Probleme de synthese sur les probabilites discretes - TS

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DM PROBLÈME DE SYNTHÈSE SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES TS
Dans une usine, à la fin d'une chaîne de fabrication, on effectue deux tests de qualité T1 et T2.
Chaque pièce fabriquée sur la chaîne subit les deux tests.
95% des pièces fabriquées sur la chaîne réussissent le test T1.
Parmi les pièces ayant réussi le test T1, 99% réussissent le test T2.
Parmi les pièces ayant échoué au test T1, 98% réussissent le test T2.
Étant donnée une pièce, on note aussi T1 l'événement "la pièce réussit le test T1" et T2 "la pièce réussit le test T2".
Les résultats seront donnés à 10-4 près.
1.a. Calculer la probabilité de l'événement S : " la pièce franchit avec succès les deux tests".
b. Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse le test T2.
c. Les événements T1 et T2 sont-ils indépendants ?
d. On choisit une pièce ayant réussi le test T2. Quelle est la probabilité qu'elle ait réussi le test T1 ?
2. Les pièces ayant réussi les deux tests sont commercialisées au prix de 10 euros. Celles n'ayant réussi que
l'un des deux tests sont vendues au prix promotionnel de 5 euros. Les autres sont jetées.
Étant donnée une pièce, on note X la variable aléatoire correspondant à son prix de vente.
a. Donner (sous forme d'un tableau) la loi de probabilité de X.
b. Calculer l'espérance E(X) de X. Interpréter.
3. Dans cette question, on suppose que la probabilité P(S) qu'une pièce ait réussi les deux tests est égale à
0,9405. On dispose d'un carton de 10 pièces dont on ignore la qualité. On note Y la variable aléatoire égale
au nombre de pièces du carton qui ont réussi les deux tests.
a. Calculer la probabilité que les 10 pièces aient réussi les deux tests.
b. Calculer la probabilité qu'exactement 7 pièces aient réussi les deux tests.
c. Calculer la probabilité qu'au moins une pièce ait réussi les deux tests.
d. Calculer l'espérance E(Y) de Y. Interpréter.
4. Dans cette question, on suppose maintenant que le carton contient 7 pièces ayant réussi les deux tests et 3
pièces n'en ayant réussi qu'un seul ou aucun. On choisit 5 pièces au hasard dans le carton.
a. Calculer la probabilité que ces 5 pièces aient réussi les deux tests.
b. Calculer la probabilité que, parmi ces 5 pièces, exactement trois aient réussi les deux tests.

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DM 10 PROBLÈME DE SYNTHÈSE SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES : CORRIGÉ TS
1. Arbre de la situation :
a. Probabilité de l'événement S : " la pièce franchit avec succès les deux tests" :
P(S) = P(T1 Ç T2) = 12 ()
T
PT P(T
1
) = 0,99 ´ 0,95 = 0,9405
b. La probabilité qu'une pièce réussisse le test T2 peut se calculer à l'aide de la formule des probabilités
totales appliquée à la partition T1 È 1 T:
P(T2) = P(T2 Ç T1) + 21 ()PTTÇ= 0,99 ´ 0,95 + 0,98 ´ 0,05 = 0,9895
c. On a P(T2) ¹ 12 ()
T
PT , donc les événements T1 et T2 ne sont pas indépendants.
(On pouvait aussi comparer P(T1 Ç T2) et P(T1)P(T2))
d. Il s'agit de calculer 21 ()
T
PT:
21
()
T
PT= 12
2
()
()
PTT
PT
Ç= 0,9405
0,9895  0,9505 à 10-4 près
2.a. La variable aléatoire X prend les valeurs 10, 5 ou 0 suivant les cas.
P(X = 10) = P(S) = 0,9405
P(X = 5) = P
( ) ( )( )
1212
TTTTÇÈÇ
Et comme les événements 12 TTÇ et 12 TTÇ sont incompatibles :
P(X = 5) =
( )
12
PTTÇ +
( )
12
PTTÇ = 0,95 ´ 0,01 + 0,05 ´ 0,98 = 0,0585
P(X = 0) =
( )
12
PTTÇ = 0,05 ´ 0,02 = 0,001
On a donc déterminé la loi de probabilité de X :
b. L'espérance E(X) de X est donnée par :
E(X) = 3
1ii i
px
=
å= 0,9405 ´ 10 + 0,0585 ´ 5 + 0,001 ´ 0 = 9,6975
La recette moyenne par pièce (ou prix de vente moyen d'une pièce) est donc de 9,70 euros (au centime
d'euro près).
Valeurs xi de Xx1 = 10 x2 = 5 x3 = 0 Total
Probabilité pi = P(X = xi)p1 = 0,9405 p2 = 0,0585 p3 = 0,001 1
1()
2
T
PT = 0,98
(
)
12
T
PT = 0,02
(
)
12T
PT = 0,01
1
T
2
T
2
T
T1
T2 T2
P
(
)
1
T= 0,05
P(T1) = 0,95
1()
2T
PT = 0,99
TEST 1
TEST 2

