Physique Quantique - 1A

Physique Quantique - 1A
2h - sans document ni calculatrice
10 Juin 2014
Le sujet est `a rendre avec votre copie.
Les 3 exercices sont ind´ependants et vous trouverez un formulaire de cours `a la fin du sujet.
Les vecteurs sont not´es en gras (u).
1 Culture G´en´erale
Les questions ci-dessous attendent une r´eponse en 5 lignes maximum.
Q1. Que savez-vous sur le proton ? (constituants, interactions. . . )
Q2. Quelle signification a le concept de dualit´e onde-corpuscule ? (particules concern´ees, relations
onde-corpuscule. . . )
Q3. Qu’appelle-t-on principe d’incertitude de Heisenberg ?(relation math´ematique, sens phy-
sique. . . )
2 Interaction d’un noyau atomique avec un champ magn´etique
On consid`ere une mod´elisation rudimentaire d’un noyau atomique comme une particule de masse m,
immobile dans l’espace, dont seul le spin Speut varier, i.e. on ne s’int´eresse pas `a la partie spatiale de sa
fontion d’onde. L’´etat quantique de ce noyau est d´ecrit par le vecteur d’´etat : |ψi=α|+zi+β|−zi, o`u
|+ziet |−zisont ´etats propres, de valeurs propres respectives +~/2 et −~/2, de l’op´erateur Sz.
Q4. Quelle relation doivent satisfaire αet β? Quelle est l’origine de cette relation ?
Q5. A quelle grandeur physique est associ´ee l’observable Sz? Faire le sch´ema (simple, mais
complet) d’un dispositif exp´erimental permettant de faire cette mesure.
Q6. Donner la matrice de l’observable Sz, dans la base de travail {|+zi,|−zi}, en justifiant votre
r´esultat.
Q7. D´eterminer les ´etats propres de l’observables Sy.
Q8. Le noyau se trouvant dans l’´etat quantique |ψi=1
2|+zi+i√3 2|−zi, quels sont les r´esultats
possibles d’une mesure de Sz? De Sy? Les valeurs obtenues sont-elles surprenantes ? Calculer les
probabilit´es de mesure associ´ees `a chacune des valeurs, pour Szet Sy. Commentaires ?
On consid`ere l’observable Sumesurant la composante du spin selon l’axe port´e par le vecteur unitaire
ude coordonn´ees sph´eriques (θ, ϕ). On ´ecrit donc : Su=Sxsin θcos ϕ+Sysin θsin ϕ+Szcos θ.
Q9. Ecrire la matrice de l’observable Sudans la base {|+zi,|−zi}.
On montre que l’observable Suposs`ede deux vecteur propres respectivement not´es |+ui= cos θ
2e−iϕ/2|+zi+
sin θ
2eiϕ/2|−ziet |−ui=−sin θ 2e−iϕ/2|+zi+ cos θ 2eiϕ/2|−zi.
Q10. D´eterminer les valeurs propres correspondantes.
Q11. D´eterminer θet ϕ(en fonction de αet β) tels que la mesure de la composante du spin
selon udonne ~/2avec une probabilit´e de 100%. En d´eduire que tout ´etat quantique du syst`eme
peut s’´ecrire cos θ
2eiϕ/2|+zi+ sin θ 2e−iϕ/2|−zi.

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Q12. D´eterminer la valeur moyenne de chacune des composantes Sx,Sy,Szdu spin lorsque le
noyau se trouve dans l’´etat |ψi= cos θ
2eiϕ/2|+zi+ sin θ 2e−iϕ/2|−zi. Que peut-on dire de la valeur
moyenne hSidu spin ?
On place le noyau dans un champ magn´etique uniforme Bde 1 Tesla dirig´e selon l’axe Oz.
Q13. Rappeler la relation de proportionnalit´e entre le moment magn´etique Mdu noyau et son
spin S, en pr´ecisant le nom et l’unit´e du facteur introduit. Donner un ordre de grandeur de ce
facteur, dans le cas du proton.
Q14. D´eterminer l’Hamiltonien du noyau en interaction avec le champ magn´etique.
Q15. En l’absence de champ magn´etique, le proton se trouve sur le niveau fondamental E0.
D´eterminer la position des deux nouveaux niveaux d’´energie r´esultant de l’apparition du champ
magn´etique B, et pour chacun des 2 niveaux, indiquer l’´etat de spin correspondant. En d´eduire la
pulsation ωde l’onde ´electromagn´etique capable, en interagissant avec le noyau, de faire basculer
le spin de l’´etat |+zi`a l’´etat |−zi.
