M - C6 : Forces centrales

Lycée Newton - PTSI M6 - Forces centrales
Mécanique
Chapitre 6 : Forces centrales
Sommaire
Page
1 Action d’une force centrale conservative 1
1.1 Forcecentrale.................................................. 1
1.2 Conservationdumomentcinétique ...................................... 2
1.2.1 Conséquences du caractère centrale de la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 LoidesAires .............................................. 2
1.3 Conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Expression de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Etude du mouvement radial - Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Etude du mouvement des planètes et des satellites 4
2.1 Historique.................................................... 4
2.2 Enoncés des lois de Kepler .......................................... 5
2.3 Aspectthéorique ................................................ 5
2.4 Etude des trajectoires circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Aspecténergétique........................................... 5
2.5 Généralisation aux trajectoires elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Vitessedelibération .............................................. 6
Dans les deux premières parties, on étudie les propriétés générales du mouvement d’un point métériel soumis à
une force centrale conservative. Dans cette situation particulière en effet, le moment cinétique du point matériel se
conserve. Les conséquences qui en découlent sont riches : on établit que le mouvement est plan et vérifie la loi des
aires.
Le cas général est souvent trop complexe pour être résolu de manière analytique. En se limitant au cas particulier
des forces newtonienne (gravitation par exemple), on va pouvoir établir l’équation de la trajectoire. On retrouvera
ainsi les lois de Kepler concernant le mouvement des planètes autour du Soleil, valables aussi pour les satellites en
orbite autour de leur planète.
1 Action d’une force centrale conservative
1.1 Force centrale
Force centrale Dans un référentiel donné, une force Fest centrale de centre Osi elle est en permaanence
colinéaire au vecteur position défini par rapport à O. En coordonnées sphériques, on peut écrire :
F=f(r, θ, ϕ)er(1)
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Suivant le signe de f, on distingue deux types de forces centrales :
•f > 0: force répulsive
•f < 0: force attractive
A priori, la composante fde la force dépend de la position du point Met donc des trois coordonnées r,θet ϕdu
point Men coordonnées sphériques. Dans un très grand nombre de cas cependant, la symétrie du problème conduira
à une invariance par rotation autour du point Oet donc à une indépendance de fsuivant les angles θet ϕ. On aura
alors :
Force centrale à symétrie sphérique
F=f(r)er(2)
On peut citer deux exemples importants :
•la force de gravitation : FG=−G mAmB
r2er
•la force de Coulomb : FC=1
4πε0
qAqB
r2er
1.2 Conservation du moment cinétique
1.2.1 Conséquences du caractère centrale de la force
En appliquant le théorème du moment cinétique à un point Msoumis à l’action d’une force centrale de centre O,
montrons que son moment cinétique par rapport à Oest constant :
.−→
M0(F) = OM ∧F=rer∧fer=0
⇒L0=cte
A tout instant, l’axe de rotation est le même. La trajectoire est donc plane. Pour simplifier l’étude du mouvement,
on se place en coordonnées polaires. Exprimons le moment cinétique en fonction de la masse mdu point mtériel M,
de la distance r=OM et de la vitesse angulaire ˙ θ:
.
L0=rer∧m( ˙rer+r˙ θ`)
L0=mr2˙ θez
L0=mr2˙ θ
Conservation du moment cinétique Le moment cinétique par rapport au point Od’un point Msoumis à
l’action d’une force centrale dirigée suivant (OM)est constant.
Autrement dit, une force centrale n’a pas d’effet sur le mouvement de rotation.
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1.2.2 Loi des Aires
Visualisons sur un schéma l’aire dAbalayée par le rayon vecteur pendant le temps dt:
.On rappelle que l’aire d’un parallélogramme est :
Apar =ka∧bk
Ainsi, l’aire balayée par le rayon vecteur est donnée
par :
dA=kr∧(r+vdt)k
2=kr∧vdtk 2
Exprimons l’aire balayée par unité de temps dA
dt:
.Par définition :
L0=r∧mv
On en déduit :
r∧vdt=L0dt
m
et donc :
dA
dt=L0 2m
Pour un système soumis à une force centrale, l’aire balayée par le vecteur position pendant un temps dt
est constante.
