Corrections - XMaths

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Exercice 29
1°) Lorsqu'on jette un dé parfaitement équilibré, chaque face a une probabilité d'apparaître égale à 1
6 .
et pour tout événement A, on a p(A) = cardA
6
a) Si on jette une fois le dé, le gain peut prendre les valeurs -10 ; 0 ; 10 .
La probabilité que le gain soit égal à -10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 1, c'est-à-dire 1
6 .
La probabilité que le gain soit égal à 0 est la probabilité d'obtenir les faces 2 , 3 , 4 ou 5, c'est-à-dire 4
6 .
La probabilité que le gain soit égal à 10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 6, c'est-à-dire 1
6 .
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain -10 0 10
Probabilité 1
6 4 6 = 2 3 1 6
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
b) Si on jette deux fois ce dé, on peut obtenir à chaque jet un gain de -10 ; 0 ou 10 euros et on peut
représenter la situation par l'arbre de probabilités :
D'après cet arbre de probabilités, le gain peut prendre les valeurs -20 ; -10 ; 0 ; 10 ; 20 .
D'après les règles d'utilisation des arbres de probabilités :
La probabilité que le gain soit égal à -20 est : 1
6
x 1
6 = 1 36
La probabilité que le gain soit égal à -10 est : 1
6
x 4
6 + 4 6
x 1
6 = 8 36 = 2 9
La probabilité que le gain soit égal à 0 est : 1
6
x 1
6 + 4 6
x 4
6 + 1 6
x 1
6 = 18 36 = 1 2
La probabilité que le gain soit égal à 10 est : 4
6
x 1
6 + 1 6
x 4
6 = 8 36 = 2 9
La probabilité que le gain soit égal à 20 est : 1
6
x 1
6 = 1 36
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain -20 -10 0 10 20
Probabilité 1
36 8 36 = 2 9 18 36 = 1 2 8 36 = 2 9 1 36
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
L'espérance mathématique du gain est :
E = -20 x 1
36 - 10
x 8
36 + 0
x 18
36 + 10
x 8
36 + 20
x 1
36 = -20 - 80 + 0 + 80 + 20 36 = 0 36 = 0
L'espérance mathématique du gain est nulle.
-10
0
10
-10 G = -10 - 10 = -20
0 G = -10 + 0 = -10
10 G = -10 + 10 = 0
-10 G = 0 - 10 = -10
0 G = 0 + 0 = 0
10 G = 0 + 10 = 10
-10 G = 10 - 10 = 0
0 G = 10 + 0 = 10
10 G = 10 + 10 = 20
1/6
4/6
1/6
1/6
4/6
1/6
1/6
4/6
1/6
1/6
4/6
1/6

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2°) Si le dé est n'est pas équilibré et si les probabilités d'apparition des numéros 1, 2 , 3, 4 et 5 sont toutes les
cinq égales à 0,12 alors, la somme de toutes les probabilités étant égale à 1, la probabilité de la face 6
sera égale à : 1 - 5 x 0,12 = 1 - 0,6 = 0,4
a) Si on jette une fois le dé, le gain peut prendre les valeurs -10 ; 0 ; 10 .
La probabilité que le gain soit égal à -10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 1, c'est-à-dire 0,12
La probabilité que le gain soit égal à 0 est la probabilité d'obtenir les faces 2 , 3 , 4 ou 5,
c'est-à-dire 4 x 0,12 = 0,48
La probabilité que le gain soit égal à 10 est la probabilité d'obtenir la face numéro 6, c'est-à-dire 0,40 .
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain -10 0 10
Probabilité 0,12 0,48 0,40
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
b) Si on jette deux fois le dé, on peut obtenir à chaque jet un gain de -10 ; 0 ou 10 euros et on peut
représenter la situation par l'arbre de probabilités :
D'après cet arbre de probabilités, le gain peut prendre les valeurs -20 ; -10 ; 0 ; 10 ; 20 .
D'après les règles d'utilisation des arbres de probabilités :
La probabilité que le gain soit égal à -20 est : 0,12 x 0,12 = 0,0144
La probabilité que le gain soit égal à -10 est : 0,12 x 0,48 + 0,48 x 0,12 = 0,1152
La probabilité que le gain soit égal à 0 est : 0,12 x 0,4 + 0,48 x 0,48 + 0,4 x 0,12 = 0,3264
La probabilité que le gain soit égal à 10 est : 0,48 x 0,4 + 0,4 x 0,48 = 0,384
La probabilité que le gain soit égal à 20 est : 0,4 x 0,4 = 0,16
La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau :
Gain -20 -10 0 10 20
Probabilité 0,0144 0,1152 0,3264 0,384 0,16
(La somme des probabilités est bien égale à 1)
L'espérance mathématique du gain est :
E = -20 x 0,0144 - 10 x 0,1152 + 0 x 0,3264 + 10 x 0,384 + 20 x 0,16 = 5,6
L'espérance mathématique du gain est de 5,6 euros.
-10
0
10
-10 G = -10 - 10 = -20
0 G = -10 + 0 = -10
10 G = -10 + 10 = 0
-10 G = 0 - 10 = -10
0 G = 0 + 0 = 0
10 G = 0 + 10 = 10
-10 G = 10 - 10 = 0
0 G = 10 + 0 = 10
10 G = 10 + 10 = 20
0,12
0,48
0,4
0,12
0,48
0,4
0,12
0,48
0,4
0,12
0,48
0,4