Bio-Concours Td 3 2014–2015 S3 Probabilités Variables aléatoires

Bio-Concours
S3 Probabilités
2014–2015
Td 3
Variables aléatoires à densité
Les exercices et questions précédés d’une étoile (?) peuvent être passés dans un premier temps.
Exercice 1 : Encore une variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire suivant la loi discrète uniforme sur J1, 4K = {1, 2, 3, 4}.
1. Comparer P (1 < X ≤ 3) et P (1 ≤ X ≤ 3).
2. Déterminer et représenter la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
Plus généralement, comment les discontinuités de la fonction de répartition d’une variable aléatoire
discrète permettent-elles de caractériser la loi de cette variable aléatoire ?
Exercice 2 : Un exemple très simple de densité
On considère une variable aléatoire X dont une densité de probabilité est donnée par

0 si x < −1,


 1
si − 1 ≤ x < 1,
4
f (x) =
 12 si 1 ≤ x < 2,


0 si 2 < x
1. Représenter graphiquement la fonction f .
Interpréter graphiquement et comparer P (0 < X ≤ 32 ) et P (0 ≤ X ≤ 32 ).
2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition F de X. Vérifier qu’elle est continue
en tout point. En quels points x est-elle dérivable et que vaut F 0 (x) ? En quels points x est-elle non
dérivable et que valent Fd0 (x) et Fg0 (x) ?
3. ? Quelle est la loi de X 2 ?
Exercice 3 : Loi à densité donnée par la fonction de répartition
On considère une variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est donnée par

 0 si t ≤ 0
t4 si 0 ≤ t ≤ 1
F (t) =

1 si t ≥ 1
.
1. Déterminer une densité de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y = 10X + 1.
de Z = 1/(X 4 + 1) ?
Quelle est l’espérance
4. Quelle est la densité de probabilité de Y ?
? Exercice 4 : (Oral veto 2005)
On observe une population de bactéries en croissance asynchrone. Soit T l’âge d’une bactérie choisie au
hasard. On admet que la densité de probabilité de T est :

si t ≤ 0
 t 7−→ 0
t
f :
t 7−→ k 21− θ si 0 < t ≤ θ

t 7−→ 0
si t > θ
1. Calculer k et déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire T .
1
2. Quelle est la probabilité pour que l’âge d’une bactérie choisie au hasard dans cette population soit
compris entre 0 et θ/2 ?
3. On admet que la masse d’une bactérie est fonction linéaire de son âge :
m = m0 1 + Tθ . Calculer l’espérance de la masse d’une bactérie choisie au hasard.
? Exercice 5 : (Partiel 2009)
Un escargot se déplace à une vitesse aléatoire
dont la densité est la fonction suivante :



