DÉVELOPPEMENTS POUR L`AGREG Je donne ici quelques idées

D´ EVELOPPEMENTS POUR L’AGREG
MICKA¨ EL CRAMPON
Je donne ici quelques id´ees qui peuvent faire des d´eveloppements assez originaux. Lorsqu’il y en
a, je donne les r´ef´erences. Je propose parfois des conseils, des compl´ements ou des modifications
de preuve, qui n’engagent que moi. Je conseille les papiers de mes chers coll`egues Benjamin
Favetto ([9]) et Vincent Pit ([16]) en compl´ements de celui-ci.
Table des mati` eres
1. Le groupe circulaire 2
2. Dual d’un convexe 3
3. Anneaux d’entiers quadratiques 4
4. Nombre de sous-espaces stables 5
5. ´ Equir´epartition modulo 1 6
6. Th´eor`eme ergodique de Von Neumann. Applications 7
7. Nombre de rotation 8
8. Th´eor`eme d’´echantillonage de Shannon 9
9. Marche al´eatoire dans Zd, d ≥1 10
10. G´eom´etrie diff´erentielle 11
10.1. Th´eor`eme fondamental de la th´eorie des courbes 11
10.2. Sous-vari´et´es connexes de dimension 1 de Rn11
10.3. G´eod´esiques d’une surface de r´evolution 11
10.4. Deux r´esultats sur les surfaces 11
R´ef´erences 12
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1. Le groupe circulaire
D´efinition 1.1. Le groupe circulaire est le groupe Gengendr´e par les homographies et la conju-
gaison complexe.
Th´eor`eme 1.2. Le groupe circulaire est exactement l’ensemble des transformations pr´eservant
les cercles de S2.
Preuve : (la r´ef´erence est [3] p.204-205. Mais je propose ici une simplification de la preuve.)
Les homographies, puisqu’elles pr´eservent le birapport, et la conjugaison pr´eservent les cercles
de S2, donc les ´el´ements de Gaussi. Il s’agit de montrer la r´eciproque.
Soit donc fune transformation de S2pr´eservant les cercles.
Lemme 1.3. fpr´eserve les divisions harmoniques.
On va montrer que le quatri`eme harmonique peut ˆetre construit grˆace `a des cercles `a partir des
trois premiers points. Cette construction sera conserv´ee par f, et le r´esultat sera ´etabli.
Soient donc a, b, c ∈S2, deux `a deux distincts, et Cle cercle passant par a, b, c. On projette
sur un plan affine (r´eel) en choisissant le point ∞sur Cmais qu’on suppose distinct de a, b, c.
Le cercle Cse projette en une droite. Le point dtel que [a, b, c, d] = −1 est d´etermin´e par la
construction de la figure de gauche de la figure 15.
Elle peut facilement s’expliquer en plongeant le plan dans P2(R). Il suffit alors d’envoyer la droite
C`a l’infini pour obtenir la figure de droite, et l`a c’est clair puisque [a, b, c, ∞] = −1 ssi cest le
milieu de [ab].
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Lemme 1.4. Soient kun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et fune homographie de P1(k)
telle que f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Si fpr´eserve les divisions harmoniques, alors f est un automorphisme de corps de k.
En particulier, si k=C,fest donc soit l’identit´e soit la conjugaison. On renvoie `a [3] p.205
pour la preuve.
2
La preuve du th´eor`eme est alors claire. En composant avec une homographie, on se ram`ene au
cas o`u fv´erifie f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞. Les deux lemmes pr´ec´edents permettent de
conclure que f∈G.
2
Le¸cons :
– Homographies de la droite complexe ;
– Exemples d’utilisation de propri´et´es projectives et d’´el´ements `a l’infini ;
– Applications des nombres complexes `a la g´eom´etrie.

D´ EVELOPPEMENTS POUR L’AGREG 3
2. Dual d’un convexe
On note Cl’ensemble des convexes ferm´es de Rncontenant 0.
D´efinition 2.1. Le dual C∗d’un ´el´ement C∈ C est l’ensemble
{x∈Rn/∀y∈C, hx, yi ≤ 1}.
