Programme de colle Mathématiques - Lycée Langevin

Programme de colle Mathématiques
PTSI 2012/13
Semaine 9: du 3/12/2012 au 8/12/2012
• Fonctions de référence :
Fonctions puissances, exponentielles et logarithmes : propriétés algébriques, dérivées,
variations, limites remarquables, courbes représentatives. Croissance comparée.
Fonctions circulaires : dénition géométrique, paramétrage du cercle trigonométrique.
Valeurs remarquables. Angles associés. Signe, variations ; limites remarquables, dérivées, courbes représentatives. Formules algébriques. Fonctions circulaires réciproques :
dénition, domaines, dérivées, variations et limites, courbes représentatives.
Fonctions hyperboliques : dénition, parité, formules algébriques, dérivées, variations,
limites remarquables, courbes représentatives. Fonctions hyperboliques réciproques :
dénition, domaines, dérivées, variations et limites, courbes représentatives.
Fonctions complexes d'une variable réelle : partie réelle, partie imaginaire, continuité,
dérivabilité ; dérivée de eu , où u est une fonction complexe dérivable.
• Équations diérentielles linéaires :
Équation diérentielle y 0 = f : notion de primitive d'une fonction réelle ou complexe
f sur un intervalle I , non-unicité. Théorème fondamental (admis ) : toute fonction f
continue sur I admet une primitive sur I ; expression d'une primitive de f sous forme
d'une intégrale dépendant de la borne d'en haut.
Primitives de référence. Techniques de calcul de primitives et d'intégrales : linéarité,
intégration par parties, intégration par changement de variable.
Équations diérentielles linéaires : équation homogène associée, équation normalisée.
Principe de superposition et structure de l'ensemble des solutions. Équations à coecients constants : polynôme caractéristique.
Résolution des équations linéaires homogènes normalisées du premier ordre. Méthode de
la variation des constantes. Équations à coecients constants et second membre de la
forme polynôme×exponentielle ; résonance. Problème de Cauchy (linéaire normalisé) ;
existence et unicité de la solution.
Résolution des équations linéaires homogènes du second ordre à coecients constants,
solutions complexes et solutions réelles. Résolution des équations avec second membre
de la forme polynôme×exponentielle (cas complexe) ; résonance (simple ou double) ;
recherche de solutions réelles. Problème de Cauchy. Exemples physiques : oscillateur
harmonique, oscillateur libre amorti, oscillateur soumis à un régime forcé sinusoïdal.
Exemples d'équations fonctionnelles et d'équations diérentielles se ramenant à une
équation diérentielle linéaire.
Tout étudiant ne sachant pas son cours sera automatiquement noté en dessous de 10.
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