f (x) =


V (exprimée en m/h). On considère que V est une v.a.
0
κ
κ
x4
si x < 0,
si 0 ≤ x < 1,
si 1 ≤ x,
où κ est une constante à déterminer.
1. Représenter graphiquement la fonction f .
3
2. Montrer que κ = .
4
3. Calculer la vitesse moyenne de l’escargot, ainsi que la variance de sa vitesse.
4. Calculer la fonction de répartition de V .
5. ? L’escargot veut se rendre de son domicile à son lieu de travail qui est situé à 2m. Le temps
2
nécessaire pour effectuer ce parcourt est noté T , et on rappelle que T = . Donner la loi de la
V
v.a. T .
? Exercice 6 :
On pose f (x) =
C
(1 + x2 )2
(x ∈ R).
2
.
π
2. Calculer l’espérance et variance d’une variable aléatoire de densité f .
1. Montrer que f est une densité de probabilité si et seulement si C =
Exercice 7 :
Soient X et Y deux variables indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre λ > 0, notée E(λ).
1. Donner (c’est du cours) la densité et la fonction de répartition de la loi E(λ).
2. Déterminer la densité de la variable min(X, Y ).
Exercice 8 : (Oral veto 2005)
Paul et Virginie ont rendez-vous chez Robert, entre 12h et 14h. Par hypothèse, les instants d’arrivée de
Paul et Virginie sont des variables aléatoires X et Y indépendantes, de distribution uniforme sur [0, 2],
l’instant 0 correspondant à midi, l’unité de temps étant l’heure.
1. Soit U la variable aléatoire représentant le temps d’attente de Robert jusqu’à ce que ses deux amis
soient arrivés. Déterminer la densité de probabilité de U .
2. Soit V la variable aléatoire représentant le temps d’attente de Robert jusqu’à la première arrivée.
Déterminer la densité de probabilité de V .
? Exercice 9 :
Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
1. On pose Y = X 2 . Déterminer P (Y < 2, 25). Quelle est la densité de probabilité de la variable
aléatoire Y ? Quelle est son espérance ? Quelle est sa variance ? (On dit que Y suit la loi du chideux à 1 degré de liberté, notée χ21 ).
2
2. On pose Z = |X|. Déterminer P (Z > 1, 24). Quelle est la densité de probabilité de la variable
aléatoire Z ? Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 10 : Manipulation de la loi normale
Selon un recensement de 1990, la distribution de l’âge des femmes dans la population française peut être
considérée comme normale de moyenne 39 ans et d’écart-type 23 ans. Répondez aux questions suivantes
en vous aidant des tables.
1. Quelle est la proportion de françaises ayant moins de 60 ans ?
2. Quelle est la proportion de françaises ayant plus de 20 ans ?
3. Quelle est la proportion de françaises ayant entre 20 et 60 ans ?
4. Quel est l’âge au-dessus duquel se trouvent 5 % des françaises ?
5. Quel est l’âge au-dessous duquel se trouvent 5 % des françaises ?
? Exercice 11 : Densité d’un mélange
On s’intéresse à la vitesse de déplacement de piétons, sur un parcours déterminé. On admet le modèle
suivant : la vitesse d’un individu isolé, choisi au hasard, est une variable aléatoire normale
— d’espérance 1,4 m/s et d’écart-type 0,4 m/s pour une femme,
— d’espérance 1,6 m/s et d’écart-type 0,4 m/s pour un homme.
La population est composée d’un tiers d’hommes et de deux tiers de femmes. Soit V la vitesse d’un
individu isolé, choisi au hasard, dont on ignore le sexe.
1. Calculer la probabilité de l’événement : (V <1,2 m/s)
2. La vitesse d’un individu a été trouvée inférieure à 1,2 m/s. Quelle est la probabilité pour qu’il
s’agisse d’une femme ?
3. Déterminer l’expression explicite de la densité de V . Calculer l’espérance et l’écart-type de V .
(La Recherche n◦ 33 Avril 73 : la mobilité des Foules)
Exercice 12 : Approximations de la binomiale
On effectue un test de dépistage d’une maladie au sein d’une grande population animale. Pour cela, on
choisit 1000 animaux au hasard et on note N le nombre d’animaux malades parmi ces 1000.
1. On suppose que chaque animal a 0.1 % de chances d’être malade. Quelle est la loi de N ? Donner
une expression exacte de la probabilité qu’il y ait au moins 5 animaux malades. Donner ensuite une
valeur approchée de cette probabilté.
2. On applique maintenant le même protocole pour une maladie beaucoup plus répandue : chaque
animal a 60 % d’en être porteur. Quelle est alors la loi de N ? Quelle est la probabilité que plus de
700 animaux soient malades ? En donner une expression exacte puis une valeur approchée.
Exercice 13 :
On veut transporter rapidement entre deux villes A et B, dans des conditions de confort acceptables,
1600 voyageurs se présentant, pratiquement en même temps, à la gare de A. On met à leur disposition
deux trains identiques. On suppose que chaque individu choisit au hasard l’une ou l’autre rame et qu’il
n’a pas le temps d’en changer.
Combien faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l’on veut que la probabilité, pour que des
voyageurs soient obligés de rester debout, soit inférieure à 3 × 10−3 ?
? Exercice 14 : On récapitule (questions 1 et 2 indépendantes)
La durée de vie d’un composant électronique, choisi au hasard dans une fabrication donnée, est une
variable aléatoire T de densité f donnée par :
0
si t < 0
f (x) =
λ2 t e−λt si t ≤ 0 où λ est un paramètre réel positif.
1. (a) Calculer l’espérance et la variance de T .
3
