Physique Quantique - 1A

Physique Quantique - 1A
2h - sans document ni calculatrice
10 Juin 2014
Le sujet est à rendre avec votre copie.
Les 3 exercices sont indépendants et vous trouverez un formulaire de cours à la fin du sujet.
Les vecteurs sont notés en gras (u).
1
Culture Générale
Les questions ci-dessous attendent une réponse en 5 lignes maximum.
Q1. Que savez-vous sur le proton ? (constituants, interactions. . . )
Q2. Quelle signification a le concept de dualité onde-corpuscule ? (particules concernées, relations
onde-corpuscule. . . )
Q3. Qu’appelle-t-on principe d’incertitude de Heisenberg ?(relation mathématique, sens physique. . . )
2
Interaction d’un noyau atomique avec un champ magnétique
On considère une modélisation rudimentaire d’un noyau atomique comme une particule de masse m,
immobile dans l’espace, dont seul le spin S peut varier, i.e. on ne s’intéresse pas à la partie spatiale de sa
fontion d’onde. L’état quantique de ce noyau est décrit par le vecteur d’état : |ψi = α |+zi + β |−zi, où
|+zi et |−zi sont états propres, de valeurs propres respectives +~/2 et −~/2, de l’opérateur Sz .
Q4. Quelle relation doivent satisfaire α et β ? Quelle est l’origine de cette relation ?
Q5. A quelle grandeur physique est associée l’observable Sz ? Faire le schéma (simple, mais
complet) d’un dispositif expérimental permettant de faire cette mesure.
Q6. Donner la matrice de l’observable Sz , dans la base de travail {|+zi , |−zi}, en justifiant votre
résultat.
Q7. Déterminer les états propres de l’observables Sy .
√
Q8. Le noyau se trouvant dans l’état quantique |ψi = 12 |+zi + i 23 |−zi, quels sont les résultats
possibles d’une mesure de Sz ? De Sy ? Les valeurs obtenues sont-elles surprenantes ? Calculer les
probabilités de mesure associées à chacune des valeurs, pour Sz et Sy . Commentaires ?
On considère l’observable Su mesurant la composante du spin selon l’axe porté par le vecteur unitaire
u de coordonnées sphériques (θ, ϕ). On écrit donc : Su = Sx sin θ cos ϕ + Sy sin θ sin ϕ + Sz cos θ.
Q9. Ecrire la matrice de l’observable Su dans la base {|+zi , |−zi}.
On montre que l’observable Su possède deux vecteur propres respectivement notés |+ui = cos 2θ e−iϕ/2 |+zi+
sin
et |−ui = − sin 2θ e−iϕ/2 |+zi + cos 2θ eiϕ/2 |−zi.
θ iϕ/2
|−zi
2e
Q10. Déterminer les valeurs propres correspondantes.
Q11. Déterminer θ et ϕ (en fonction de α et β) tels que la mesure de la composante du spin
selon u donne ~/2 avec une probabilité de 100%. En déduire que tout état quantique du système
peut s’écrire cos 2θ eiϕ/2 |+zi + sin 2θ e−iϕ/2 |−zi.
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10 Juin 2014
Q12. Déterminer la valeur moyenne de chacune des composantes Sx , Sy , Sz du spin lorsque le
noyau se trouve dans l’état |ψi = cos 2θ eiϕ/2 |+zi + sin 2θ e−iϕ/2 |−zi. Que peut-on dire de la valeur
moyenne hSi du spin ?
On place le noyau dans un champ magnétique uniforme B de 1 Tesla dirigé selon l’axe Oz.
Q13. Rappeler la relation de proportionnalité entre le moment magnétique M du noyau et son
spin S, en précisant le nom et l’unité du facteur introduit. Donner un ordre de grandeur de ce
facteur, dans le cas du proton.
Q14. Déterminer l’Hamiltonien du noyau en interaction avec le champ magnétique.
Q15. En l’absence de champ magnétique, le proton se trouve sur le niveau fondamental E0 .
