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Probabilités Conditionnelles
1. Définition
Soit Uun ensemble sur lequel est définie une probabilité pet Aet Bdeux événements de U
avec p(B)6= 0. On appelle probabilité conditionnelle de Asachant que Best réalisé ou plus
simplement probabilité de Asachant Ble nombre, noté pB(A)ou p(A/B), défini par :
pB(A) = p(A∩B)
P(B)
2. Exemple
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes avec équiprobabilité.
Aest l’événement : "C’est un coeur" p(A) = 8
32 =1 4
Best l’événement : "C’est une carte rouge" p(B) = 16
32
Cest l’événement : "C’est une dame" p(C) = 4
32
On a : pB(A) = p(A∩B)
P(B)=p(A) p(B)=1 2
Le fait de savoir que la carte tirée est rouge multiplie par 2 la probabilité pour le joueur de
tirer un coeur.
pC(A) = p(A∩C)
P(C)=p("c’est la dame de coeur") p(C)=1 4
La connaissance de l’événement Cne modifie pas pour l’observateur la probabilité de réalisa-
tion de A.
3. Définition
Deux événements Aet Bsont indépendants lorsque : p(A∩B) = p(A)×p(B)
4. Remarque
Lorsque p(A)6= 0 et p(B)6= 0,
p(A∩B) = p(A)×p(B)si et seulement si pA(B) = p(B)(ou pB(A) = p(A))
5. Formule des probabilités totales
Aet Bsont deux événements de Utels que p(B)6= 0, p(B)6= 0
On a alors :
p(A) = p(A∩B) + p(A∩B) = p(B)×pB(A) + p(B)×pB(A)
En général, si Uest la réunion des événements B1, B2, ..., Bn, deux à deux incompatibles on a
alors pour tout événement A:
p(A) = p(A∩B1) + p(A∩B2) + ... +p(A∩Bn)(1)
=p(B1)×pB1(A) + p(B2)×pB2(A) + ... +p(Bn)×pBn(A)(2)
1

6. Indépendance et événements contraires
Si Aet Bsont indépendants alors il en est de même pour les événements :
1) Aet B
2)Aet B
3)Aet B
Démonstration ROC
1) Aet Bindépendants donc : p(A∩B) = p(A)×p(B).
D’après la formule des probabilités totales : p(B) = p(A∩B) + p(A∩B).
D’où : p(A∩B) = p(B)−p(A∩B) = p(B)−p(A)×p(B) = (1 −p(A)) ×p(B) = p(A)×p(B)
donc : Aet Bsont indépendants.
2) et 3) Exercice
7. Exemple La population d’un lycée est formée de 42% de garçons et 58% de filles. Parmi les garçons
15% appartiennent au club informatique et parmi les filles 6%. On choisit un élève au hasard.
1) Quelle est la probabilité pour qu’il appartienne au club informatique ?
2) En sachant qu’un élève appartient au club informatique, quelle est la probabilité qu’il soit un
garçon ?
Solution
On peut utiliser un arbre pondéré.
G
p(G) = 0,42
I
pG(I) = 0,15
I
pG(I) = 0,85
G
p(G) = 0,58
I
pG(I) = 0,06
I
pG(I) = 0,94
1) p(I) = p(G)×pG(I) + p(G)×pG(I) = 0,42 ×0,15 + 0,58 ×0,06 = 0,0978
2) pI(G) = p(G∩I)
p(I)=p(G)×pG(I) p(I)=0,063 0,0978 = 0,6442
8. Utilisation des arbres pondérés
(a) La somme des probabilités sur les branches partant d’un même noeud vaut 1.
(b) La probabilité d’un événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités
sur les branches de ce chemin.
(c) La probabilité d’un événement I est la somme des probabilités des événements associés aux
chemins qui menent à I.
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