RAN1 - Calcul - Cours

Calcul et raisonnement
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Remise à Niveau Mathématiques
Première partie : Calcul et raisonnement
Cours

Calcul et raisonnement
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OBJECTIFS généraux de la remise à niveau :
- redécouvrir les outils fondamentaux et en améliorer la maîtrise
- favoriser la démarche d’approche des problèmes
PRINCIPES DE BASE :
- Dans l’industrie, la problématique pour le cadre est de pouvoir « associer »,
« appréhender » de nombreux paramètres et de prendre une décision !
- Dans l’industrie, il y a pour l’ingénieur ou le cadre la nécessité de mettre en équation une
situation donnée, puis de savoir résoudre une équation – trouver une solution d’une
manière exacte ou par approximations -, de savoir étudier des variations pour trouver un
optimum, de savoir calculer une grandeur.
- De même que l’on construit un mur en partant du sol, il est essentiel d’avoir une bonne
maîtrise des bases du calcul et de l’analyse.
CONSEILS :
Entraînez-vous très régulièrement tout au long de votre parcours ;
Surfez sur Internet pour découvrir plusieurs angles d’attaque :
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http://www.bibmath.net/
http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/index.htm#Top
http://www.bacamaths.net/
et mille autres…

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1 Calcul numérique ____________________________________________________________ 5
1.1 Définitions de base ______________________________________________________ 5
1.2 Puissances d’un nombre __________________________________________________ 7
1.2.1 Puissances entières positives______________________________________________ 7
1.2.2 Puissances entières négatives _____________________________________________ 7
1.2.3 Formules relatives à la notation puissance ___________________________________ 8
1.2.4 Radicaux et puissances inverses ___________________________________________ 8
1.2.5 Puissances fractionnaires ________________________________________________ 8
1.2.6 Puissances entières de 10 ________________________________________________ 9
1.3 Grandes et petites valeurs, ordre de grandeur ________________________________ 9
1.3.1 Ecriture scientifique d’un nombre _________________________________________ 9
1.3.2 Notation de l’ingénieur d’un nombre ______________________________________ 10
1.3.3 Ordre de grandeur d’un nombre __________________________________________ 10
1.4 Calcul fractionnaire ____________________________________________________ 11
1.4.1 Simplification de fractions ______________________________________________ 11
1.4.2 Multiplications et divisions ______________________________________________ 12
1.4.3 Additions ____________________________________________________________ 12
1.5 Proportions et pourcentages _____________________________________________ 13
1.5.1 Listes et grandeurs proportionnelles _______________________________________ 13
1.5.2 Listes et grandeurs inversement proportionnelles_____________________________ 16
1.5.3 Pourcentages fixes ____________________________________________________ 17
1.5.4 Pourcentages de variations ______________________________________________ 18
1.6 Opérateur somme ______________________________________________________ 19
1.7 Différents types de moyennes _____________________________________________ 20
1.7.1 moyenne arithmétique
x
______________________________________________ 20
1.7.2 moyenne géométrique G ________________________________________________ 20
1.7.3 moyenne harmonique h _________________________________________________ 20
1.7.4 moyenne quadratique s _________________________________________________ 21
1.7.5 Comparaison des différentes moyennes ____________________________________ 21
1.8 Bases d’écritures _______________________________________________________ 21
1.8.1 Système romain _______________________________________________________ 21
1.8.2 Système décimal ______________________________________________________ 22
1.8.3 D’autres bases ________________________________________________________ 22
2 Calcul littéral ______________________________________________________________ 23
2.1 Mise en forme et définitions ______________________________________________ 23
2.1.1 forme d’une expression _________________________________________________ 23
2.1.2 Différents types de nombres _____________________________________________ 23
2.2 Calcul littéral dans des cas simples : _______________________________________ 24
2.2.1 Simplification de fractions ______________________________________________ 24
2.2.2 Formules rectangulaires et formules triangulaires ____________________________ 25
2.2.3 Identités remarquables _________________________________________________ 26
2.3 Polynômes ____________________________________________________________ 28
2.3.1 Généralités __________________________________________________________ 28

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2.3.2 Premier degré ________________________________________________________ 29
2.3.3 Second degré et équation associée ________________________________________ 30
2.3.4 Troisième degré ______________________________________________________ 31
2.4 Opérations sur les polynômes ____________________________________________ 32
2.4.1 Addition ____________________________________________________________ 32
2.4.2 Multiplication ________________________________________________________ 32
2.4.3 Division _____________________________________________________________ 34
3 Raisonnement et mise en équation _____________________________________________ 39
3.1 Raisonnement par récurrence ____________________________________________ 39
3.1.1 Principe : ____________________________________________________________ 39
3.1.2 Exemple ____________________________________________________________ 39
3.2 Mise en équation d’un problème __________________________________________ 40
3.2.1 Principe _____________________________________________________________ 40
3.2.2 Exemple ____________________________________________________________ 41

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1 Calcul numérique
1.1 Définitions de base
Nombre : notion fondamentale des mathématiques qui permet de compter, de classer des objets
ou de mesurer des grandeurs, mais qui ne peut faire l’objet d’une définition stricte.
Nombre entier naturel, entier relatif, rationnel…
Chiffre : chacun des caractères servant à représenter les nombres.
Nos chiffres, en « base 10 », sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Calcul : [du latin calculus, caillou] : mise en œuvre des règles élémentaires d’opérations
(addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres
La somme est le résultat d’une addition ;
La différence est le résultat d’une soustraction ;
Le produit est le résultat d’une multiplication (que l’on pourra noter × ou . ) ;
Le quotient est le résultat d’une division
Opposé d’un nombre :
L’opposé de A est le nombre, noté –A, tel que A + (-A) = 0.
0 est l’élément neutre de l’addition.
Dans l’antiquité, il était impossible de concevoir que deux nombres, alors considérés
comme exprimant des quantités d’objets, additionnés puissent donner un résultat nul.
Les entiers « positifs » étaient tout simplement « naturels », et ces opposés ne l’étaient
pas. Ils n’avaient pas de légitimité concrète.
Il a fallu attendre que la géométrie devienne analytique pour que ces nombres
« négatifs » prennent leur sens : repérer des points sur un plan, une carte, requiert une
origine, et un point peut se trouver à gauche ou à droite de celle-ci. Les nombres ont
alors exprimé autre chose que des quantités ou des longueurs : des déplacements (+
vers la droite, - vers la gauche). Additionner un nombre négatif est alors devenu
naturellement « soustraire ». A + (-B) peut se noter A-B. (définition de la soustraction)
Inverse d’un nombre :
L’inverse de A est le nombre, noté A
-1
, tel que A × A
-1
= 1.
1 est l’élément neutre de la multiplication.
Multiplier un nombre A par l’inverse d’un nombre B sera appelé « diviser A par B » et A×B
-1
se
notera
B
A
.
B
1 est une fraction de l’unité, une part, lorsque B est un entier supérieur ou égal à 1.
Par extension,
B
A se nomme fraction… puisque c’est une fraction de A.