Déterminer la position des deux nouveaux niveaux d’énergie résultant de l’apparition du champ
magnétique B, et pour chacun des 2 niveaux, indiquer l’état de spin correspondant. En déduire la
pulsation ω de l’onde électromagnétique capable, en interagissant avec le noyau, de faire basculer
le spin de l’état |+zi à l’état |−zi.
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Etude d’un modèle simplifié de l’ion moléculaire H2+
La molécule (ionisée) H2+ est constituée de deux protons et d’un électron.
On s’intéresse aux deux premiers niveaux d’énergie de l’électron dans la molécule. On se restreint
ici à une étude unidimensionnelle. Le potentiel électrostatique auquel est soumis l’électron est représenté
figure 1 : ce potentiel est constitué de deux puits de potentiel infinis (donc isolés l’un de l’autre), de
même largeur, centrés sur chacun des deux noyaux, et traduisant l’effet attracteur de ces derniers sur
l’électron.
}
}
I
V (x)
-
II
6
- x
−a − c
−a
a
a+c
Figure 1 – Potentiel auquel est soumis l’électron dans la molécule H2+ .
Dans un premier temps, nous allons raisonner sur un unique puits infini (non représenté), de largeur
c, compris entre les abscisses x = 0 et x = c. Le potentiel dans ce puits est V (0 ≤ x ≤ c) = 0.
Q16. Rappeler l’expression de l’Hamiltonien H dans le cas général et en déduire que l’équation
2
aux valeurs propres de l’Hamiltonien peut s’écrire : −~
2m ∆ϕn (x)+V ϕn (x) = En ϕn (x). Que devient
cette équation, dans le cas de notre puits infini ?
Q17. Résoudre l’équation précédente, dans la région située entre 0 et c, et prouver que la fonction
d’onde peut se mettre sous la forme ϕn (x) = A.cos(αn x) + B.sin(αn x). Exprimez αn , en fonction
de m, En et ~.
Q18. On admettra que ϕn (x) est nulle en x = 0 et x = c. Prouver que la fonction d’onde peut
se mettre sous la forme ϕn (x) = B.sin(αn x). Exprimez αn , en fonction de n, π et c.
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Q19. Comment peut-on déterminer le coefficient Bq? Faire le calcul et prouver que la forme
2
complète de la fonction d’onde est donc : ϕn (x) =
c .sin(αn x), pour 0 ≤ x ≤ c. Comment
s’exprime le niveau d’énergie En associé à cet état ?
Q20. Déduire des questions précédentes l’expression du niveau fondamental et de la fonction
d’onde correspondante. Justifier votre réponse.
Tracer le puits de potentiel et l’allure de la fonction d’onde obtenue. Quel sens physique peut-on
donner à cette fonction d’onde ?
Q21. Toujours dans le cas du puits de potentiel simple, rappeler l’expression de l’évolution temporelle de l’état stationnaire correspondant au niveau fondamental.
On prend désormais comme potentiel celui décrit par la figure 1.
Dans toute la suite, on néglige les niveaux d’énergie autres que le niveau fondamental, que l’on note E1 .
On note ϕI (x) (respectivement ϕII (x)) la fonction d’onde électronique choisie normée dans le niveau
fondamental E1 , lorsque l’électron se trouve dans le puits I (respectivement II). Le support de ϕI (x)
(respectivement ϕII (x)) est l’intervalle [−a − c; −a] (resp. [a; a + c]).
Q22. Tracer ϕI (x) et ϕII (x) sur la figure 1.
Q23. Montrer que la base B = {|ϕI i , |ϕII i} est orthonormée.
Toute fonction d’onde électronique peut donc s’écrire (dans la base B) :
cI (t)
|ψ(t)i = cI (t) |ϕI i + cII (t) |ϕII i =
cII (t)
Q24. Montrer que, lorsque l’électron est décrit par cette fonction d’onde, la probabilité de présence
dans le puits I (resp. II) vaut |cI (t)2 (t)| (resp. |cII (t)2 (t)|).
Q25. Montrer, à partir de l’équation aux états stationnaires, que dans la base B, l’Hamiltonien
s’écrit :
E1 0
H=
0 E1
Q26. A partir de l’équation de Schrödinger écrite sous forme matricielle dans la base B, déduire
deux équations différentielles relatives à cI (t) et cII (t), puis donner l’expression temporelle de cI (t)
et cII (t) en fonction des conditions initiales cI (0) et cII (0).
