Chapitre VI

I Commutation d’op´ erateurs
Chapitre VI
Les relations d’incertitude
I Commutation d’op´erateurs
Un des r´esultats importants ´etablis dans les chapitres pr´ec´edents concerne la mesure d’une
observable ˆ A: une valeur pr´ecise ade cette observable est obtenue uniquement dans le cas
o`u aest une valeur propre et o`u le syst`eme est dans l’´etat propre correspondant. D`es lors
si on consid`ere 2 observables ˆ Aet ˆ Bil ne sera possible d’obtenir des valeurs pr´ecises lors
d’une mesure de ˆ Aet d’une mesure concomitante de ˆ Bque sous la condition d’avoir un
syst`eme dans un ´etat propre simultan´e de l’op´erateur ˆ Aet de l’op´erateur ˆ B. On dira que
deux observables ˆ Aet ˆ Bsont compatibles si elles sont “simultan´ement mesurables” ou, plus
pr´ecis´ement si elles poss`edent un syst`eme complet commun de fonctions propres (ou d’´etats
propres).
Dans ces conditions, chaque fonction propre peut ˆetre indic´ee par les valeurs propres
correspondantes des deux op´erateurs ˆ Aet ˆ B:
ˆ
Aφai,bj=aiφai,bj(6.1)
ˆ
Bφai,bj=bjφai,bj(6.2)
D`es lors
ˆ
Bˆ Aφai,bj=ˆ Baiφai,bj=bjaiφai,bj
et, de mˆeme
ˆ
Aˆ Bφai,bj=aibjφai,bj.
Par cons´equent
(ˆ Aˆ B−ˆ Bˆ A)φai,bj= 0 (6.3)
et comme les ´etats φai,bjconstituent une base de l’espace de Hilbert l’´equation (6.3) est
valable pour tout ´etat physique (combinaison lin´eaire des φai,bj) et il en r´esulte
ˆ
Aˆ B−ˆ Bˆ A= 0 = [ ˆ A, ˆ B].(6.4)
111

Chapitre 6 — Les relations d’incertitude
Une condition n´ecessaire de la compatibilit´e de deux op´erateurs est qu’ils commutent. R´eci-
proquement on peut d´emontrer que si deux op´erateurs ˆ Aet ˆ Bcommutent il est possible
de construire un syst`eme complet de fonctions propres communes `a ces op´erateurs. La
d´emonstration ne sera pas donn´ee ici.
Nous avons d´ej`a rencontr´e quelques exemples d’op´erateurs qui commutent : !ˆp2
2m,ˆp"= 0,
[P, ˆ HHarm] = 0 o`u Pest l’op´erateur parit´e et ˆ HHarm l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique
(`a une ou `a deux dimensions). Vu l’importance des relations de commutation, il est bon de
se familiariser avec quelques r`egles ´el´ementaires de ces “alg`ebres d’op´erateurs”.
Nous en donnons quelques unes qui se v´erifient ais´ement
!ˆ
A, ˆ A"= 0
!ˆ
A, ˆ B"=−!ˆ
B, ˆ A"
!ˆ
A, ˆ B+ˆ C"=!ˆ
A, ˆ B"+!ˆ
A, ˆ C"
!ˆ
A, ˆ Bˆ C"=!ˆ
A, ˆ B"ˆ
C+ˆ B!ˆ
A, ˆ C"
!ˆ
Aˆ B, ˆ C"=!ˆ A, ˆ C"ˆ B+ˆ A!ˆ B, ˆ C"
#ˆ
A, !ˆ
B, ˆ C"$+#ˆ B, !ˆ
C, ˆ A"$+#ˆ C, !ˆ
A, ˆ B"$= 0 (identit´e de Jacobi)
Si ˆ Aet ˆ Bsont deux op´erateurs qui chacun commute avec leur commutateur i.e. si #ˆ
A, !ˆ
A, ˆ B"$=
#ˆ
B, !ˆ
A, ˆ B"$= 0, alors
!ˆ
A, ˆ Bn"=nˆ
Bn−1!ˆ A, ˆ B"
et
!ˆ
An,ˆ B"=nˆ An−1!ˆ
A, ˆ B".
Une application utile de ces derni`eres relations ( ˆ A= ˆp, ˆ B= ˆxn) est donn´ee par
[ˆp, ˆxn] = −i!nˆxn−1.
Plus g´en´eralement si f(ˆx) est une fonction “raisonnable”
[ˆp, f (ˆx)] = −i!df(ˆx)
dˆx(6.5)
de mˆeme
[ˆx, g(ˆp)] = i!dg(ˆp)
dˆp.(6.6)
Une fonction op´eratorielle que l’on rencontre souvent en m´ecanique quantique est l’expo-
nentielle d’un op´erateur eˆ
Ad´efinie par
eˆ
Adef
= 1
|+ˆ
A+1
2! ˆ
A2+1
3! ˆ
A3+···
112

