Corrections - XMaths

Exercice 29
1°) Lorsqu'on jette un dé parfaitement équilibré, chaque face a une probabilité d'apparaître égale à 1 .
6
cardA
et pour tout événement A, on a p(A) =
6
a) Si on jette une fois le dé, le gain peut prendre les valeurs -10 ; 0 ; 10 .
La probabilité que le gain soit égal à -10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 1, c'est-à-dire 1 .
6
La probabilité que le gain soit égal à 0 est la probabilité d'obtenir les faces 2 , 3 , 4 ou 5, c'est-à-dire 4 .
6
1
La probabilité que le gain soit égal à 10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 6, c'est-à-dire .
6
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain
-10
1
Probabilité
6
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
0
4=2
6 3
10
1
6
b) Si on jette deux fois ce dé, on peut obtenir à chaque jet un gain de -10 ; 0 ou 10 euros et on peut
représenter la situation par l'arbre de probabilités :
-10
1/6
-10
G = -10 - 10 = -20
4/6
0
G = -10 + 0 = -10
1/6
10
G = -10 + 10 = 0
1/6
-10
G = 0 - 10 = -10
4/6
0
G=0+0=0
1/6
10
-10
G = 0 + 10 = 10
G = 10 - 10 = 0
4/6
0
G = 10 + 0 = 10
10
G = 10 + 10 = 20
1/6
4/6
0
1/6
1/6
10
1/6
D'après cet arbre de probabilités, le gain peut prendre les valeurs -20 ; -10 ; 0 ; 10 ; 20 .
D'après les règles d'utilisation des arbres de probabilités :
La probabilité que le gain soit égal à -20 est : 1 x 1 = 1
6 6 36
1
La probabilité que le gain soit égal à -10 est : x 4 + 4 x 1 = 8 = 2
6 6 6 6 36 9
1
La probabilité que le gain soit égal à 0 est : x 1 + 4 x 4 + 1 x 1 = 18 = 1
6 6 6 6 6 6 36 2
La probabilité que le gain soit égal à 10 est : 4 x 1 + 1 x 4 = 8 = 2
6 6 6 6 36 9
La probabilité que le gain soit égal à 20 est : 1 x 1 = 1
6 6 36
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain
-20
-10
8 =2
1
Probabilité
36 9
36
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
0
18 = 1
36 2
10
8 =2
36 9
L'espérance mathématique du gain est :
E = -20 x 1 - 10 x 8 + 0 x 18 + 10 x 8 + 20 x 1 = -20 - 80 + 0 + 80 + 20 = 0 = 0
36
36
36
36
36
36
36
L'espérance mathématique du gain est nulle.
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TES − Probabilités − Corrections
20
1
36
2°) Si le dé est n'est pas équilibré et si les probabilités d'apparition des numéros 1, 2 , 3, 4 et 5 sont toutes les
cinq égales à 0,12 alors, la somme de toutes les probabilités étant égale à 1, la probabilité de la face 6
sera égale à : 1 - 5 x 0,12 = 1 - 0,6 = 0,4
a) Si on jette une fois le dé, le gain peut prendre les valeurs -10 ; 0 ; 10 .
La probabilité que le gain soit égal à -10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 1, c'est-à-dire 0,12
La probabilité que le gain soit égal à 0 est la probabilité d'obtenir les faces 2 , 3 , 4 ou 5,
c'est-à-dire 4 x 0,12 = 0,48
La probabilité que le gain soit égal à 10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 6, c'est-à-dire 0,40 .
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain
-10
Probabilité
0,12
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
0
0,48
10
0,40
b) Si on jette deux fois le dé, on peut obtenir à chaque jet un gain de -10 ; 0 ou 10 euros et on peut
représenter la situation par l'arbre de probabilités :
-10
0,12
-10
G = -10 - 10 = -20
0,48
0
G = -10 + 0 = -10
10
G = -10 + 10 = 0
0,12
-10
G = 0 - 10 = -10
0,48
0
G=0+0=0
0,12
10
-10
G = 0 + 10 = 10
G = 10 - 10 = 0
0,48
0
G = 10 + 0 = 10
10
G = 10 + 10 = 20
0,4
0,12
0,48
0
0,4
0,4
10
0,4
D'après cet arbre de probabilités, le gain peut prendre les valeurs -20 ; -10 ; 0 ; 10 ; 20 .
D'après les règles d'utilisation des arbres de probabilités :
La probabilité que le gain soit égal à -20 est : 0,12 x 0,12 = 0,0144
La probabilité que le gain soit égal à -10 est : 0,12 x 0,48 + 0,48 x 0,12 = 0,1152
La probabilité que le gain soit égal à 0 est : 0,12 x 0,4 + 0,48 x 0,48 + 0,4 x 0,12 = 0,3264
La probabilité que le gain soit égal à 10 est : 0,48 x 0,4 + 0,4 x 0,48 = 0,384
La probabilité que le gain soit égal à 20 est : 0,4 x 0,4 = 0,16
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain
-20
-10
Probabilité
0,0144
0,1152
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
0
0,3264
10
0,384
L'espérance mathématique du gain est :
E = -20 x 0,0144 - 10 x 0,1152 + 0 x 0,3264 + 10 x 0,384 + 20 x 0,16 = 5,6
L'espérance mathématique du gain est de 5,6 euros.
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20
0,16