TD : Probabilité conditionnelles - Série 2

TD : Probabilité conditionnelles - Série 2
Correction 1
vert
1.
roug
e
7
8
ou o
rang
e
1
8
vert
11
20
rouge
ou ora
nge
9
20
vert
19
20
rouge
ou ora
nge
1
20
2. L’arbre de probabilité conditionnelle nous permet
d’obtenir rapidement les probabilités suivantes :
7 9
63
P(E1 ∩ E2 ) = P(E1 )×PE1 (E2 ) = ×
=
8 20
160
7 11
77
P(E1 ∩ E2 ) = P(E1 )×PE1 (E2 ) = ×
=
8 20
160
1 1
1
P(E1 ∩ E2 ) = P(E1 )×PE1 (E2 ) = ×
=
8 20
160
1 19
19
P(E1 ∩ E2 ) = P(E1 )×PE1 (E2 ) = ×
=
8 20
160
La variable aléatoire peut prendre les trois valeurs 0, 1,
2 ; on a :
1
X =0 = E1 ∩ E2 =⇒ P X =0 =
160
X =1 = E1 ∩ E2 ∪ E1 ∩ E2
19
63
82
41
=⇒ P X =1 =
+
=
=
160 160
160
80
77
X =2 = E1 ∩ E2 =⇒ P X =2 =
160
Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :
P(A ∩ B)
PA (B) =
P(A)
P(A ∩ B) = PA (B)×P(A)
P(A ∩ B) = 0,1×0,6
P(A ∩ B) = 0,06
Les évènements B et B forment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(A) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
0,6 = P(B ∩ A) + 0,06
P(B ∩ A) = 0,6 − 0,06
P(B ∩ A) = 0,54
Les évènements A et A forment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales :
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
= 0,28 + 0,54 = 0,82
On a la probabilité conditionnelle suivante :
P(B ∩ A)
0,28
28
14
PB (A) =
=
=
=
P(B)
0,82
82
41
L’affirmation est donc vraie.
Correction 4
D’après les données de l’énoncé, on déduit :
PA (B) = 1 − PA (B) = 1 − 0,80,2
PA (B) = 1 − PA (B) = 1 − 0,6 = 0,4
Ainsi, on peut compléter l’arbre de probabilité de gauche :
Correction 2
0, 8
1. Voici l’arbre de probabilité associé à cette expérience
aléatoire :
0, 64
A
0, 7
0, 3
B
B
0, 7
0, 4
A
A
0, 5
0, 5
0, 2
0, 3
B
0, 36
a. Par lecture de l’arbre de probabilité, on a :
P(A ∩ B) = P(A)×PA (B) = 0,64×0,3 = 0,192
P(A ∩ B) = P(A)×PA (B) = 0,36×0,5 = 0,18
b. A et A forment une partition de l’univers Ω. D’après
la formule des probabilités totales, on a la formule :
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0,192 + 0,18
= 0,372
Correction 3
Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :
P(A ∩ B)
PA (B) =
P(A)
P(A ∩ B) = PA (B)×P(A)
P(A ∩ B) = 0,7×0,4
P(A ∩ B) = 0,28
Par complémentarité, on déduit la probabilité de A :
P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0,4 = 0,6
B
0, 6
B
B
2.
A
B
B
Les évènements A et A forment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
= P(A)×PA (B) + P(A)×PA (B)
= 0,3×0,8 + 0,7×0,4 = 0,24 + 0,28 = 0,52
Par complémentarité, on a :
P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0,52 = 0,48
D’après la définition des probabilités conditionnelles, on a :
P(A)×PA (B)
0,3×0,8
P(B ∩ A)
=
=
' 0,46
PB (A) =
P(B)
P(B)
0,52
PB (A) =
P(B ∩ A)
P(A)×PA (B)
0,3×0,2
' 0,13
=
=
0,48
PB
P(B)
Par complémentarité, on a :
PB (A) = 1 − PB (A) = 1 − 0,46 = 0,54
PB (A) = 1 − PB (A) = 1 − 0,13 = 0,87
Ainsi, on peut compléter l’arbre de probabilité de droite :
A
3
4
A
N2
A
b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
P B2 = P B2 ∩ B1 + P B2 ∩ N1
= P B1 ·PB1 B2 + P N1 ·PN1 B2
Correction 5
1. D’après les relations sur les différentes probabilités, on
peut écrire les relations :
P(A) = P(F ) ; P(C) = 2·P(F ) ; P(I) = 2·P(F )
L’univers des issues possible de cette expérience aléatoire
est constitué des quatres évènements élémentaire F , A,
C et I ; ainsi, on a :
P(F ) + P(A) + P(C) + P(I) = 1
P(F ) + P(A) + P(C) + P(I) = 1
P(F ) + P(F ) + 2·P(F ) + 2·P(F ) = 1
6·P(F ) = 1
1
P(F ) =
6
On en déduit :
1
P(A) = P(F ) =
6
P(C) = 2 · P(F ) = 2×
2.