II Les relations d’incertitude de Heisenberg
On peut alors v´erifier l’identit´e suivante
eˆ
Aˆ
Be−ˆ
A=ˆ
B+!ˆ A, ˆ B"+1
2!#ˆ
A, !ˆ A, ˆ B"$+1
3!%ˆ
A, #ˆ
A, !ˆ A, ˆ B"$&+··· (6.7)
En effet soit
f(λ) = eλˆ
Aˆ
Be−λˆ
A(λ∈C)
df(λ)
dλ=!ˆ
A, f(λ)"
et de mˆeme
d2f(λ)
dλ2=#ˆ
A, !ˆ A, f(λ)"$
et ainsi de suite. Un d´eveloppement de Taylor autour de λ= 0 donne alors le r´esultat (6.7)
puisque f(0) = ˆ Bet que f(1) est le membre de gauche de l’´eq. (6.7).
Si ˆ Aet ˆ Bcommutent avec leur commutateur,
eˆ
Aeˆ B=eˆ A+ˆ B+1
2[ˆ
A, ˆ B](6.8)
etc ...
II Les relations d’incertitude de Heisenberg
Nous avons vu dans le paragraphe pr´ec´edent que pour des observables ˆ Aet ˆ Bqui commutent,
il existe des ´etats propres communs `a ces observables. Il en r´esulte qu’une mesure “pr´ecise”
de ˆ Aet de ˆ Best en principe possible. Plus pr´ecis´ement si φa,b(x) est un ´etat propre de ˆ Aet
de ˆ Bde valeurs propres aet b(que nous supposons non d´eg´en´er´ees) alors
ˆ
Aφa,b =aφa,b ˆ Bφa,b =bφa,b.
Un ´etat physique dont l’amplitude de probabilit´e est donn´ee par φa,b est un ´etat pour
lequel une mesure de ˆ Aet/ou de ˆ Bdonnera toujours pour r´esultat aet/ou b:
#ˆ A$a,b ='φ∗
a,b(x)ˆ
Aφa,b(x)dx =a(6.9)
#ˆ B$a,b ='φ∗
a,b(x)ˆ
Bφa,b(x)dx =b(6.10)
(∆ˆ A)a,b ='φ∗
a,b(x)( ˆ
A−a)2φa,bdx = 0 (6.11)
(∆ˆ B)a,b ='φ∗
a,b(x)( ˆ
B−b)2φa,bdx = 0.(6.12)
113

