 2 et
de base canonique ℬ′ = 6′# , 6′ .
1
0
2
1
,6# = , l0m = ? A = 26# + 06 ,
,6 = , l1m = ? A = 16# − 36 0
−3
0
0
0
0
et,6 = , l0m = ? A = 06# + 16
1
1
2 1 0
Ainsi zwℬ,ℬ , = ?
A
0 −3 1
Exemple 11 :
Remarque 21 :
En particulier, si , est un endomorphisme de , la matrice de, relativement à la base ℬ est la matrice
carrée de ℳ! ℝ dont la jème colonne est formée des coordonnées du vecteur ,6d dans la base ℬ.
On la note zwℬ ,.
Remarque 22 :
La matrice de *p dans n’importe qu’elle base de est la matrice *! (matrice identité de ℳ! ℝ).
Propriété 23 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ et 0 un espace vectoriel de
dimension &, de base ℬ. Soit , une application linéaire de E dans F de matrice A relativement aux
bases ℬ et ℬ′. Soit un vecteur de E et y un vecteur de F défini par = ,.
Notons X le vecteur colonne de ℳ!,# ℝ constitué des coordonnées de dans la base ℬ et Y le vecteur
colonne de ℳ',# ℝ constitué des coordonnées de y dans la base ℬ′. On a :
= , ⇔ = 2
1
Exemple 12 : En reprenant l’exemple 11, pour calculer l’image du vecteur l2m par l’application ,, il
3
1
2 1 0
4
suffit d’effectuer le produit matriciel ?
A l2m = ? A.
0 −3 1
−3
3
1
4
Ainsi , l2m = ? A.
−3
3
11
b) Opérations
Théorème 21 : Soit un espace vectoriel de base ℬ, et 0 un espace vectoriel de base ℬ’. Soient , et deux applications linéaires de ℒ, 0, dont les matrices relativement aux bases ℬ et ℬ′, sont
respectivement et k, alors :
1) la matrice de , + - relativement aux bases ℬ et ℬ′ est + k ;
2) pour tout réel , la matrice de , relativement aux bases ℬ et ℬ′ est .
Remarque 23 : En particulier, si , et - sont deux endomorphismes de , dont les matrices
relativement à la base ℬ sont respectivement A et B, alors :
1) la matrice de l’endomorphisme , + - relativement à la base ℬ est + k ;
2) pour tout réel , la matrice de l’endomorphisme , relativement à la base ℬ est .
Théorème 22 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ, et 0 un espace vectoriel de
dimension &, de base ℬ’. L’application zwℬ,ℬ qui à toute application linéaire de ℒ, 0, associe sa
matrice relativement aux bases ℬ et ℬ′, est un isomorphisme de ℒ, 0 vers ℳ',! ℝ.
Ainsi : dim ℒ, 0 = & = dim × dim 0 (d’après le théorème 19).
Remarque 24 : En particulier, l’application zwℬ qui à toute application linéaire de ℒ, associe sa
matrice relativement à la base ℬ, est un isomorphisme de ℒ vers ℳ! ℝ et dim ℒ = .
Théorème 23 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ, et 0 un espace vectoriel de
dimension &, de base ℬ’. Soit , une application linéaire de dans 0 et la matrice de , relativement
aux bases ℬ et ℬ′. On a rg, = rg.
Théorème 24 : Soient , 0 et ~ trois espaces vectoriels de bases respectives ℬ# , ℬ , ℬ .
Soit , une application linéaire de E dans F et - une application linéaire de 0dans~.
Si A est la matrice de f relativement aux bases ℬ# etℬ et si B est la matrice de g relativement aux
bases ℬ etℬ, alors la matrice de - ∘ , relativement aux bases ℬ# et ℬ est k × .
Remarque 25 : En particulier, si , et - sont deux endomorphismes de , dont les matrices
relativement à la base ℬ sont respectivement A et B, alors la matrice de l’endomorphisme - ∘ ,
relativement à la base ℬ est k × .
Propriété 24 : Soit un espace vectoriel de base ℬ. Soit , un endomorphisme de de matrice relativement à la base ℬ.
Pour tout entier naturel k, la matrice de l’endomorphisme , g dans la base ℬ est g .
Théorème 25 : Soit un espace vectoriel de base ℬ, et 0 un espace vectoriel de base ℬ’ tels que
dim = dim 0. L’application linéaire , est bijective si, et seulement si, sa matrice A relativement aux
bases ℬ et ℬ′ est inversible.
Dans ce cas, la matrice de , # relativement aux bases ′ et est #.
Remarque 26 : En particulier, si , est un endomorphisme de , dont la matrice relativement à la base
ℬ est A, alors : l’endomorphisme f est bijectif si, et seulement si, A est inversible.
Dans ce cas, la matrice de , # relativement à la base ℬ est #.
