Programme de colle de la semaine n°5

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°5
Questions de cours
Question n°1
Existence d’une forme exponentielle pour un nombre
complexe non nul (énoncé et preuve) ; cas d’égalité de
deux formes exponentielles (énoncé) ; définition et interprétation géométrique d’un argument d’un nombre
complexe non nul ; définition de la notation arg(z) pour
z ∈ C∗ ; propriétés algébriques des arguments (énoncé et
preuve) ; interprétation en termes³ de nombres
complexes
−→ −−→´
d’une mesure de l’angle orienté AB , C D où A, B, C , et
D sont quatre points du plan tels que A 6= B et C 6= D
(énoncé) ; résolution de l’équation z 2 + (1 − i )z − i = 0
d’inconnue z ∈ C.
Question n°2
Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe ;
théorème sur les racines carrées d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; théorème sur la résolution d’une équation du second degré à coefficients
complexes (énoncé et preuve) ; résolution de l’équation
z 3 + z 2 + z + 1 = 0 d’inconnue z ∈ C.
Question n°3
Définitions d’une racine n-ième de l’unité et de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 ; théorème sur la description
en extension de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 (énoncé et
preuve) ; résolution de l’équation e z = −1, d’inconnue
z ∈ C.
Question n°4
Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe (explication des termes introduits) ; relation fonctionnelle de
l’exponentielle complexe (énoncé, admise) ; cas d’égalité
de deux exponentielles complexes (énoncé et preuve) ;
résolution de l’équation z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z + 65 = 0, d’inconnue z ∈ C.
Question n°5
Définition d’une implication ; théorème sur la négation
d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la
contraposée d’une implication ; théorème sur la contraposée d’une implication (énoncé et preuve) ; définition
de la réciproque d’une implication ; démonstration de
∀ x ∈]−∞, 1[, ∀ y ∈]−∞, 1[, x 6= y ⇒ x 2 −2x+2 6= y 2 −2y+2.
Nombres complexes et trigonométrie
• Formes exponentielles d’un nombre complexe
non nul : existence, lien avec le module, une méthode de calcul d’une forme explicite lorsque cela
est possible.
• Argument d’un nombre complexe non nul : définition, interprétation géométrique en termes de mesures d’angle, défaut d’unicité, notation arg, propriétés algébriques des arguments.
• Cas d’égalité de deux formes exponentielles.
• Transformation de a cos(t ) + b sin(t ), avec (a, b) ∈
R2 en A cos(t − ϕ), avec (A, ϕ) ∈ R≥0 × R.
• Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe.
• Théorème sur les racines carrées d’un nombre
complexe non nul.
• Une méthode pratique pour calculer les deux racines carrées d’un nombre complexe non nul.
• Forme canonique d’un polynôme du second degré
à coefficients complexes.
• Définition du discriminant d’un polynôme du second degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes.
• Théorème sur la somme et le produit des racines
d’une équation du second degré à coefficients
complexes.
• Détermination de deux nombres complexes
connaissant leur somme et leur produit.
• Définition d’une racine n-ième et de l’ensemble
Un ⊂ U, où n ∈ N≥2 .
• Description explicite de U2 , U3 et U4 .
• Propriétés de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 : 1 ∈ Un ,
stabilité par conjugaison, stabilité par multiplication, stabilité par passage à l’inverse.
• Théorème sur la description en extension de l’ensemble Un , où n ∈ N≥2 .
• Définition d’une racine n-ième d’un nombre complexe non nul, où n ∈ N≥2 .
• Recherche théorique des racines n-ièmes d’un
nombre complexe non nul, où n ∈ N≥2 .
• Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe.
• Relation fonctionnelle vérifiée par l’exponentielle
complexe (admise).
• Cas d’égalité de deux exponentielles complexes.
Logique
• Définitions d’une proposition logique et de la valeur de vérité d’une telle.
• Définition d’un prédicat.
• Définition des deux quantificateurs ∀ et ∃.
• Définitions d’une proposition logique quantifiée
et de la valeur de vérité d’une telle.
• Définition des connecteurs logiques non, ou, et.
• Négation d’une proposition logique quantifiée.
• Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.
• Implication : définition, négation, contraposée,
réciproque.
• Définition d’une condition nécessaire (resp. suffisante).
• Définition d’une équivalence.
• Une équivalence est vraie si et seulement si les
deux propriétés ont la même valeur de vérité.