Chapitre 6 — Les relations d’incertitude
Par contre si ˆ Aet ˆ Bne commutent pas, il est impossible de trouver un ´etat physique
pour lequel une mesure de ˆ Aet une mesure de ˆ Bdonneraient des valeurs pr´ecises. Nous
d´efinissons l’op´erateur hermitien ˆ Cpar la relation
!ˆ
A, ˆ B"=iˆ C. (6.13)
Le th´eor`eme d’Heisenberg (ou les relations d’incertitude de Heisenberg) est l’assertion que de
la relation (6.13) il suit que
(∆ˆ A)(∆ˆ B)≥1
2|#C$|(6.14)
soit encore que le produit des incertitudes dans la mesure des observables ˆ Aet ˆ Best toujours
plus grand (ou ´egal) `a la moiti´e de la valeur absolue de la valeur moyenne du commutateur
de ˆ Aet ˆ B!
Pour d´emontrer l’in´egalit´e (6.14) nous avons besoin du
Lemme de Schwatz :si fet gsont deux fonctions de carr´e sommable,
('+∞
−∞
|f|2dx)('+∞
−∞
|g|2dx)≥****'f∗gdx****
2
(6.15)
Pour d´emontrer ce lemme nous partons de l’in´egalit´e
'+∞
−∞
(f+λg)∗(f+λg)dx ≥0∀λ∈C(6.16)
Soit
'+∞
−∞
|f|2dx +λ'+∞
−∞
f∗gdx +λ∗'+∞
−∞
g∗fdx +|λ|2'+∞
−∞
|g|2dx ≥0 (6.17)
Comme cette in´egalit´e est valable pour tout nombre complexe λ, elle le sera pour
λ=−++∞
−∞ g∗fdx
++∞
−∞ |g|2dx .(6.18)
En substituant (6.18) dans (6.17) nous obtenons (6.15) et le lemme de Schwartz est donc
d´emontr´e. Notez que l’in´egalit´e de Schwartz devient une ´egalit´e si et seulement si les fonctions
de carr´e sommable f(x) et g(x) sont proportionnelles.
Avec (6.15) il est `a pr´esent ais´e de d´emontrer le th´eor`eme de Heisenberg. Puisque
l’op´erateur ˆ Aest hermitien
(∆ˆ A)2='(ˆ
A− # ˆ A$)φ∗(ˆ
A− # ˆ A$)φdx ='****
(ˆ A− # ˆ A$)φ(x)****
2
dx
et de mˆeme pour (∆ˆ B)2. L’in´egalit´e de Schwartz avec f= ( ˆ A−<ˆ A$)φ(x) et g= ( ˆ B−
#ˆ B$)φ(x) donne alors
(∆ˆ A)2(∆ˆ B)2≥****'+∞
−∞
φ∗(ˆ A− # ˆ A$)( ˆ B− # ˆ B$)φdx****
2
(6.19)
114

II Les relations d’incertitude de Heisenberg
o`u, rappelons le, l’in´egalit´e ne devient une ´egalit´e que lorsque
(ˆ B− # ˆ B$)φ=α(ˆ A− # ˆ A$)φ α ∈C.(6.20)
D’autre part
(ˆ A− # ˆ A$)( ˆ B− # ˆ B$) = 1
2,(ˆ
A− # ˆ A$)( ˆ B− # ˆ B$) + ( ˆ B− # ˆ B$)( ˆ A− # ˆ A$)-+1
2iC
=F+1
2iC (6.21)
o`u Fet Csont des op´erateurs hermitiens dont les valeurs moyennes sont par cons´equent
r´eelles. Avec (6.21) l’´equation (6.19) devient
(∆ˆ A)2(∆ˆ B)2≥ #F$2+1
4#C$2≥1 4#C$2(6.22)
et le th´eor`eme d’Heisenberg est donc d´emontr´e. Remarquons que dans (6.22) on n’aura une
´egalit´e que si
#F$= 0.(6.23)
Dans le cas particulier o`u ˆ A= ˆxet ˆ B= ˆp, nous avons
[ˆx, ˆp] = i!1
|
et l’´eq. (6.22) donne alors
(∆ˆx)(∆ˆp)≥1
2!(6.24)
c’est-`a-dire la “relation d’incertitude” de Heisenberg !
A ce stade, il est particuli`erement int´eressant de sp´ecifier l’´etat physique pour lequel
l’´eq. (6.20) devient une ´egalit´e : pour un tel ´etat le produit des incertitudes de “position et
d’impulsion” est minimal.
En vertu de l’´eq. (6.20), nous avons, pour un tel ´etat ”d’incertitude minimum”, φmin.(x)
'φ∗
min.(ˆx− #ˆx$)(!
i
∂
∂x− #ˆp$)φmin.dx =α(∆ˆx)2(6.25)
et
'φ∗
min.(!
i
∂
∂x− #ˆp$)(ˆx− #ˆx$)φmin.dx =1 α(∆ˆp)2(6.26)
mais, comme #F$min. = 0, nous devons avoir
α(∆ˆx)2+1
α(∆ˆp)2= 0.(6.27)
Par ailleurs, en soustrayant (6.26) de (6.25)
α(∆ˆx)2−1
α(∆ˆp)2=i!(6.28)
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