Banque <<Agro -Véto>>
A - 0512
MATHTÉMATIQUES
(b) Déterminer la fonction de répartition de la variable
.
−4
ÉPREUVE
B
(c) On pose λ = 2 × 10 , t étant exprimé en heures. Calculer les probabilités
P1 de l’événement
(T < 500 h) et P2 de l’événement (T ≥ 10000
h).
Durée : 3 heures 30 minutes
2. En posant, pour simplifier P1 = 0, 5% et P2 = 40%, calculer la probabilité de trouver, dans un lot
de 600
composants
choisis
Chaque
candidat
estindépendamment
responsable de :la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et impressio
(a) plus
de
6
composants
de
durée
vie inférieure
à 500d’épreuve.
heures.
chaque page. Ce contrôle
doitdeêtre
fait en début
En cas de doute, il doit alerter au plus t
(b) plus
composants
de duréeetde
vie au moins égale
à 10000 heures.
chef de
de 220
centre
qui contrôlera
éventuellement
remplacera
le sujet.
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette épreuve. Si, au cours de l’épreuve, un can
repère
ce qui Blui2012)
semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa compositio
? Exercice
15 : (Écrit
expliquant
les
raisons
desdivisée
initiatives
qu’il a réguliers,
été amené
prendre.
On considère une roulette circulaire,
en s secteurs
et àpouvant
tourner autour d’un axe
fixé en sonLes
centre
O. Chaque
secteur
porte
un numéro demais
1 à s,
ceux-ci des
étantrésultats
ordonnésetsuivant
le sens de la partie A
parties
B, C et
D sont
indépendantes
utilisent
les notations
des aiguilles d’une montre. On note I1 , I2 , . . . , Is−1 les points du bord du cercle qui séparent les secteurs
1 et 2, 2 et 3, . On
. ., sconsidère
− 1 et s ; etune
I0 le
point du
bord du cercle
séparant
et 1 (voir laréguliers,
première et pouvant tou
roulette
circulaire,
divisée
en s !les2 secteurs
secteurss angulaires
figure, où sautour
= 9). Enfin,
on
note
I
le
point
fixe
du
bord
du
cercle
égal
à
I
à
l’instant
initial,
et
0
d’un axe fixé en son centre O. Chaque secteur porte un numéro de 1 à s, ceux-ci étant ordo
suivant le sens trigonométrique θinverse.
C désignant
le cercle délimitant le bord de la roulette, on no
\
= (OI,
OI
0)
le point de C situé à l’extrémité du rayon séparant le secteur k du secteur k + 1 pour 1 " k " s −
l’angle total en radian dont a tourné le point I0 autour de l’axe au cours du mouvement de la roulette,
I0 le point correspondant entre les secteurs s et 1. Les figures 1, 2 et 3 illustrent ces définitions po
en tenant compte du nombre de tours complets.
cas s = 9.
7
9
5
I4
I0
I8
8
6
I5
I1
I7
I6
I0
O
4
3
2
1
3
I7
I1
I3
7
6
5
8
I0
9
θ0
7
I6
θ 4
8
1
I7
2
9
I8
I8
I2
1
2
6
I4
I5
5
3
I1
I
I2
4
I3
I3
I5
I6
I4
I2
Figure 3
Figure 1
Figure 2
Ainsi, sur la seconde figure,
la roulette
a fait
tours complets,
puis aentourné
de position
3π/4, deinitiale
finale (départ
I0 ). encore
Autre
Position
initiale
en IN
0 = 2Position
sorte que θ = 2(2π) + 3π/4 = 19π/4.
Un repère fixe triangulaire permet de désigner un unique secteur de la roulette. À l’instant initi
−→
−−→
!
On suppose que l’angle θ suit une loi exponentielle de paramètre λ, donnée
par la densité
repère indique un point I de la(roulette de sorte que (OI, OI0 ) = θ0 (θ0 = 0 et I = I0 dans la figure
exp − λx est silancée
x ≥ 0;dans le sens trigonométrique. Une fois son mouve
quelconque dans la figure 3). Laλ1 roulette
f (x) =
terminé, le repère désigne un secteur
dont lesinon.
numéro k est le numéro gagnant (figure 2). On adm
0
ici que la probabilité que le repère désigne un rayon séparant deux secteurs est nulle, ce qui est coh´
On note alors N le nombre aléatoire de tours complets effectués par la roulette, et X le secteur sur lequel
avec le
qui suit.
la roue s’arrête,
quimodèle
est un entier
dans {1, 2, . . . , s}.
1. Étude deOn
la loi
de θ.
note
X la variable aléatoire égale au numéro gagnant, N la variable aléatoire égale au no
(a) Calculer
fonction deeffectués
λ l’espérance
et la
variance
de la de
variable
aléatoire
de toursencomplets
par la
roulette
avant
s’arrêter
et θ θ.la variable aléatoire égale à l’a
total en la
radians
dont
a tourné ledepoint
I0 autour de l’axe au cours du mouvement, en tenant compt
(b) Calculer
fonction
de répartition
θ.
2. Étudenombre
de la loidedetours
N . complets. Dans l’exemple de la figure 2, on a θ = 4π + 3π/4 : cela signifie que la ro
fait Nn =
2 tours
complets
huitièmes
de tour{N
avant
s’arrêter,
le N
numéro
(a) Pour
∈ N,
à quelles
valeurs plus
de θ trois
correspond
l’événement
= n}de
? En
déduireetque
suit gagnant est
− 2π
1
λ . On pose q = 1 − p.
une
loi
géométrique
de
paramètre
p
=
1
−
e
X = 4. On supposera dans toute la suite que θ suit la loi exponentielle de paramètre
dont une de
α
(b) Calculer l’espérance et la variance de N en fonction de q.
est la fonction f définie pour tout x ∈ R par
3. Étude de la loi de X.

$ x % l’événement {N = n et X =
(a) Soit k ∈ {1, 2, . . . , s}, et n ∈ N. À quelles
de1 θ correspond
 valeurs
f
(x)
=
si x ! 0
exp
−
k} ? En déduire que
α k
α
1
P [N = n etXf=
k] =
= 0q n+ s (q − s − 1). si x < 0
(x)
(b) Pour k fixé, montrer que la série de terme général un = P [N = n et X = k] converge, et en
où α > que
0 est un réel fixé.
déduire
k−1
1
q s (1 − q s )
P [X = k] =
.
1 − q 1/4
(c) Montrer que les variables aléatoires X et N sont indépendantes.
4
T.S.