Loi des Aires :
Dans le cadre du mouvement des planètes, ce résultat est connu sous le nom de 2eloi de Kepler.
1.3 Conservation de l’énergie mécanique
1.3.1 Expression de l’énergie mécanique
Dans le cas où le système est en évolution conservative, son énergie mécanique se conserve. On rappelle que la
valeur de l’énergie mécanique est fixée par les conditions initiales.
Etablissons l’expression de l’énergie mécanique Emen coordonnées polaires :
.
r=rer
v= ˙rer+e˙ θe`
On en déduit :
Em=Ep(r) + 1
2m(r˙
θ)2+1
2m˙r2
On peut remarquer que l’énergie cinétique comporte deux termes :
– un terme en ˙rlié au mouvement radial
– un terme en ˙ θlié au mouvement de rotation (mouvement orthoradial)
Contrairement aux situations étudiées au premier semestre (mouvements à un degré de liberté), le mouvement
est ici à deux degrés de liberté. A priori, on ne peut donc pas discuter aussi simplement du mouvement. Cependant,
le mouvement orthoradial est lié au mouvement radial via la loi des aires. Il est donc possible de se ramener à un
problème à un degré de liberté.
En utilisant l’expression de la constante des aires, exprimons l’énergie mécanique en fonction de la coordonnée
radiale runiquement :
.
L0=mr2˙ θ
1
2m(r˙
θ)2=L2
0
2mr2
On en déduit :
Em=Ep(r) + L2
0
2mr2+1 2m˙r2
L’étude est ainsi ramenée à un problème à un degré de liberté.
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1.3.2 Etude du mouvement radial - Energie potentielle effective
L’étude du mouvement peut être menée en introduisant l’énergie potentielle effective E∗
p:
Energie potentielle effective L’énergie potentielle effective E∗
pd’un point matériel de masse msoumis à
une force centrale conservative est donnée par la relation :
E∗
p=Ep(r) + L2
0
2mr2(3)
où Ep(r)représente l’énergie potentielle de la force Fet L0le moment cinétique du point M.
On va maintenant étudier ce mouvement à un degré de liberté (mouvement radial) pour un type de force parti-
culier : celui des forces newtonnienne, qui par définition, sont des forces centrales conservatives « en 1/r2».
Une force Fnewtonnienne peut s’écrire de la façon suivante :
F=ker
r2(4)
avec k < 0si la force est attractive et k > 0sinon.
Calculons l’énergie potentielle associée à cette force, en choisissant la référence de l’énergie potentielle à l’infini :
.
F=ker
r2
dEp=−δW =−F·(drer) = −kdr
r2
Z∞
r
dEp=−kZ∞
r
dr
r2
−Ep(r) = −k
r
Ep(r) = k
r
Représentons graphiquement l’énergie potentielle effective et repérons les bornes délimitant le mouvement radial
pour différentes valeurs de l’énergie mécanique (cas attractif et répulsif) :
.force attractive : (k < 0)
•Em<0: mouvement elliptique
•Em>0: mvt hyperbolique
•Em= 0 : mvt parabolique
force répulsive (k > 0) :
•Em>0nécessairement, mouvement hyperbo-
lique
2 Etude du mouvement des planètes et des satellites
2.1 Historique
Dans le système de Copernic, le centre du système solaire n’était pas le centre du Soleil mais le centre de l’orbite
terrestre. Ainsi, le Soleil était vu comme un peu excentré et la Terre se mouvant autour d’un point vide de l’espace.
Kepler a remis en cause cette manière de voir et a émis l’hypothèse que les planètes ne pouvaient pas tourner autour
d’un point vide mais qu’elles tournaient autour du Soleil. Ce nouveau regard sur les mouvements cellestes a posé
les bases de la physique moderne : pour la première fois, le Soleil était vu comme la cause du mouvement des planètes.