3 Etude d’un mod`ele simplifi´e de l’ion mol´eculaire H+
2
La mol´ecule (ionis´ee) H+
2est constitu´ee de deux protons et d’un ´electron.
On s’int´eresse aux deux premiers niveaux d’´energie de l’´electron dans la mol´ecule. On se restreint
ici `a une ´etude unidimensionnelle. Le potentiel ´electrostatique auquel est soumis l’´electron est repr´esent´e
figure 1 : ce potentiel est constitu´e de deux puits de potentiel infinis (donc isol´es l’un de l’autre), de
mˆeme largeur, centr´es sur chacun des deux noyaux, et traduisant l’effet attracteur de ces derniers sur
l’´electron.
-
6
-} }
IV(x)
x
a
−a a +c−a−c
II
Figure 1 – Potentiel auquel est soumis l’´electron dans la mol´ecule H+
2.
Dans un premier temps, nous allons raisonner sur un unique puits infini (non repr´esent´e), de largeur
c, compris entre les abscisses x= 0 et x=c. Le potentiel dans ce puits est V(0 ≤x≤c) = 0.
Q16. Rappeler l’expression de l’Hamiltonien Hdans le cas g´en´eral et en d´eduire que l’´equation
aux valeurs propres de l’Hamiltonien peut s’´ecrire : −~2
2m∆ϕn(x)+V ϕn(x) = Enϕn(x). Que devient
cette ´equation, dans le cas de notre puits infini ?
Q17. R´esoudre l’´equation pr´ec´edente, dans la r´egion situ´ee entre 0et c, et prouver que la fonction
d’onde peut se mettre sous la forme ϕn(x) = A.cos(αnx) + B.sin(αnx). Exprimez αn, en fonction
de m,Enet ~.
Q18. On admettra que ϕn(x)est nulle en x= 0 et x=c. Prouver que la fonction d’onde peut
se mettre sous la forme ϕn(x) = B.sin(αnx). Exprimez αn, en fonction de n,πet c.

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Q19. Comment peut-on d´eterminer le coefficient B? Faire le calcul et prouver que la forme
compl`ete de la fonction d’onde est donc : ϕn(x) = q2
c.sin(αnx), pour 0≤x≤c. Comment
s’exprime le niveau d’´energie Enassoci´e `a cet ´etat ?
Q20. D´eduire des questions pr´ec´edentes l’expression du niveau fondamental et de la fonction
d’onde correspondante. Justifier votre r´eponse.
Tracer le puits de potentiel et l’allure de la fonction d’onde obtenue. Quel sens physique peut-on
donner `a cette fonction d’onde ?
Q21. Toujours dans le cas du puits de potentiel simple, rappeler l’expression de l’´evolution tem-
porelle de l’´etat stationnaire correspondant au niveau fondamental.
On prend d´esormais comme potentiel celui d´ecrit par la figure 1.
Dans toute la suite, on n´eglige les niveaux d’´energie autres que le niveau fondamental, que l’on note E1.
On note ϕI(x) (respectivement ϕII (x)) la fonction d’onde ´electronique choisie norm´ee dans le niveau
fondamental E1, lorsque l’´electron se trouve dans le puits I(respectivement II). Le support de ϕI(x)
(respectivement ϕII (x)) est l’intervalle [−a−c;−a] (resp. [a;a+c]).
Q22. Tracer ϕI(x)et ϕII (x)sur la figure 1.
Q23. Montrer que la base B={|ϕIi,|ϕII i} est orthonorm´ee.
Toute fonction d’onde ´electronique peut donc s’´ecrire (dans la base B) :
|ψ(t)i=cI(t)|ϕIi+cII (t)|ϕII i=cI(t)
cII (t)
Q24. Montrer que, lorsque l’´electron est d´ecrit par cette fonction d’onde, la probabilit´e de pr´esence
dans le puits I(resp. II) vaut |cI(t)2(t)|(resp. |cII (t)2(t)|).
Q25. Montrer, `a partir de l’´equation aux ´etats stationnaires, que dans la base B, l’Hamiltonien
s’´ecrit :
H=E10
0E1
Q26. A partir de l’´equation de Schr¨odinger ´ecrite sous forme matricielle dans la base B, d´eduire
deux ´equations diff´erentielles relatives `a cI(t)et cII (t), puis donner l’expression temporelle de cI(t)
et cII (t)en fonction des conditions initiales cI(0) et cII (0).
