Bio-Concours Td 3 2014–2015 S3 Probabilités Variables aléatoires

Bio-Concours Td 3 2014–2015
S3 Probabilités
Variables aléatoires à densité
Les exercices et questions précédés d’une étoile (?) peuvent être passés dans un premier temps.
Exercice 1 : Encore une variable aléatoire discrète
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi discrète uniforme sur J1,4K={1,2,3,4}.
1. Comparer P(1 < X ≤3) et P(1 ≤X≤3).
2. Déterminer et représenter la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
Plus généralement, comment les discontinuités de la fonction de répartition d’une variable aléatoire
discrète permettent-elles de caractériser la loi de cette variable aléatoire ?
Exercice 2 : Un exemple très simple de densité
On considère une variable aléatoire Xdont une densité de probabilité est donnée par
f(x) = 
0si x < −1,
1
4si −1≤x < 1,
1
2si 1≤x < 2,
0si 2< x
1. Représenter graphiquement la fonction f.
Interpréter graphiquement et comparer P(0 < X ≤3
2)et P(0 ≤X≤3 2).
2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition Fde X. Vérifier qu’elle est continue
en tout point. En quels points xest-elle dérivable et que vaut F0(x)? En quels points xest-elle non
dérivable et que valent F0
d(x)et F0
g(x)?
3. ?Quelle est la loi de X2?
Exercice 3 : Loi à densité donnée par la fonction de répartition
On considère une variable aléatoire Xdont la fonction de répartition Fest donnée par
F(t) = 
0si t≤0
t4si 0≤t≤1
1si t≥1
.
1. Déterminer une densité de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y= 10X+ 1. Quelle est l’espérance
de Z= 1/(X4+ 1) ?
4. Quelle est la densité de probabilité de Y?
?Exercice 4 : (Oral veto 2005)
On observe une population de bactéries en croissance asynchrone. Soit Tl’âge d’une bactérie choisie au
hasard. On admet que la densité de probabilité de Test :
f:
t7−→ 0si t≤0
t7−→ k21−t
θsi 0< t ≤θ
t7−→ 0si t>θ
1. Calculer ket déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire T.
1

2. Quelle est la probabilité pour que l’âge d’une bactérie choisie au hasard dans cette population soit
compris entre 0 et θ/2?
3. On admet que la masse d’une bactérie est fonction linéaire de son âge :
m=m01 + T
θ. Calculer l’espérance de la masse d’une bactérie choisie au hasard.
?Exercice 5 : (Partiel 2009)
Un escargot se déplace à une vitesse aléatoire V(exprimée en m/h). On considère que Vest une v.a.
dont la densité est la fonction suivante :
f(x) = 
0si x < 0,
κsi 0≤x < 1,
κ
x4si 1≤x,
où κest une constante à déterminer.
1. Représenter graphiquement la fonction f.
2. Montrer que κ=3
4.
3. Calculer la vitesse moyenne de l’escargot, ainsi que la variance de sa vitesse.
4. Calculer la fonction de répartition de V.
5. ?L’escargot veut se rendre de son domicile à son lieu de travail qui est situé à 2m. Le temps
nécessaire pour effectuer ce parcourt est noté T, et on rappelle que T=2
V. Donner la loi de la
v.a. T.
?Exercice 6 :
On pose f(x) = C
(1 + x2)2(x∈R).
1. Montrer que fest une densité de probabilité si et seulement si C=2
π.
2. Calculer l’espérance et variance d’une variable aléatoire de densité f.
Exercice 7 :
Soient Xet Ydeux variables indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre λ > 0, notée E(λ).
1. Donner (c’est du cours) la densité et la fonction de répartition de la loi E(λ).
2. Déterminer la densité de la variable min(X, Y ).
Exercice 8 : (Oral veto 2005)
Paul et Virginie ont rendez-vous chez Robert, entre 12h et 14h. Par hypothèse, les instants d’arrivée de
Paul et Virginie sont des variables aléatoires Xet Yindépendantes, de distribution uniforme sur [0,2],
l’instant 0correspondant à midi, l’unité de temps étant l’heure.
1. Soit Ula variable aléatoire représentant le temps d’attente de Robert jusqu’à ce que ses deux amis
soient arrivés. Déterminer la densité de probabilité de U.
2. Soit Vla variable aléatoire représentant le temps d’attente de Robert jusqu’à la première arrivée.
Déterminer la densité de probabilité de V.
?Exercice 9 :
Soit Xune variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
1. On pose Y=X2. Déterminer P(Y < 2,25). Quelle est la densité de probabilité de la variable
aléatoire Y? Quelle est son espérance ? Quelle est sa variance ? (On dit que Ysuit la loi du chi-
deux à 1degré de liberté, notée χ2
1).