12
3) Polynôme annulateur d’un endomorphisme, d’une matrice
Définition 19 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ = 6# , 6 , … , 6! et , un
endomorphisme de de matrice A relativement à la base ℬ.
¤
Soitulafonctionpolynômedeℝ[2]tellequeu = 8 zg g où¦estunentiernaturel.
g:h
¤
u,estl’endomorphismededé©inipar:u, = 8 zg , g
g:h
¤
uestlamatricedeℳª ℝdé©iniepar:u = 8 zg g g:h
Exemple 13 : Si u = − 3 + 2, alors u, = , − 3, + 2«¬. et u = − 3 + 2«
Propriété 25 : Soientu et ­ deux fonctions polynômes de ℝ[2] et J, ® deux réels.
Ju + ®­, = Ju, + ®­, et u­, = u, ∘ ­,
Ju + ®­ = Ju + ®­ et u­ = u­
Exemple 14 : On reprend u = − 3 + 2. Sous sa forme factorisée, u = − 1 − 2.
Alors : u, = , − *p ∘ , − 2*p et u = − * − 2*
Définition 20 : On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de f (respectivement de A) si
u, = 0 (respectivement u = 0).
1 1 1
Exemple 15 : Soit = l0 2 0m et u = − 3 + 2.
0 0 2
Montrer que u est un polynôme annulateur de . En déduire que est inversible et déterminer # .
4) Changement de base
a) Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 21 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ = 6# , 6 , … , 6! et
ℱ = ,# , , , … , ,' une famille de & vecteurs de .
On appelle matrice de ¯relativement à la base , la matrice de ℳ!,' ℝdont la jème colonne est
formée des coordonnées du vecteur ,d dans la base ℬ. On la note zwℬ ℱ.
Exemple 16 : Dans ℝ , la famille ℱ = ,# , , où ,# = 1,2,3 et , = −1,0,1 a pour matrice dans la
1 −1
base canonique de ℝ : l2 0 m.
3 1
Propriété 26 : Soit un espace vectoriel de dimension , de base ℬ = 6# , 6 , … , 6! et
ℱ = ,# , , , … , ,! une famille de a vecteurs de .
Si la matrice de ℱ dans la base ℬ est inversible, alors ℱ est une base de .
13
Théorème 26 : Une matrice de ℳ! ℝ est inversible si, et seulement si, rg = .
b) Matrice de passage
Définition 22 : On note ℬ = 6# , 6 , … , 6! etℬ′ = 6′# , 6′ , … , 6′! deux bases de E.
La matrice de la base ℬ′ relativement à la base ℬ est appelée matrice de passage de la base ℬ à la
base ℬ′ et notée uℬ,ℬ ou plus simplement u.
Propriété 27 : Pour toutes bases ℬ et ℬ′ de E, la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′ est
inversible et sa matrice inverse u# est la matrice de passage de la base ℬ′ à la base ℬ.
Autrement dit : si u = uℬ,ℬ alors u # = uℬ,ℬ
c) Changement de bases
Théorème 27 : Soient ℬ et ℬ′ deux bases de E et u la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
Pour tout vecteur de , on note 2 (respectivement 2’) la matrice de dans la base ℬ
(respectivement dans la base ℬ′). Alors, on a : 2 = u2’.
Théorème 28 : Soient ℬ et ℬ′ deux bases de E et u la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
Pour tout endomorphisme , de , on note (respectivement ’) la matrice de , dans la base ℬ
(respectivement dans la base ℬ′). Alors, on a : ′ = u# u.
Exemple 17 : Soit la famille (, ), ° de vecteurs de ℝ définis par ( = 0,1,1, ) = 2,0, −1et° = 2,1,1.
0 2 2
La matrice u de la famille (, ), ° dans la base canonique de ℝ est u = l1 0 1m.
1 −1 1
On démontre facilement que cette famille est une base de ℝ . Ainsi la matrice u est inversible.
Dans cette base, quelles sont les coordonnées du vecteur = 4, −1, −2 ?
4
Notons 2 = l−1m la matrice de dans la base canonique de ℝ .
−2
1
−
2 −1
0 2 2 −1 4
4
−2
Alors, 2 = u2’ ⇔ 2 = u# 2 = B1
1
On en déduit que = −2( + ) + °
0
−1
1C
1
2
B−1C = ± 0
−2
1
2
1
−1
−1² B−1C = B 1 C
−2
1
1
d) Matrices semblables
Définition 23 : Deux matrices et ’ de ℳ! ℝ sont dites semblables s’il existe une matrice
inversible u telle que : = u# u.
Théorème 29 : Deux matrices et ’ sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même
endomorphisme dans deux bases différentes.
Remarque 27 : Mais ceci est une autre histoire … Voir le chapitre suivant !
14