Que peut-on dire quant à la probabilité de passage de l’électron d’un puits à l’autre (on considérera
par exemple les conditions initiales cI (0) = 1 et cII (0) = 0) ? Est-ce cohérent avec la notion d’état
stationnaire ?
Afin de rendre compte dans notre modèle, de la probabilité de passage de l’électron du voisinage d’un
des noyaux au voisinage de l’autre, on ajoute à l’Hamiltonien un terme A non-diagonal :
E1 A
H=
A E1
Q27. Déterminer à nouveau la loi d’évolution temporelle de cI (t) et cII (t), dans le cas des
conditions initiales précédentes. Conclusion quant au rôle de A ?
Q28. A quelle période l’électron oscille-t-il entre les deux noyaux ?
Q29. Déterminer les nouveaux niveaux d’énergie du système (on les notera E + et E − ). Tracez les
en fonction de A (A > 0). Comment ce diagramme permet-il d’expliquer la stabilité de la molécule
H2+ ?
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Formulaire
Postulats de la mécanique quantique
L’état quantique d’une particule (sans spin) est décrit par une fonction d’onde ψ(r, t) ∈ L2 .
Le produit scalaire de 2 fonctions d’onde ϕ1 (r) et ϕ2 (r) (ou indifférement, des kets |ϕ1 i et |ϕ2 i) est le
nombre complexe
ZZZ
ϕ1 (r)∗ ϕ2 (r) dV = hϕ2 | ϕ1 i∗
hϕ1 | ϕ2 i =
R3
On associe à chaque grandeur physique A une observable A : c’est un opérateur hermitique, i.e. tel
que A = A† (rappel : A† est l’opérateur adjoint, défini comme t (A∗ ), i.e., c’est la matrice transposée de la
conjuguée complexe de A).
Exemples importants :
– l’opérateur position R = (X, Y, Z), défini par X |ri = x |ri, ou de manière équivalente X[ϕ(r)] =
xϕ(r), et idem pour Y et Z ;
– l’opérateur impulsion P = (Px , Py , Pz ) défini par Px |pi = px |pi, ou de manière équivalente
Px [ϕ(r)] = −i~∂ϕ(r)/∂x ;
P2
– l’opérateur hamiltonien (énergie mécanique) H = 2m
+ V (R).
Grandeurs statistiques relatives aux résultats de N mesures de A (N → ∞), la particule étant dans
l’état |ψi :
– moyenne : hAiψ = hψ| A |ψi
q
– écart-type : δA = hA2 i − hAi2
États stationnaires
Équation aux valeurs propres de l’Hamiltonien : H |ϕn i = En |ϕn i, où les En sont les niveaux d’énergie.
Évolution temporelle d’un état quantique
L’évolution est régie par l’équation de Schrödinger (postulat 6) : i~ d|ψ(t)i
= H |ψ(t)i
dt
−iE
t/~
n
Évolution d’un état stationnaire |ψ(0)i = |ϕn i : |ψ(t)i = e
|ϕn i = e−iωn t |ϕn i, relation qui
s’étend à unePsuperposition linéaire quelconque d’états stationnaires,
|ψ(t)i = n cn e−iEn t/~ |ϕn i.
Théorème d’Ehrenfest
Si un opérateur A ne dépend pas du temps, l’évolution temporelle de sa valeur moyenne est donnée
par :
d
1
hAiψ =
hψ|[A, H]|ψi
dt
i~
où H représente l’Hamiltonien associé au système.
Particule de spin
1
2
Spin : moment cinétique propre de la particule. Comme pour le moment cinétique orbital, on ne peut
mesurer que sa projection selon une direction arbitraire à la fois, par exemple l’axe Oz : sz = ± ~2 .
Opérateurs de spin : S = (Sx , Sy , Sz ).
Représentation matricielle dans la base {|+zi , |−zi}, où |+zi et |−zi sont les états propres de l’opérateur
de spin Sz . :
~ 0 1
~ 0 −i
Sx =
Sy =
Sz = . . .
i 0
2 1 0
2