TD : Probabilité conditionnelles - Série 2

TD : Probabilité conditionnelles - Série 2
Correction 1
1.
vert
7
8
vert
11
20
rouge ou orange
9
20
rouge ou orange
1
8
vert
19
20
rouge ou orange
1
20
2. L’arbre de probabilité conditionnelle nous permet
d’obtenir rapidement les probabilités suivantes :
P(E1∩E2) = P(E1)×PE1(E2) = 7
8×9 20 =63 160
P(E1∩E2) = P(E1)×PE1(E2) = 7
8×11 20 =77 160
P(E1∩E2) = P(E1)×PE1(E2) = 1
8×1 20 =1 160
P(E1∩E2) = P(E1)×PE1(E2) = 1
8×19 20 =19 160
La variable aléatoire peut prendre les trois valeurs 0,1,
2;ona:
X=0=E1∩E2=⇒ PX=0=1
160
X=1=E1∩E2∪E1∩E2
=⇒ PX=1=19
160 +63 160 =82 160 =41 80
X=2=E1∩E2=⇒ PX=2=77
160
Correction 2
1. Voici l’arbre de probabilité associé à cette expérience
aléatoire :
0,64
0,7
B
0,3
B
A
0,36
0,5
B
0,5
B
A
2. a. Par lecture de l’arbre de probabilité, on a :
P(A∩B) = P(A)×PA(B) = 0,64×0,3 = 0,192
P(A∩B) = P(A)×PA(B) = 0,36×0,5 = 0,18
b. Aet Aforment une partition de l’univers Ω. D’après
la formule des probabilités totales, on a la formule :
P(B) = P(A∩B) + P(A∩B) = 0,192 + 0,18
= 0,372
Correction 3
Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)
P(A∩B) = PA(B)×P(A)
P(A∩B) = 0,7×0,4
P(A∩B) = 0,28
Par complémentarité, on déduit la probabilité de A:
P(A) = 1 − P(A) = 1 −0,4 = 0,6
Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)
P(A∩B) = PA(B)×P(A)
P(A∩B) = 0,1×0,6
P(A∩B) = 0,06
Les évènements Bet Bforment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(A) = P(B∩A) + P(B∩A)
0,6 = P(B∩A) + 0,06
P(B∩A) = 0,6−0,06
P(B∩A) = 0,54
Les évènements Aet Aforment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales :
P(B) = P(B∩A) + P(B∩A)
= 0,28 + 0,54 = 0,82
On a la probabilité conditionnelle suivante :
PB(A) = P(B∩A)
P(B)=0,28 0,82 =28 82 =14 41
L’affirmation est donc vraie.
Correction 4
D’après les données de l’énoncé, on déduit :
PA(B) = 1 − PA(B) = 1 −0,80,2
PA(B) = 1 − PA(B) = 1 −0,6 = 0,4
Ainsi, on peut compléter l’arbre de probabilité de gauche :
0,3
0,8
B
0,2
B
A
0,7
0,4
B
0,6
B
A
Les évènements Aet Aforment une partition de l’univers Ω.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(B) = P(A∩B) + P(A∩B)
=P(A)×PA(B) + P(A)×PA(B)
= 0,3×0,8 + 0,7×0,4 = 0,24 + 0,28 = 0,52
Par complémentarité, on a :
P(B) = 1 − P(B) = 1 −0,52 = 0,48
D’après la définition des probabilités conditionnelles, on a :
PB(A) = P(B∩A)
P(B)=P(A)×PA(B) P(B)=0,3×0,8 0,52 '0,46
PB(A) = P(B∩A)
PB=P(A)×PA(B) P(B)=0,3×0,2
0,48 '0,13
Par complémentarité, on a :
PB(A)=1− PB(A) = 1 −0,46 = 0,54
PB(A)=1− PB(A) = 1 −0,13 = 0,87
Ainsi, on peut compléter l’arbre de probabilité de droite :

