DM PROBLÈME DE SYNTHÈSE SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES TS Dans une usine, à la fin d'une chaîne de fabrication, on effectue deux tests de qualité T1 et T2. Chaque pièce fabriquée sur la chaîne subit les deux tests. 95% des pièces fabriquées sur la chaîne réussissent le test T1. Parmi les pièces ayant réussi le test T1, 99% réussissent le test T2. Parmi les pièces ayant échoué au test T1, 98% réussissent le test T2. Étant donnée une pièce, on note aussi T1 l'événement "la pièce réussit le test T1" et T2 "la pièce réussit le test T2". Les résultats seront donnés à 10-4 près. 1. a. Calculer la probabilité de l'événement S : " la pièce franchit avec succès les deux tests". b. Calculer la probabilité qu'une pièce réussisse le test T2. c. Les événements T1 et T2 sont-ils indépendants ? d. On choisit une pièce ayant réussi le test T2. Quelle est la probabilité qu'elle ait réussi le test T1 ? 2. Les pièces ayant réussi les deux tests sont commercialisées au prix de 10 euros. Celles n'ayant réussi que l'un des deux tests sont vendues au prix promotionnel de 5 euros. Les autres sont jetées. Étant donnée une pièce, on note X la variable aléatoire correspondant à son prix de vente. a. Donner (sous forme d'un tableau) la loi de probabilité de X. b. Calculer l'espérance E(X) de X. Interpréter. 3. Dans cette question, on suppose que la probabilité P(S) qu'une pièce ait réussi les deux tests est égale à 0,9405. On dispose d'un carton de 10 pièces dont on ignore la qualité. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de pièces du carton qui ont réussi les deux tests. a. Calculer la probabilité que les 10 pièces aient réussi les deux tests. b. Calculer la probabilité qu'exactement 7 pièces aient réussi les deux tests. c. Calculer la probabilité qu'au moins une pièce ait réussi les deux tests. d. Calculer l'espérance E(Y) de Y. Interpréter. 4. Dans cette question, on suppose maintenant que le carton contient 7 pièces ayant réussi les deux tests et 3 pièces n'en ayant réussi qu'un seul ou aucun. On choisit 5 pièces au hasard dans le carton. a. Calculer la probabilité que ces 5 pièces aient réussi les deux tests. b. Calculer la probabilité que, parmi ces 5 pièces, exactement trois aient réussi les deux tests. TS DM : probabilités discrètes, synthèse Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ DM 10 PROBLÈME DE SYNTHÈSE SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES : CORRIGÉ TS 1. Arbre de la situation : ( ) P(T1) = 0,95 TEST 1 P T1 = 0,05 T1 T1 ( ) = 0,01 PT (T2 ) = 0,99 1 TEST 2 PT T2 1 T2 ( ) = 0,02 PT (T2 ) = 0,98 1 PT T2 1 T2 T2 T2 a. Probabilité de l'événement S : " la pièce franchit avec succès les deux tests" : P(S) = P(T1 Ç T2) = PT1 (T2 ) P(T1) = 0,99 ´ 0,95 = 0,9405 b. La probabilité qu'une pièce réussisse le test T2 peut se calculer à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée à la partition T1 È T1 : P(T2) = P(T2 Ç T1) + P (T2 Ç T1 ) = 0,99 ´ 0,95 + 0,98 ´ 0,05 = 0,9895 c. On a P(T2) ¹ PT1 (T2 ) , donc les événements T1 et T2 ne sont pas indépendants. (On pouvait aussi comparer P(T1 Ç T2) et P(T1)P(T2)) d. Il s'agit de calculer PT2 (T1 ) : PT2 (T1 ) = P (T1 Ç T2 ) 0,9405 = 0,9505 à 10-4 près P(T2 ) 0,9895 2. a. La variable aléatoire X prend les valeurs 10, 5 ou 0 suivant les cas. P(X = 10) = P(S) = 0,9405 P(X = 5) = P ( (T1 Ç T2 ) È (T1 Ç T2 ) ) Et comme les événements T1 Ç T2 et T1 Ç T2 sont incompatibles : P(X = 5) = P (T1 Ç T2 ) + P (T1 Ç T2 ) = 0,95 ´ 0,01 + 0,05 ´ 0,98 = 0,0585 P(X = 0) = P (T1 Ç T2 ) = 0,05 ´ 0,02 = 0,001 On a donc déterminé la loi de probabilité de X : Valeurs xi de X x1 = 10 x2 = 5 x3 = 0 Total Probabilité pi = P(X = xi) p1 = 0,9405 p2 = 0,0585 p3 = 0,001 1 b. L'espérance E(X) de X est donnée par : E(X) = 3 å p x = 0,9405 ´ 10 + 0,0585 ´ 5 + 0,001 ´ 0 = 9,6975 i i i =1 La recette moyenne par pièce (ou prix de vente moyen d'une pièce) est donc de 9,70 euros (au centime d'euro près). TS DM : probabilités discrètes, synthèse Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. La variable aléatoire est égale au nombre d'occurrences de l'événement S lorsqu'on répète n = 10 fois l'épreuve qui consiste à voir si une pièce a réussi les deux tests ou non. Par conséquent la variable aléatoire Y est binomiale de paramètres n = 10 et p = P(S) = 0,9405. On a donc, pour tout k Î 0, 10 : æ 10 ö P(Y = k) = ç ÷ 0,9405k ´ 0,059510-k èkø a. La probabilité que les 10 pièces aient réussi les deux tests est : P(Y = 10) = 0,940510 0,5415 à 10-4 près b. La probabilité qu'exactement 7 pièces aient réussi les deux tests est : æ 10 ö P(Y = 7) = ç ÷ 0,94057 ´ 0,05953 0,0165 à 10-4 près è7ø c. La probabilité qu'au moins une pièce ait réussi les deux tests est, en raisonnant avec l'événement contraire : P(Y 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0,059510 1 à 10-4 près d. L'espérance E(Y) de Y est donnée, dans ce contexte, par : E(Y) = np = 10 ´ 0,9405 = 9,4050 à 10-4 près En moyenne, le nombre de pièces du carton ayant réussi les deux tests est égal à 9,4 environ. 4. a. Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir 5 pièces parmi 10 : æ 10 ö ç 5 ÷ = 252 è ø Le nombre de cas favorables est le nombre de façons de choisir 5 pièces parmi 7 : æ7ö ç 5 ÷ = 21 è ø On ne peut pas appliquer le La probabilité que ces 5 pièces aient réussi les deux tests est donc : modèle de la loi binomiale dans æ7ö ç5÷ 21 1 p5 = è ø = = 0,0833 à 10-4 près 10 æ ö 252 12 ç5÷ è ø cette question. En effet, si on considère que l'on repète n = 5 fois l'expérience qui consiste à prélever une pièce dans le carton et regarder de quel type elle est, ceci b. Nombre de façons de choisir 3 pièces ayant réussi les deux tests (parmi 7) : æ7ö ç 3 ÷ = 35 è ø ne se fait pas de manière indépendante car au fur et à mesure des tirages, les probabilités évoluent. (Par contre, le modèle de Nombre de façons de choisir les 2 autres pièces (parmi 3) : la loi binomiale s'appliquerait si on æ 3ö ç 2÷ = 3 è ø faisait des tirages avec remise) Probabilité que, parmi ces 5 pièces, exactement trois aient réussi les deux tests : æ7öæ 3ö ç3÷ç 2÷ 5 p3 = è ø è ø = 0,4167 à 10-4 près 10 æ ö 12 ç5÷ è ø TS DM : probabilités discrètes, synthèse Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
