contrôle continu 1 Rappels sur l`oscillateur harmonique classique 2

Université Joseph Fourier
Phy242 : Physique quantique
contrôle continu
durée : 1h
mars 2007
Les trois parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.
1
Rappels sur l’oscillateur harmonique classique
En mécanique classique, l’oscillateur harmonique est une particule de masse m assujettie se déplacer le
long d’un axe Ox et soumise à une force de rappel Fx = −Kx. Où x représente l’écart par rapport à la
position d’équilibre x = 0. Le mouvement de la particule est régi par l’équation de la dynamique :
m
d2 x
+ Kx = 0
dt2
Dont la solution générale est : x(t) = A cos(ωt − φ) avec ω 2 = K/m.
L’énergie totale E = V (x) + 1/2mv 2 = 1/2Kx2 + 1/2mv 2 est constante.
1. Pour une énergie totale E0 quel est le domaine de valeurs possibles pour la variable x ?
2. Quelle est la plus petite valeur possible pour E0 ? A quoi correspond cette situation ?
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L’oscillateur harmonique quantique
L’oscillateur harmonique est d’une grande importance en théorie quantique car il intervient dans tous les
problèmes mettant en jeu des oscillations quantifiées telles que les vibrations moléculaires et cristallines.
De plus c’est aussi un système simple dont on sait résoudre parfaitement l’équation de Schrödinger. Pour
le cas d’une particule de masse m dans un puits de potentiel parabolique V (x) = 1/2Kx2 = mω 2 x2 cette
équation s’écrit :
h̄2 d2 ψ(x) 1
+ Kx2 ψ(x) = Eψ(x)
(1)
2m dx2
2
Les 3 premières solutions de l’équation (1), correspondant aux 3 premiers niveaux d’énergie, sont :
−
mω 2
x
ψ0 (x) = C0 exp −
2h̄
mω 2
x
ψ1 (x) = 2xC1 exp −
2h̄
(2)
(3)
ψ2 (x) = (4x2 C2 − 2C2′ ) exp −
mω 2
x
2h̄
(4)
Ces fonctions sont représentées figure (1)
1. A quoi servent les constantes Ci ? Quelle est la dimension de la constante C0 ?
2. Sachant que :
Z
+∞
−∞
déterminer la constante C0 .
exp −ax2 dx =
1
r
π
a
(5)
Figure 1: Représentations graphiques des fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique.
3. Vérifier que ψ0 (x), qui correspond à la fonction d’onde de l’état fondamental, est solution de
l’équation (1), en déduire l’énergie E0 de l’état fondamental.
4. Pourquoi a-t-on E0 6= 0 ?
5. Pour l’état fondamental, quelles sont les abcisses limites ±x0 que la mécanique classique impose la
particule ? Quelle est la différence avec la mécanique quantique ? Calculer la probabilité de trouver
la particule dans la région classiquement interdite, sachant que :
Z
+ℓ
−ℓ
3
−x2
1
√ exp
ℓ π
ℓ2
!
dx ≈ 0.843
(6)
Application aux vibrations d’une molécule diatomique
Une p
molécule diatomique peut être considérée comme un oscillateur harmonique de pulsation propre
ω = K/µ où µ est la masse réduite du système et K la raideur du “ressort” qui relie les deux atomes.
On montre que les niveaux d’énergies quantiques En obeissent à la loi En = (n + 1/2)h̄ω. Lors de la
transition depuis le premier état excité n = 1 vers l’état fondamental n = 0 d’une molécule C-O on
détecte une onde électromagnétique de fréquence ν = 6.42 × 1013 Hz.
On donne : h = 1.63 × 10−34 J.s ; 1 u = 1.66 × 10−27 kg
1. Calculer en Joule, puis en eV, l’énergie du photon correspondant cette transition ?
2. En prenant la masse du carbone égale à 12 u et celle de l’oxygène égale à 16 u calculer la raideur
K
3. Quelle est l’ordre de grandeur de l’amplitude de vibration de la molécule C-O lorsque elle est dans
son état fondamental ? Que peut on dire du point de vue classique et du point de vue quantique
sur la position relative des deux atomes de la molécule C-O dans son état fondamental ?
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