Comme dans le système de Ptolémée, le système de Copernic repose sur une multitude d’épicycles pour ex-
pliquer le mouvement des planètes. La raison était que Copernic avait conservé l’idée du mouvement uniforme des
planètes. Or, pour Kepler, si le Soleil excentré est la cause du mouvement des planètes, une planète doit donc
accélérer en s’approchant du Soleil et ralentir dans le cas contraire. Avec cette hypothèse et à l’aide des premières
observations de Tycho Brahe, il montre que la trajectoire de Mars peut être décrqu à l’aide d’un seul cercle (contre
cinq dans le système de Copernic).
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En voulant confirmer ses résultats, Kepler découvre un écart de 8 minutes d’arc entre ses calculs et les mesures
de Tycho Brahe. « Si le Seigneur nous a donné un observateur tel que Tycho Brahe, écrit-il, nous n’avons pas le
droit de négliger un écart de huit minutes entre les calculs et les observations. » Ses calculs l’ont amené à préciser les
variations de vitesse et à découvrir une grandeur constante au cours du mouvement : l’aire balayée par une planète
dans le plan de sa trajectoire. Il s’agit de ce qu’on appelera plus tard la loi des aires (2eloi de Kepler). Par ailleurs,
les écarts entre calculs et observations l’ont amené à renoncer à la trajectoire circulaire des planètes et à introduire
une description qualifiée par lui-même de « charretée de fumier dans le système du monde » : le caratère elliptique
des trajectoires des planètes (1ère loi de Kepler).
La vision du monde est bouleversée : les planètes ne se meuvent plus à vitesse constante et ne suivent plus
des trajectoires circulaires. Kepler s’est alors s’attaché à rétablir une certaine harmonie en comparant les ellipses
suivies par les différentes planètes. Il a ainsi découvert un rapport entre l’axe de l’ellipse et la période de révolution
indépendant de la planète considérée (3eloi de Kepler).
2.2 Enoncés des lois de Kepler
Lois de Kepler
•1ère loi : Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont un foyer est occupé par le Soleil.
•2eloi : L’aire balayée par le segment liant le centre du Soleil au centre d’une planèe pendant une
durée donnée est constante.
•3eloi : Le rapport entre le carré de la période Tde révolution de la planète et le cube du demi grand
axe de sa trajectoire est indépendant de la planète considérée :
T2
a3= cte (5)
2.3 Aspect théorique
La démonstration de la première loi de Kepler sort du cadre de ce cours en raison des développements ma-
thématiques qu’elle nécessiterait. La deuxième loi de Kepler a été proposé plus haut : il s’agit d’une conséquence
immédiate de la conservation du moment cinétique. Enfin, la démonstration de la troisième loi de Kepler présente
un développement trop complexe. Aussi, le programme propose de restreindre la démonstration de cette loi au cas
des mouvements circulaires, qui constituent le cas particulier d’une ellipse ayant ses deux foyers confondus.
2.4 Etude des trajectoires circulaires
On se propose d’étudier le mouvement d’une planète en considérant les hypothèses simplificatrices suivantes :
•On suppose le Soleil et les planètes à symétrie sphérique. On peut alors considérer que chacun de ces astres est
assimilable à un point matériel de même masse, et situé au centre de l’astre.
•Lors de l’étude du mouvement d’une planète, on néglige l’influence des forces de gravitation des autres planètes,
en ne tenant compte que de la force exercée par le Soleil sur la planète étudiée.
2.4.1 Aspect énergétique
Exprimons le lien entre les différentes énergies dans le cadre du mouvment circulaire :
.
E∗
p=−GmSm
r+L2
0
2mr2
ÅdE∗
p
dtãr0
= 0 ⇒Gmsm
r2
0
−L2
0
mr3
0
= 0
On en déduit :
Ep=−GmSm
r0
=−L2
0
mr2
0
=−2Ec
soit :
Em=Ep
2=−GmmS 2r0
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