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3. La variable aléatoire est égale au nombre d'occurrences de l'événement S lorsqu'on répète n = 10 fois
l'épreuve qui consiste à voir si une pièce a réussi les deux tests ou non. Par conséquent la variable aléatoire
Y est binomiale de paramètres n = 10 et p = P(S) = 0,9405.
On a donc, pour tout k Î 0, 10 :
P(Y = k) = 10
k
æö
ç÷
èø
0,9405k ´ 0,059510-k
a. La probabilité que les 10 pièces aient réussi les deux tests est :
P(Y = 10) = 0,940510  0,5415 à 10-4 près
b. La probabilité qu'exactement 7 pièces aient réussi les deux tests est :
P(Y = 7) = 10
7
æö
ç÷
èø
0,94057 ´ 0,05953  0,0165 à 10-4 près
c. La probabilité qu'au moins une pièce ait réussi les deux tests est, en raisonnant avec l'événement
contraire : P(Y  1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0,059510  1 à 10-4 près
d. L'espérance E(Y) de Y est donnée, dans ce contexte, par :
E(Y) = np = 10 ´ 0,9405 = 9,4050 à 10-4 près
En moyenne, le nombre de pièces du carton ayant réussi les deux tests est égal à 9,4 environ.
4.a. Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir 5 pièces parmi 10 :
10
5
æö
ç÷
èø
= 252
Le nombre de cas favorables est le nombre de façons de choisir 5 pièces parmi 7 :
7
5
æö
ç÷
èø
= 21
La probabilité que ces 5 pièces aient réussi les deux tests est donc :
p5 =
7
5
10
5
æö
ç÷
èø
æö
ç÷
èø
=
21
252 = 1 12  0,0833 à 10-4 près
b. Nombre de façons de choisir 3 pièces ayant réussi les deux tests (parmi 7) :
7
3
æö
ç÷
èø
= 35
Nombre de façons de choisir les 2 autres pièces (parmi 3) :
3
2
æö
ç÷
èø
= 3
Probabilité que, parmi ces 5 pièces, exactement trois aient réussi les deux tests :
p3 =
73
32
10
5
æöæö
ç÷ç÷
èøèø
æö
ç÷
èø
=
5
12  0,4167 à 10-4 près
On ne peut pas appliquer le
modèle de la loi binomiale dans
cette question. En effet, si on
considère que l'on repète n =
5 fois
l'expérience qui consiste à prélever
une pièce dans le carton et
regarder de quel type elle est, ceci
ne se fait pas de manière
indépendante car au fur et à
mesure des tirages, les probabilités
évoluent. (Par contre, le modèle de
la loi binomiale s'appliquerait si on
faisait des tirages
avec remise
)