2

2. On pose Z=|X|. Déterminer P(Z > 1,24). Quelle est la densité de probabilité de la variable
aléatoire Z? Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 10 : Manipulation de la loi normale
Selon un recensement de 1990, la distribution de l’âge des femmes dans la population française peut être
considérée comme normale de moyenne 39 ans et d’écart-type 23 ans. Répondez aux questions suivantes
en vous aidant des tables.
1. Quelle est la proportion de françaises ayant moins de 60 ans ?
2. Quelle est la proportion de françaises ayant plus de 20 ans ?
3. Quelle est la proportion de françaises ayant entre 20 et 60 ans ?
4. Quel est l’âge au-dessus duquel se trouvent 5 %des françaises ?
5. Quel est l’âge au-dessous duquel se trouvent 5 %des françaises ?
?Exercice 11 : Densité d’un mélange
On s’intéresse à la vitesse de déplacement de piétons, sur un parcours déterminé. On admet le modèle
suivant : la vitesse d’un individu isolé, choisi au hasard, est une variable aléatoire normale
— d’espérance 1,4 m/s et d’écart-type 0,4 m/s pour une femme,
— d’espérance 1,6 m/s et d’écart-type 0,4 m/s pour un homme.
La population est composée d’un tiers d’hommes et de deux tiers de femmes. Soit Vla vitesse d’un
individu isolé, choisi au hasard, dont on ignore le sexe.
1. Calculer la probabilité de l’événement : (V <1,2 m/s)
2. La vitesse d’un individu a été trouvée inférieure à 1,2 m/s. Quelle est la probabilité pour qu’il
s’agisse d’une femme ?
3. Déterminer l’expression explicite de la densité de V. Calculer l’espérance et l’écart-type de V.
(La Recherche n◦33 Avril 73 : la mobilité des Foules)
Exercice 12 : Approximations de la binomiale
On effectue un test de dépistage d’une maladie au sein d’une grande population animale. Pour cela, on
choisit 1000 animaux au hasard et on note Nle nombre d’animaux malades parmi ces 1000.
1. On suppose que chaque animal a 0.1 %de chances d’être malade. Quelle est la loi de N? Donner
une expression exacte de la probabilité qu’il y ait au moins 5 animaux malades. Donner ensuite une
valeur approchée de cette probabilté.
2. On applique maintenant le même protocole pour une maladie beaucoup plus répandue : chaque
animal a 60 %d’en être porteur. Quelle est alors la loi de N? Quelle est la probabilité que plus de
700 animaux soient malades ? En donner une expression exacte puis une valeur approchée.
Exercice 13 :
On veut transporter rapidement entre deux villes Aet B, dans des conditions de confort acceptables,
1600 voyageurs se présentant, pratiquement en même temps, à la gare de A. On met à leur disposition
deux trains identiques. On suppose que chaque individu choisit au hasard l’une ou l’autre rame et qu’il
n’a pas le temps d’en changer.
Combien faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l’on veut que la probabilité, pour que des
voyageurs soient obligés de rester debout, soit inférieure à 3×10−3?
?Exercice 14 : On récapitule (questions 1 et 2 indépendantes)
La durée de vie d’un composant électronique, choisi au hasard dans une fabrication donnée, est une
variable aléatoire Tde densité fdonnée par :
f(x) = 0si t < 0
λ2t e−λt si t≤0où λest un paramètre réel positif.
1. (a) Calculer l’espérance et la variance de T.
3

(b) Déterminer la fonction de répartition de la variable T.
(c) On pose λ= 2 ×10−4, t étant exprimé en heures. Calculer les probabilités P1de l’événement
(T < 500 h)et P2de l’événement (T≥10000 h).
2. En posant, pour simplifier P1= 0,5% et P2= 40%, calculer la probabilité de trouver, dans un lot
de 600 composants choisis indépendamment :
(a) plus de 6 composants de durée de vie inférieure à 500 heures.
(b) plus de 220 composants de durée de vie au moins égale à 10000 heures.
?Exercice 15 : (Écrit B 2012)
On considère une roulette circulaire, divisée en ssecteurs réguliers, et pouvant tourner autour d’un axe
fixé en son centre O. Chaque secteur porte un numéro de 1às, ceux-ci étant ordonnés suivant le sens
des aiguilles d’une montre. On note I1, I2, . . . , Is−1les points du bord du cercle qui séparent les secteurs
1et 2,2et 3,. . .,s−1et s; et I0le point du bord du cercle séparant les secteurs set 1(voir la première
figure, où s= 9). Enfin, on note Ile point fixe du bord du cercle égal à I0à l’instant initial, et
θ=\ (OI, OI0)
l’angle total en radian dont a tourné le point I0autour de l’axe au cours du mouvement de la roulette,
en tenant compte du nombre de tours complets.