Lemme 2.2. Soient C∈ C et a6∈ C. Alors peut s´eparer strictement aet Cpar un hyperplan
de la forme
Ha={x∈Rn/hu(a), xi= 1},
avec u(a)∈Rn.
Preuve : Soient p(a) la projection de asur Cet Hl’hyperplan m´ediateur de aet C, d’´equation
hx−p(a)+a
2, a −p(a)i= 0. Celui-ci s´epare bien strictement aet Cet
x∈H⇐⇒ hx, a −p(a)i=hp(a) + a
2, a −p(a)i=1 2(kak2− kp(a)k2),
quantit´e >0 car 0 ∈Cet a6∈ C. Posant
u(a) = 2
kak2− kp(a)k2(a−p(a)),
on obtient le r´esultat.
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Proposition 2.3. L’application C7−→ C∗est une involution de Crenversant les inclusions.
Preuve : L’application est clairement d´efinie de Cdans lui-mˆeme et renverse les inclusions.
Montrons que c’est une involution, ie que (C∗)∗=Cpour C∈ C.
– (C∗)∗⊃C: si x∈Calors ∀y∈C∗,hx, yi ≤ 1 et donc x∈(C∗)∗.
– (C∗)∗⊂C: on montre que Cc⊂((C∗)∗)c. Si a6∈ Calors, en s´eparant xet Cpar l’hyperplan
Hadu lemme, on a
∀x∈C, hu(a), xi ≤ 1.
Ainsi, u(a)∈C∗. Comme a6∈ C, hu(a), ai>1 et finalement a6∈ ((C∗)∗).
2
Remarque : Cette application induit aussi une involution de l’ensemble
C0={C∈ C/ C compact,0∈C}.
Exemple 2.4. Soit Pun poly`edre r´egulier de R3de centre O. Notons M1, ..., Msles centres de
ses sfaces et P′l’enveloppe convexe des (Mi)i=1..s.Si OM1= 1, alors P∗=P′.
Preuve : P={M∈R3/∀i, h~ OM, ~ OMii ≤ 1},et donc P∗⊃ P′. R´eciproquement, P∗⊂ P′
car P= (P∗)∗⊃(P′)∗.En effet, si M∈(P′)∗,alors ∀N∈ P′,h~ OM, ~ ONi ≤ 1.En particulier,
∀i, h~ OM, ~ OMii ≤ 1 et donc ∈ P.
2
Le dual du t´etra`edre est lui-mˆeme, le dual du cube est l’octa`edre et celui du dod´eca`edre est
l’icosa`edre.
Remarque : si u∈GL(Rn) et C∈ C,alors (u(C))∗= (u∗)−1(C∗).Ainsi, si u∈O(Rn),
alors (u(C))∗=u(C∗),et donc Cet C∗ont mˆeme groupe d’isom´etries.
Le¸cons :
– Formes lin´eaires et hyperplans en dimension finie ;
– Barycentre et convexit´e en dimension finie.

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3. Anneaux d’entiers quadratiques
On se reportera `a [2] et surtout `a [11] pour les r´esultats ´enonc´es sans d´emonstration.
On s’int´eresse aux anneaux d’entiers des anneaux Q[√d] pour dentier non nul sans facteur
carr´e, Il s’agit de l’anneau Addes ´el´ements dont la norme est enti`ere :
Ad={z=a+b√d∈Q[√d]/ N(z) = a2+b2∈Z}.
On montre que Ad=Z[ω] avec ω=√dsi d≡2 ou 3 mod 4, ω=1+√d
2si d≡1 mod 4.
Dans [11], on d´etermine selon la valeur de l’entier dsi Adest euclidien, principal ou pas. Je
montre ici l’´equivalence entre principal et factoriel pour ces anneaux, ce qui est valable dans un
cadre plus g´en´eral (anneaux de Dedekind).
Proposition 3.1. Adest principal si et seulement si Adest factoriel.