0,52
0,46
A
0,54
A
B
0,48
0,13
A
0,87
A
B
Correction 5
1. D’après les relations sur les différentes probabilités, on
peut écrire les relations :
P(A) = P(F);P(C) = 2·P(F);P(I) = 2·P(F)
L’univers des issues possible de cette expérience aléatoire
est constitué des quatres évènements élémentaire F,A,
Cet I; ainsi, on a :
P(F) + P(A) + P(C) + P(I) = 1
P(F) + P(A) + P(C) + P(I) = 1
P(F) + P(F)+2·P(F)+2·P(F) = 1
6·P(F) = 1
P(F) = 1
6
On en déduit :
P(A) = P(F) = 1
6
P(C) = 2 · P(F) = 2×1
6=1 3
P(I) = P(C) = 1
6
2. a. D’après la formule sur les probabilités condition-
nelles, on a l’égalité suivante :
P(S∩A) = PA(S)· P(A) = 0,5×1
6=1 12
b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
P(S) = P(S∩F) + P(S∩A) + P(S∩C) + P(S∩I)
=P(F)×PF(S) + 1
12 +P(C)×PC(S) + P(I)×PI(S)
=1
6×1 5+1 12 +1 3×1 10 +1 3×4 10
=2
60 +5 60 +2 60 +8 60 =17 60
c. D’après la formule des probabilités conditionnelles, on
a l’égalité :
PS(C) = P(S∩C)
P(S)=P(C)×PC(S)
17
60
=
1
3×1 10
17
60
=
2
60
17
60
=2
60×60 17 =2 17
Correction 6
1. a. Voici l’arbre de probabilité complété :
k
k+3
3
4
B2
1
4
N2
B1
3
k+3
1
2
B2
1
2
N2
N1
b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
PB2=PB2∩B1+PB2∩N1
=PB1·PB1B2+PN1·PN1B2
=k
k+ 3×3 4+3 k+ 3×1 2=3k 4·(k+ 3) +3 2·(k+ 3)
=3k
4·(k+ 3) +6 4·(k+ 3) =3k+ 6 4·(k+ 3) =3k+ 6 4k+ 12
2. a. Etudions les gains possibles à ce jeu :
Ayant misé 8euros, s’il tire une boule noire, l’util-
isateur perd sa mise : son gain est de −8euros.
Ayant misés 8euros, s’il tire une boule blanche, l’u-
tilisateur repmporte 12 euros : son gain 4euros.
Ainsi, la variable aléatoire Xprend les deux valeurs
−8et 4
b. L’évènement X=−8correspond à l’évènement :
N: “La boule tirée est noire”
D’après la formule des probabilités totales, on a :
PX=−8=P(B1∩N2) + P(N1∩N2)
=P(B1)×PB1(N2) + P(N1)×PN1(N2)
=12
15×1 4+3 15×1 2=4 5×1 4+1 5×1 2
=4
20 +2 20 =6 20
L’évènement X=4correspond à l’évènement :
“La boule tirée est blanche”
D’après la formule des probabilités totales, on a :
PX=4=P(B1∩B2) + P(N1∩B2)
=P(B1)×PB1(B2) + P(N1)×PN1(B2)
=12
15×3 4+3 15×1 2=3 5×3 4+4 5×1 2
=9
20 +4 10 =17 20
c. L’espérance de la variable aléatoire X:
E(X) = 4×PX=4+ (−8)×PX=−8
= 4×17
20 + (−8)×6 20 =68 20 −48 20 =20 20 = 1
d. Le jeux est favorable au joueur car pour chaque partie,
le joueur gagnera en moyenne 1euro.
Correction 7
1. On a l’égalité suivante : R1=A1∩R1
De la définition des probabilités conditionnelles, on ob-
tient :
PA1∩R1) = P(A1)×PA1(R1) = 0,6×0,2 = 0,12
2. On obtient le tableau de probabilité suivant :

0,3
A2
0,8
R2
0,2
R2
0,7
A2
0,4
A1
0,8
R1
0,2
R1
0,6
A1
De l’égalité R1=A1∩R1, on en déduit la probabilité
de R1:
P(R1) = P(R1∩A1) = P(A1)×PA1(R1)
= 0,6×0,2 = 0,12
A l’aide des probabilités conditionnelle, on a :
P(A1∩A2) = P(A1)×PA1(A2)
= 0,4×0,7 = 0,28
La personne répond au questionnaire au second appel
si, et seulement si, il était absent lors du premier appel
et présent lors du second appel ; ainsi, on a :
R2=A1∩A2∩R2=A2∩R2
Ainsi, on en déduit la probabilité qu’une personne
réponde au questionnaire lors du second appel est :
P(R2) = P(A2∩R2) = P(A2)×PA2(R2)
= 0,28×0,2 = 0,056
Les deux évènements R1et R2sont disjoints et on a
l’égalité R=R1∪R2. On en déduit la probabilité qu’une
personne réponde au questionnaire :
P(R) = P(R1) + P(R2) = 0,12 + 0,056 = 0,176
3. On recherche la probabilité PR(R1). D’après la définition
des probabilités conditionnelles, on a l’égalité suivante :
PR(R1) = P(R∩R1)
P(R)
En remarquant que R∩R1=R1,ona:
=P(R1)
P(R)=0,12 0,176 '0,68
Correction 8
1. L’évènement Cest l’intersection des évènements Aet B:
P(C) = P(A∩B)
Les évènements Aet Bsont indépendants :
=P(A)×P(B) = 0,02×0,01 = 0,000 2
2. Le sac est défectueux s’il présente au moins un des deux
défaut :
P(D) = P(A∪B)
La formule de la propriété d’une réunion donne :
=P(A) + P(B)− P(A∩B)
= 0,02 + 0,01 −0,000 2 = 0,0298
3. Le complémentaire de l’évènement Eest l’évènement D:
P(E) = P(D) = 1 − P(D) = 1 −0,0298 = 0,9702
4. On cherche à connaître la probabilité PA(B). D’après la
formule des probabilités conditionnelles, on a :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)
Les évènements Aet Bsont indépendants :
=P(A)×P(B)
P(A)=P(B)=0,01
Ce résultat est assez logique puisque ces deux évènements
sont indépendants.