Programme de colle de la semaine n°5

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°5
Questions de cours
Question n°1
Existence d’une forme exponentielle pour un nombre
complexe non nul (énoncé et preuve) ; cas d’égalité de
deux formes exponentielles (énoncé) ; définition et in-
terprétation géométrique d’un argument d’un nombre
complexe non nul ; définition de la notation arg(z) pour
z∈C∗; propriétés algébriques des arguments (énoncé et
preuve) ; interprétation en termes de nombres complexes
d’une mesure de l’angle orienté ³−→
AB,−−→ CD´où A,B,C, et
Dsont quatre points du plan tels que A6= Bet C6= D
(énoncé) ; résolution de l’équation z2+(1 −i)z−i=0
d’inconnue z∈C.
Question n°2
Définition d’une racine carrée d’un nombre complexe ;
théorème sur les racines carrées d’un nombre com-
plexe non nul (énoncé et preuve) ; théorème sur la ré-
solution d’une équation du second degré à coefficients
complexes (énoncé et preuve) ; résolution de l’équation
z3+z2+z+1=0 d’inconnue z∈C.
Question n°3
Définitions d’une racine n-ième de l’unité et de l’en-
semble Un, où n∈N≥2; théorème sur la description
en extension de l’ensemble Un, où n∈N≥2(énoncé et
preuve) ; résolution de l’équation ez= −1, d’inconnue
z∈C.
Question n°4
Définition de l’exponentielle d’un nombre complexe (ex-
plication des termes introduits) ; relation fonctionnelle de
l’exponentielle complexe (énoncé, admise) ; cas d’égalité
de deux exponentielles complexes (énoncé et preuve) ;
résolution de l’équation z4+4z3+6z2+4z+65 =0, d’in-
connue z∈C.
Question n°5
Définition d’une implication ; théorème sur la négation
d’une implication (énoncé et preuve) ; définition de la
contraposée d’une implication ; théorème sur la contra-
posée d’une implication (énoncé et preuve) ; définition
de la réciproque d’une implication ; démonstration de
∀x∈]−∞,1[, ∀y∈]−∞,1[, x6= y⇒x2−2x+26= y2−2y+2.
Nombres complexes et trigonométrie
•Formes exponentielles d’un nombre complexe
non nul : existence, lien avec le module, une mé-
thode de calcul d’une forme explicite lorsque cela
est possible.
•Argument d’un nombre complexe non nul : défini-
tion, interprétation géométrique en termes de me-
sures d’angle, défaut d’unicité, notation arg, pro-
priétés algébriques des arguments.
•Cas d’égalité de deux formes exponentielles.
•Transformation de acos(t)+bsin(t), avec (a,b)∈
R2en Acos(t−ϕ), avec (A,ϕ)∈R≥0×R.
•Définition d’une racine carrée d’un nombre com-
plexe.
•Théorème sur les racines carrées d’un nombre
complexe non nul.
•Une méthode pratique pour calculer les deux ra-
cines carrées d’un nombre complexe non nul.
•Forme canonique d’un polynôme du second degré
à coefficients complexes.
•Définition du discriminant d’un polynôme du se-
cond degré à coefficients complexes.
•Théorème sur la résolution d’une équation du se-
cond degré à coefficients complexes.
•Théorème sur la somme et le produit des racines
d’une équation du second degré à coefficients
complexes.
•Détermination de deux nombres complexes
connaissant leur somme et leur produit.
•Définition d’une racine n-ième et de l’ensemble
Un⊂U, où n∈N≥2.
•Description explicite de U2,U3et U4.
•Propriétés de l’ensemble Un, où n∈N≥2: 1 ∈Un,
stabilité par conjugaison, stabilité par multiplica-
tion, stabilité par passage à l’inverse.
•Théorème sur la description en extension de l’en-
semble Un, où n∈N≥2.
•Définition d’une racine n-ième d’un nombre com-
plexe non nul, où n∈N≥2.
•Recherche théorique des racines n-ièmes d’un
nombre complexe non nul, où n∈N≥2.
•Définition de l’exponentielle d’un nombre com-
plexe.
•Relation fonctionnelle vérifiée par l’exponentielle
complexe (admise).
•Cas d’égalité de deux exponentielles complexes.
Logique
•Définitions d’une proposition logique et de la va-
leur de vérité d’une telle.
•Définition d’un prédicat.
•Définition des deux quantificateurs ∀et ∃.
•Définitions d’une proposition logique quantifiée
et de la valeur de vérité d’une telle.
•Définition des connecteurs logiques non, ou, et.
•Négation d’une proposition logique quantifiée.
•Propriétés des connecteurs logiques non, ou, et.
•Implication : définition, négation, contraposée,
réciproque.
•Définition d’une condition nécessaire (resp. suffi-
sante).
•Définition d’une équivalence.
•Une équivalence est vraie si et seulement si les
deux propriétés ont la même valeur de vérité.