Que peut-on dire quant `a la probabilit´e de passage de l’´electron d’un puits `a l’autre (on consid´erera
par exemple les conditions initiales cI(0) = 1 et cII (0) = 0) ? Est-ce coh´erent avec la notion d’´etat
stationnaire ?
Afin de rendre compte dans notre mod`ele, de la probabilit´e de passage de l’´electron du voisinage d’un
des noyaux au voisinage de l’autre, on ajoute `a l’Hamiltonien un terme Anon-diagonal :
H=E1A
A E1
Q27. D´eterminer `a nouveau la loi d’´evolution temporelle de cI(t)et cII (t), dans le cas des
conditions initiales pr´ec´edentes. Conclusion quant au rˆole de A?
Q28. A quelle p´eriode l’´electron oscille-t-il entre les deux noyaux ?
Q29. D´eterminer les nouveaux niveaux d’´energie du syst`eme (on les notera E+et E−). Tracez les
en fonction de A(A > 0). Comment ce diagramme permet-il d’expliquer la stabilit´e de la mol´ecule
H+
2?

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Formulaire
Postulats de la m´ecanique quantique
L’´etat quantique d’une particule (sans spin) est d´ecrit par une fonction d’onde ψ(r, t)∈ L2.
Le produit scalaire de 2 fonctions d’onde ϕ1(r) et ϕ2(r) (ou indiff´erement, des kets |ϕ1iet |ϕ2i) est le
nombre complexe
hϕ1|ϕ2i=ZZZR3 ϕ1(r)∗ϕ2(r)dV =hϕ2|ϕ1i∗
On associe `a chaque grandeur physique Aune observable A: c’est un op´erateur hermitique, i.e. tel
que A=A†(rappel : A†est l’op´erateur adjoint, d´efini comme t(A∗), i.e., c’est la matrice transpos´ee de la
conjugu´ee complexe de A).
Exemples importants :
– l’op´erateur position R = (X, Y, Z), d´efini par X|ri=x|ri, ou de mani`ere ´equivalente X[ϕ(r)] =
xϕ(r), et idem pour Yet Z;
– l’op´erateur impulsion P = (Px, Py, Pz) d´efini par Px|pi=px|pi, ou de mani`ere ´equivalente
Px[ϕ(r)] = −i~∂ϕ(r)/∂x ;
– l’op´erateur hamiltonien (´energie m´ecanique) H=P2
2m+V(R).
Grandeurs statistiques relatives aux r´esultats de Nmesures de A(N→ ∞), la particule ´etant dans
l’´etat |ψi:
– moyenne : hAiψ=hψ|A|ψi
– ´ecart-type : δA =qhA2i−hAi2
´
Etats stationnaires
´
Equation aux valeurs propres de l’Hamiltonien : H|ϕni=En|ϕni, o`u les Ensont les niveaux d’´energie.
´
Evolution temporelle d’un ´etat quantique
L’´evolution est r´egie par l’´equation de Schr¨odinger (postulat 6) : i~d|ψ(t)i
dt =H|ψ(t)i
´
Evolution d’un ´etat stationnaire |ψ(0)i=|ϕni:|ψ(t)i=e−iEnt/~|ϕni=e−iωnt|ϕni, relation qui
s’´etend `a une superposition lin´eaire quelconque d’´etats stationnaires,
|ψ(t)i=Pncne−iEnt/~|ϕni.
Th´eor`eme d’Ehrenfest
Si un op´erateur Ane d´epend pas du temps, l’´evolution temporelle de sa valeur moyenne est donn´ee
par :
d
dt hAiψ=1 i~hψ|[A, H]|ψi
o`u Hrepr´esente l’Hamiltonien associ´e au syst`eme.
Particule de spin 1
2
Spin : moment cin´etique propre de la particule. Comme pour le moment cin´etique orbital, on ne peut
mesurer que sa projection selon une direction arbitraire `a la fois, par exemple l’axe Oz :sz=±~
2.
Op´erateurs de spin : S= (Sx, Sy, Sz).
Repr´esentation matricielle dans la base {|+zi,|−zi}, o`u |+ziet |−zisont les ´etats propres de l’op´erateur
de spin Sz. :
Sx=~
20 1
1 0 Sy=~
20−i
i0Sz=. . .