1
1
=
6
3
1
6
a. D’après la formule sur les probabilités conditionnelles, on a l’égalité suivante :
1
1
P(S ∩ A) = PA (S) · P(A) = 0,5× =
6
12
b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(S) = P(S ∩ F ) + P(S ∩ A) + P(S ∩ C) + P(S ∩ I)
1
= P(F )×PF (S) +
+ P(C)×PC (S) + P(I)×PI (S)
12
1 1
1
1 1
1 4
= × +
+ × + ×
6 5 12 3 10 3 10
2
5
2
8
17
=
+
+
+
=
60 60 60 60
60
c. D’après la formule des probabilités conditionnelles, on
a l’égalité :
P(S ∩ C)
P(C)×PC (S)
PS (C) =
=
17
P(S)
60
2
1 1
×
2
2 60
3
10
60
×
=
=
=
=
17
17
60 17
17
60
60
Correction 6
1.
a. Voici l’arbre de probabilité complété :
B2
1
2
N1
1
2
A
3
B
0, 13
0, 87
3
8
B2
N2
k+
0, 4
P(I) = P(C) =
B1
1
4
0, 46
0, 54
k
3
k+
2
0, 5
B
2.
=
k
3
3
1
3k
3
× +
× =
+
k+3 4 k+3 2
4·(k + 3) 2·(k + 3)
=
6
3k + 6
3k + 6
3k
+
=
=
4·(k + 3) 4·(k + 3)
4·(k + 3)
4k + 12
a. Etudions les gains possibles à ce jeu :
Ayant misé 8 euros, s’il tire une boule noire, l’utilisateur perd sa mise : son gain est de −8 euros.
Ayant misés 8 euros, s’il tire une boule blanche, l’utilisateur repmporte 12 euros : son gain 4 euros.
Ainsi, la variable aléatoire X prend les deux valeurs
−8 et 4
b.
L’évènement X =−8 correspond à l’évènement :
N : “La boule tirée est noire”
D’après la formule
des probabilités totales, on a :
P X =−8 = P(B1 ∩N2 ) + P(N1 ∩N2 )
= P(B1 )×PB1 (N2 ) + P(N1 )×PN1 (N2 )
12 1
3 1
4 1 1 1
=
× + × = × + ×
15 4 15 2
5 4 5 2
4
2
6
=
+
=
20 20
20
L’évènement X =4 correspond à l’évènement :
“La boule tirée est blanche”
D’après laformule des probabilités totales, on a :
P X =4 = P(B1 ∩B2 ) + P(N1 ∩B2 )
= P(B1 )×PB1 (B2 ) + P(N1 )×PN1 (B2 )
12 3
3 1
3 3 4 1
=
× + × = × + ×
15 4 15 2
5 4 5 2
9
4
17
=
+
=
20 10
20
c. L’espérance de la variable
aléatoire X : E(X ) = 4×P X =4 + (−8)×P X = − 8
= 4×
17
6
68 48
20
+ (−8)×
=
−
=
=1
20
20
20 20
20
d. Le jeux est favorable au joueur car pour chaque partie,
le joueur gagnera en moyenne 1 euro.
Correction 7
1. On a l’égalité suivante : R1 = A1 ∩ R1
De la définition des probabilités conditionnelles, on obtient :
P A1 ∩ R1 ) = P(A1 )×PA1 (R1 ) = 0,6×0,2 = 0,12
2. On obtient le tableau de probabilité suivant :
0, 3
A1
0, 4
A2
0, 8
0, 7
A2
0, 8
0, 6
A1
R2
0, 2
R1
R2
0, 2
R1
De l’égalité R1 = A1 ∩ R1 , on en déduit la probabilité
de R1 :
P(R1 ) = P(R1 ∩ A1 ) = P(A1 )×PA1 (R1 )
= 0,6×0,2 = 0,12
A l’aide des probabilités conditionnelle, on a :
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 )×PA1 (A2 )
= 0,4×0,7 = 0,28
La personne répond au questionnaire au second appel
si, et seulement si, il était absent lors du premier appel
et présent lors du second appel ; ainsi, on a :
R2 = A1 ∩ A2 ∩ R2 = A2 ∩ R2
Ainsi, on en déduit la probabilité qu’une personne
réponde au questionnaire lors du second appel est :
P(R2 ) = P(A2 ∩ R2 ) = P(A2 )×PA2 (R2 )
= 0,28×0,2 = 0,056
Les deux évènements R1 et R2 sont disjoints et on a
l’égalité R=R1 ∪R2 . On en déduit la probabilité qu’une
personne réponde au questionnaire :
P(R) = P(R1 ) + P(R2 ) = 0,12 + 0,056 = 0,176
3. On recherche la probabilité PR (R1 ). D’après la définition
des probabilités conditionnelles, on a l’égalité suivante :
P(R ∩ R1 )
PR (R1 ) =
P(R)
En remarquant que R ∩ R1 =R1 , on a :
=
P(R1 )
0,12
=
' 0,68
P(R)
0,176
Correction 8
1. L’évènement C est l’intersection des évènements A et B :
P(C) = P(A ∩ B)
Les évènements A et B sont indépendants :
= P(A)×P(B) = 0,02×0,01 = 0,000 2
2. Le sac est défectueux s’il présente au moins un des deux
défaut :
P(D) = P(A ∪ B)
La formule de la propriété d’une réunion donne :
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0,02 + 0,01 − 0,000 2 = 0,0298
3. Le complémentaire de l’évènement E est l’évènement D :
P(E) = P(D) = 1 − P(D) = 1 − 0,0298 = 0,9702
4. On cherche à connaître la probabilité PA (B). D’après la
formule des probabilités conditionnelles, on a :
P(A ∩ B)
PA (B) =
P(A)
Les évènements A et B sont indépendants :
=
P(A)×P(B)
= P(B) = 0,01
P(A)
Ce résultat est assez logique puisque ces deux évènements
sont indépendants.