Preuve : On fixe det on note A=Ad. En trois temps :
1. Les id´eaux premiers non nuls de Asont maximaux.
Soit Iun id´eal premier non nul de A.Aest un Z-module de base (1, ω), et Ien est un sous-
module. Par le th´eor`eme de la base adapt´ee, il existe a, b ∈Ztels que a|bou b|aet tel que (a, bω)
engendre Icomme Z-module. De plus, aet bsont non nuls car Iest non nul. Ainsi,
A/I ∼
=Z/aZ×Z/bZ.
En particulier, A/I est fini. I´etant premier, A/I est de plus int´egre. Finalemnt A/I est un corps
et Iest maximal.
2. Les id´eaux premiers de Asont principaux.
Si I= (0), alors Iest principal.
Sinon, il existe x∈Inon nul, qu’on ´ecrit dans A, factoriel, x=p1···pnavec p1,···, pnpremiers
dans A. Comme Iest premier, l’un des piest dans I, disons p1. Ainsi, (p1)⊂I. Mais (p1) est
un id´eal premier non nul donc maximal et donc I= (p1) et Iest principal.
3. Aest principal.
Soit Iun id´eal de A.Iest de type fini, engendr´e par moins de deux ´el´ements, puisqu’il l’est d´ej`a
comme Z-module. Supposons I= (a, b). A´etant factoriel, on peut consid´erer le pgcd kde aet
b. On ´ecrit a=ka′, b =kb′et ainsi, I=k(a′, b′).
En fait, I= (k) car (a′, b′) = A: sinon, (a′, b′) est inclus dans un id´eal maximal M= (p) avec
ppremier dans A. On a alors p|a′et p|b′, d’o`u une contradiction puisque a′et b′sont premiers
entre eux.
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Le¸cons :
– Anneaux principaux ;
– Exemples d’applications des id´eaux d’un anneau commutatif unitaire.

D´ EVELOPPEMENTS POUR L’AGREG 5
4. Nombre de sous-espaces stables
Voici une jolie application de la vision k[X]-module en alg`ebre lin´eaire. Cela r´epond `a une
question qui semble fr´equemment pos´ee par le jury.
Proposition 4.1. Soient kun corps infini, Eun k-espace vectoriel de dimension finie n, et
u∈ L(E). Alors le nombre de sous-espaces u-stables est fini si et seulement si Eest u-cyclique.
Preuve : 1. On traduit d’abord le probl`eme en termes de modules.
Le polynˆome minimal πude uannule u, et donc annule le k[X]-module E. Ainsi, la structure
de k[X]-module de Eest ´equivalente `a une structure de k[X]/(πu)-module. Les sous-espaces
u-stables s’identifient aux sous-k[X]/(πu)-modules.
Pour x∈E, l’application αx:P7→ P(u)(x) est k[X]/(πu)-lin´eaire de k[X]/(πu) dans E. Dire
que Eest u-cyclique, c’est dire qu’il existe x∈Etel que αxsoit surjective. Mais dans ce cas-l`a,
αxest un isomorphisme car le noyau du k[X]-morphisme P7→ P(u)(x) de k[X] dans Eest alors
exactement (πu).
2. Il s’agit donc de prouver que Ea un nombre fini de sous-k[X]/(πu)-modules ssi il existe
xtel que αxsoit un isomorphisme.
⇐: Soit xtel que αxsoit un isomorphisme. Via αx, les sous-k[X]/(πu)-modules de Es’identi-
fient aux id´eaux de k[X]/(πu), qui s’identifient eux-mˆemes aux id´eaux de k[X] contenant πu, ie,
comme k[X] est principal, aux id´eaux (P) de k[X] o`u Pdivise πu. Ceux-ci sont en nombre fini.
⇒: Notons F1, ..., Fsles sous-espaces u-stables non triviaux de E. Comme kest infini, d’apr`es le
lemme d’´evitement (cf [12]), il existe x∈E\∪i=1..sFi. Im(αx) est un sous-module de E, distinct
de {0}et des (Fi)i=1..s, donc c’est E. Ainsi, αxest surjective.
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Le¸cons :
– Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un ev de dimension finie ;
– Exemples d’application des id´eaux d’un anneau commutatif unitaire ;
–(Anneaux principaux).