Programme de colle de la semaine n°4

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°4
Questions de cours
Question n°1
Définition de la factorielle d’un entier ; relation de récurrence pour les factorielles (énoncé et explication) ; définition des coefficients binomiaux ; propriétés des coefficients binomiaux (énoncé et preuve) ; formule de Moivre
(énoncé et preuve
par
; calcul de la forme al¡
p ¢récurrence)
n
gébrique de −1 + i 3 pour tout n ∈ N.
Question n°2
Formule du binôme de Newton (énoncé et preuve par
récurrence) ; développement de (2 − i )6 à l’aide de la précédente formule ; calcul de la somme des coefficients
binomiaux se trouvant une ligne du triangle de Pascal.
Question n°3
Formules d’addition pour tangente (énoncé et preuve) ;
somme de termes en progression géométrique (preuve
en manipulant le symbole sommatoire Σ) ; calcul de la
somme
¶
µ
n
X
2kπ
+ϕ
cos
n
k=0
où n ∈ N∗ et ϕ ∈ R.
Question n°4
Existence d’une forme exponentielle pour un nombre
complexe non nul (énoncé et preuve) ; cas d’égalité de
deux formes exponentielles (énoncé) ; définition et interprétation géométrique d’un argument d’un nombre
complexe non nul ; définition de la notation arg(z) pour
z ∈ C∗ ; propriétés algébriques des arguments (énoncé et
preuve) ; interprétation en termes³ de nombres
complexes
−→ −−→´
d’une mesure de l’angle orienté AB , C D où A, B, C , et
D sont quatre points du plan tels que A 6= B et C 6= D
(énoncé) ; résolution de l’équation
z 2 + (1 − i )z − i = 0
d’inconnue z ∈ C.
Question n°5
Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe ;
théorème sur les racines carrées d’un nombre complexe
non nul (énoncé et preuve) ; théorème sur la résolution
d’une équation du second degré à coefficients complexes
(énoncé et preuve) ; résolution de l’équation
z3 + z2 + z + 1 = 0
d’inconnue z ∈ C.
Nombres complexes et trigonométrie
• Factorielle d’un entier : définition, relation de récurrence.
• Coefficients binomiaux : définition, relations de
symétrie, coefficients binomiaux aux extrémités
d’une ligne du triangle de Pascal, relations de Pascal, triangle de Pascal.
• Formule du binôme de Newton (preuve par récurrence).
• Polynômes en cos(θ), sin(θ), où θ ∈ R : définition,
linéarisation.
• Formule de Moivre (preuve par récurrence).
• Somme de termes en progression géométrique
(preuve en manipulant le symbole sommatoire Σ).
• Formes exponentielles d’un nombre complexe
non nul : existence, lien avec le module, une méthode de calcul d’une forme explicite lorsque cela
est possible.
• Argument d’un nombre complexe non nul : définition, interprétation géométrique en termes de mesures d’angle, défaut d’unicité, notation arg, propriétés algébriques des arguments.
• Cas d’égalité de deux formes exponentielles.
• Transformation de a cos(t ) + b sin(t ), avec (a, b) ∈
R2 en A cos(t − ϕ), avec (A, ϕ) ∈ R≥0 × R.
• Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe.
• Théorème sur les racines carrées d’un nombre
complexe non nul.
• Une méthode pratique pour calculer les deux racines carrées d’un nombre complexe non nul.
• Forme canonique d’un polynôme du second degré
à coefficients complexes.
• Définition du discriminant d’un polynôme du second degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la somme et le produit des racines
d’une équation du second degré à coefficients
complexes.
• Détermination de deux nombres complexes
connaissant leur somme et leur produit.
• Définition d’une racine n-ième et de l’ensemble
Un ⊂ U, où n ∈ N≥2 .
• Description explicite de U2 , U3 et U4 .
• Propriétés de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 : 1 ∈ Un ,
stabilité par conjugaison, stabilité par multiplication, stabilité par passage à l’inverse.
• Théorème sur la description en extension de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 .