Programme de colle de la semaine n°4

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°4
Questions de cours
Question n°1
Définition de la factorielle d’un entier ; relation de récur-
rence pour les factorielles (énoncé et explication) ; défi-
nition des coefficients binomiaux ; propriétés des coeffi-
cients binomiaux (énoncé et preuve) ; formule de Moivre
(énoncé et preuve par récurrence) ; calcul de la forme al-
gébrique de ¡−1+ip3¢npour tout n∈N.
Question n°2
Formule du binôme de Newton (énoncé et preuve par
récurrence) ; développement de (2 −i)6à l’aide de la pré-
cédente formule ; calcul de la somme des coefficients
binomiaux se trouvant une ligne du triangle de Pascal.
Question n°3
Formules d’addition pour tangente (énoncé et preuve) ;
somme de termes en progression géométrique (preuve
en manipulant le symbole sommatoire Σ) ; calcul de la
somme n
X
k=0
cosµ2kπ
n+ϕ¶
où n∈N∗et ϕ∈R.
Question n°4
Existence d’une forme exponentielle pour un nombre
complexe non nul (énoncé et preuve) ; cas d’égalité de
deux formes exponentielles (énoncé) ; définition et in-
terprétation géométrique d’un argument d’un nombre
complexe non nul ; définition de la notation arg(z) pour
z∈C∗; propriétés algébriques des arguments (énoncé et
preuve) ; interprétation en termes de nombres complexes
d’une mesure de l’angle orienté ³−→
AB ,−−→ C D ´où A,B,C, et
Dsont quatre points du plan tels que A6= Bet C6= D
(énoncé) ; résolution de l’équation
z2+(1 −i)z−i=0
d’inconnue z∈C.
Question n°5
Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe ;
théorème sur les racines carrées d’un nombre complexe
non nul (énoncé et preuve) ; théorème sur la résolution
d’une équation du second degré à coefficients complexes
(énoncé et preuve) ; résolution de l’équation
z3+z2+z+1=0
d’inconnue z∈C.
Nombres complexes et trigonométrie
•Factorielle d’un entier : définition, relation de ré-
currence.
•Coefficients binomiaux : définition, relations de
symétrie, coefficients binomiaux aux extrémités
d’une ligne du triangle de Pascal, relations de Pas-
cal, triangle de Pascal.
•Formule du binôme de Newton (preuve par récur-
rence).
•Polynômes en cos(θ), sin(θ), où θ∈R: définition,
linéarisation.
•Formule de Moivre (preuve par récurrence).
•Somme de termes en progression géométrique
(preuve en manipulant le symbole sommatoire Σ).
•Formes exponentielles d’un nombre complexe
non nul : existence, lien avec le module, une mé-
thode de calcul d’une forme explicite lorsque cela
est possible.
•Argument d’un nombre complexe non nul : défini-
tion, interprétation géométrique en termes de me-
sures d’angle, défaut d’unicité, notation arg, pro-
priétés algébriques des arguments.
•Cas d’égalité de deux formes exponentielles.
•Transformation de acos(t)+bsin(t), avec (a,b)∈
R2en Acos(t−ϕ), avec (A,ϕ)∈R≥0×R.
•Définition d’une racine carrée d’un nombre com-
plexe.
•Théorème sur les racines carrées d’un nombre
complexe non nul.
•Une méthode pratique pour calculer les deux ra-
cines carrées d’un nombre complexe non nul.
•Forme canonique d’un polynôme du second degré
à coefficients complexes.
•Définition du discriminant d’un polynôme du se-
cond degré à coefficients complexes.
•Théorème sur la résolution d’une équation du se-
cond degré à coefficients complexes.
•Théorème sur la somme et le produit des racines
d’une équation du second degré à coefficients
complexes.
•Détermination de deux nombres complexes
connaissant leur somme et leur produit.
•Définition d’une racine n-ième et de l’ensemble
Un⊂U, où n∈N≥2.
•Description explicite de U2,U3et U4.
•Propriétés de l’ensemble Un, où n∈N≥2: 1 ∈Un,
stabilité par conjugaison, stabilité par multiplica-
tion, stabilité par passage à l’inverse.
•Théorème sur la description en extension de l’en-
semble Un, où n∈N≥2.