contrôle continu 1 Rappels sur l`oscillateur harmonique classique 2

Universit´e Joseph Fourier Phy242 : Physique quantique
contrˆole continu
dur´ee : 1h mars 2007
Les trois parties du probl`eme sont, dans une large mesure, ind´ependantes.
1 Rappels sur l’oscillateur harmonique classique
En m´ecanique classique, l’oscillateur harmonique est une particule de masse massujettie se d´eplacer le
long d’un axe Ox et soumise `a une force de rappel Fx=−Kx. O`u xrepr´esente l’´ecart par rapport `a la
position d’´equilibre x= 0. Le mouvement de la particule est r´egi par l’´equation de la dynamique :
md2x
dt2+Kx = 0
Dont la solution g´en´erale est : x(t) = Acos(ωt −φ) avec ω2=K/m.
L’´energie totale E=V(x) + 1/2mv2= 1/2Kx2+ 1/2mv2est constante.
1. Pour une ´energie totale E0quel est le domaine de valeurs possibles pour la variable x?
2. Quelle est la plus petite valeur possible pour E0? A quoi correspond cette situation ?
2 L’oscillateur harmonique quantique
L’oscillateur harmonique est d’une grande importance en th´eorie quantique car il intervient dans tous les
probl`emes mettant en jeu des oscillations quantifi´ees telles que les vibrations mol´eculaires et cristallines.
De plus c’est aussi un syst`eme simple dont on sait r´esoudre parfaitement l’´equation de Schr¨odinger. Pour
le cas d’une particule de masse mdans un puits de potentiel parabolique V(x) = 1/2Kx2=mω2x2cette
´equation s’´ecrit :
−¯h2
2m
d2ψ(x)
dx2+1 2Kx2ψ(x) = Eψ(x) (1)
Les 3 premi`eres solutions de l’´equation (1), correspondant aux 3 premiers niveaux d’´energie, sont :
ψ0(x) = C0exp −mω
2¯hx2(2)
ψ1(x) = 2xC1exp −mω
2¯hx2(3)
ψ2(x) = (4x2C2−2C′
2) exp −mω
2¯hx2(4)
Ces fonctions sont repr´esent´ees figure (1)
1. A quoi servent les constantes Ci? Quelle est la dimension de la constante C0?
2. Sachant que :
Z+∞
−∞
exp −ax2dx =rπ
a(5)
d´eterminer la constante C0.
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Figure 1: Repr´esentations graphiques des fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique.
3. V´erifier que ψ0(x), qui correspond `a la fonction d’onde de l’´etat fondamental, est solution de
l’´equation (1), en d´eduire l’´energie E0de l’´etat fondamental.
4. Pourquoi a-t-on E06= 0 ?
5. Pour l’´etat fondamental, quelles sont les abcisses limites ±x0que la m´ecanique classique impose la
particule ? Quelle est la diff´erence avec la m´ecanique quantique ? Calculer la probabilit´e de trouver
la particule dans la r´egion classiquement interdite, sachant que :
Z+ℓ
−ℓ
1
ℓ√πexp −x2 ℓ2!dx ≈0.843 (6)
3 Application aux vibrations d’une mol´ecule diatomique
Une mol´ecule diatomique peut ˆetre consid´er´ee comme un oscillateur harmonique de pulsation propre
ω=pK/µ o`u µest la masse r´eduite du syst`eme et Kla raideur du “ressort” qui relie les deux atomes.
On montre que les niveaux d’´energies quantiques Enobeissent `a la loi En= (n+ 1/2)¯hω. Lors de la
transition depuis le premier ´etat excit´e n= 1 vers l’´etat fondamental n= 0 d’une mol´ecule C-O on
d´etecte une onde ´electromagn´etique de fr´equence ν= 6.42 ×1013 Hz.
On donne : h= 1.63 ×10−34 J.s ; 1 u = 1.66 ×10−27 kg
1. Calculer en Joule, puis en eV, l’´energie du photon correspondant cette transition ?
2. En prenant la masse du carbone ´egale `a 12 u et celle de l’oxyg`ene ´egale `a 16 u calculer la raideur
K
3. Quelle est l’ordre de grandeur de l’amplitude de vibration de la mol´ecule C-O lorsque elle est dans
son ´etat fondamental ? Que peut on dire du point de vue classique et du point de vue quantique
sur la position relative des deux atomes de la mol´ecule C-O dans son ´etat fondamental ?
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