Banque <<Agro -V´eto>>
A-0512
MATH´ EMATIQUES
´
EPREUVE B
Dur´ee : 3 heures 30 minutes
Chaque candidat est responsable de la v´erification de son sujet d’´epreuve : pagination et impression de
chaque page. Ce contrˆole doit ˆetre fait en d´ebut d’´epreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tˆot le
chef de centre qui contrˆolera et ´eventuellement remplacera le sujet.
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette ´epreuve. Si, au cours de l’´epreuve, un candidat
rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a p r e n d r e .
Les parties B,Cet Dsont ind´ependantes mais utilisent des r´esultats et les notations de la partie A
On consid`ere une roulette circulaire, divis´ee en s!2secteursangulairesr´eguliers,etpouvanttourner
autour d’un axe fix´e en son centre O.Chaquesecteurporteunnum´erode1`as,ceux-ci´etantordonn´es
suivant le sens trigonom´etrique inverse. Cd´esignant le cercle d´elimitant le bord de la roulette, on note Ik
le point de Csitu´e `a l’extr´emit´e du rayon s´eparant le secteur kdu secteur k+1pour1"k"s−1, et
I0le point correspondant entre les secteurs set 1. Les figures 1, 2 et 3 illustrent ces d´efinitions pour le
cas s=9.
I8
I7
I6
I5
I4
I3I2
I1
I8
I7
I6I5
I4
I3
I2
I1
I0
9
8
7
6
5
4
32
1
9
8
765
4
3
2
1
Oθ
Figure 1 Figure 2
I8
I7
I6
I5
I4I3
I2
I1
I0
9
8
7
6
54
3
2
1
Figure 3
θ0I
Position initiale en I0Position finale (d´epart en I0). Autre position initiale
I0
Un rep`ere fixe triangulaire permet de d´esigner un unique secteur de la roulette. ` Al’instantinitial,le
rep`ere indique un point Ide la roulette de sorte que ( !
−→
OI, −−→ OI0)=θ0(θ0=0etI=I0dans la figure 1,θ0
quelconque dans la figure 3). La roulette est lanc´ee dans le sens trigonom´etrique. Unefoissonmouvement
termin´e, le rep`ere d´esigne un secteur dont le num´ero kest le num´ero gagnant (figure 2). On admettra
ici que la probabilit´e que le rep`ere d´esigne un rayon s´eparant deux secteurs est nulle, ce qui est coh´erent
avec le mod`ele qui suit.
On note Xla variable al´eatoire ´egale au num´ero gagnant, Nla variable al´eatoire ´egale au nombre
de tours complets effectu´es par la roulette avant de s’arrˆeter et θla variable al´eatoire ´egale `a l’angle
total en radians dont a tourn´e le point I0autour de l’axe au cours du mouvement, en tenant compte du
nombre de tours complets. Dans l’exemple de la figure 2,onaθ=4π+3π/4:celasignifiequelarouea
fait N=2tourscompletsplustroishuiti`emesdetouravantdes’arrˆeter, et le num´ero gagnant est alors
X=4.Onsupposeradanstoutelasuitequeθsuit la loi exponentielle de param`etre 1
αdont une densit´e
est la fonction fd´efinie pour tout x∈Rpar
f(x)= 1
αexp $−x α%si x!0
f(x)=0 six<0
o`u α>0estunr´eelfix´e.
1/4 T.S.V.P.
Ainsi, sur la seconde figure, la roulette a fait N= 2 tours complets, puis a tourné encore de 3π/4, de
sorte que θ= 2(2π)+3π/4 = 19π/4.
On suppose que l’angle θsuit une loi exponentielle de paramètre λ, donnée par la densité
f(x) = (1
λexp −x λsi x≥0;
0sinon.
On note alors Nle nombre aléatoire de tours complets effectués par la roulette, et Xle secteur sur lequel
la roue s’arrête, qui est un entier dans {1,2, . . . , s}.
1. Étude de la loi de θ.
(a) Calculer en fonction de λl’espérance et la variance de la variable aléatoire θ.
(b) Calculer la fonction de répartition de θ.
2. Étude de la loi de N.
(a) Pour n∈N, à quelles valeurs de θcorrespond l’événement {N=n}? En déduire que Nsuit
une loi géométrique de paramètre p= 1 −e−2π
λ. On pose q= 1 −p.
(b) Calculer l’espérance et la variance de Nen fonction de q.
3. Étude de la loi de X.
(a) Soit k∈ {1,2, . . . , s}, et n∈N. À quelles valeurs de θcorrespond l’événement {N=net X=
k}? En déduire que
P[N=net X=k] = qn+k
s(q−1 s−1).
(b) Pour kfixé, montrer que la série de terme général un=P[N=net X=k]converge, et en
déduire que
P[X=k] = qk−1
s(1 −q1 s)
1−q.
(c) Montrer que les variables aléatoires Xet Nsont indépendantes.
4