Chapitre 5 Fonctions polynômes et rationnelles

Chapitre 5
Fonctions polynˆomes et rationnelles
5.1 Fonctions polynˆomes
5.1.1 D´efinition
D´efinition 5.1
La fonction d´efinie par
f:R−→ R
x7−→ y=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a2x2+a1x+a0
o`u n∈N,ak∈Ret an6= 0, est appel´ee fonction polynˆome de degr´e nou, plus
simplement, polynˆome de degr´e n.
Le nombre aiest appel´e le coefficient de rang ide f(x) et anle coefficient dominant.
Exemples
1) La fonction d´efinie par f(x) = 5x3−4x2−5x+ 3 est une fonction polynˆome de
degr´e 3. Le coefficient dominant est a3= 5.
2) La fonction d´efinie par g(x) = −6x6−4x5−2x2+ 2 est une fonction polynˆome
de degr´e 6. Le coefficient dominant est a6=−6.
3) La fonction d´efinie par h(x) = 4x2−3x+1 est une fonction polynˆome de degr´e 2.
On l’appelle ´egalement fonction quadratique. Le coefficient dominant est a2= 4.
4) La fonction d´efinie par i(x) = −9x+ 3 est une fonction polynˆome de degr´e 1.
On l’appelle ´egalement fonction affine. Le coefficient dominant est a1=−9.
5.1.2 Repr´esentations graphiques
Degr´e nimpair
On donne ci-dessous les repr´esentations graphiques de deux fonctions polynˆomes de degr´e
3 avec un coefficient dominant a3positif, `a gauche, ou n´egatif, `a droite.
La forme g´en´erale, notamment le comportement `a l’infini, de la repr´esentation graphique
d’une fonction polynˆome de degr´e nimpair ressemble `a celles donn´ees en exemple ci-
dessous.
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Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee 5. Fonctions polynˆomes et rationnelles
a3>0
y
y=a3x3+...+a0
a0
x1x2x3
x
a3<0
y
y=a3x3+...+a0
a0
x1x2x3
x
Degr´e npair
On donne ci-dessous les repr´esentations graphiques de deux fonctions polynˆomes de degr´e
4 avec un coefficient dominant a4positif, `a gauche, ou n´egatif, `a droite.
La forme g´en´erale, notamment le comportement `a l’infini, de la repr´esentation graphique
d’une fonction polynˆome de degr´e npair ressemble `a celles donn´ees en exemple ci-dessous.
a4>0
y
y=a4x4+...+a0
a0
x1x2x3x4
x
a4<0
y
y=a4x4+...+a0
a0
x1x2x3x4
x
Quelques caract´eristiques de la repr´esentation graphique
Z´ero(s) de la fonction
La ou les abscisses xi(0 6i6n) du ou des points d’intersection de la courbe repr´esentant
la fonction polynˆome f(x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0et de l’axe Ox sont les
z´eros de f.
Le nombre de z´eros et donc de points de coupe avec l’axe Ox est inf´erieur ou ´egal au
degr´e n. Pour les d´eterminer, on peut utiliser la m´ethode de r´esolution des ´equations
polynomiales ´etudi´ee pr´ec´edemment dans le chapitre (??) (recherche d’un z´ero par essais
successifs puis division `a l’aide du sch´ema de Horner . . . )
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Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee 5. Fonctions polynˆomes et rationnelles
Coefficient a0
Le coefficient a0est ´egal `a l’ordonn´ee du point d’intersection entre la courbe repr´esentant
fet l’axe Oy.
Ce coefficient est ´egalement appel´e l’ordonn´ee `a l’origine.
Coefficient dominant an
Le coefficient and´etermine l’orientation de la courbe repr´esentant f. On doit diff´erencier
ici les cas o`u nest pair de ceux o`u nest impair.
Pour un degr´e nimpair, on observe que
– si an>0 : la courbe repr´esentant fest au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de
xsuffisamment petites et au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de xsuffisamment
grandes.
– si a < 0 : la courbe repr´esentant fest au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de x
suffisamment petites et au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de xsuffisamment
grandes.
Pour un degr´e npair, on observe que
– si an>0 : la courbe repr´esentant fest ouverte vers le haut, c’est-`a-dire que celle-ci se
trouve au-dessus de l’axe Ox pour des valeurs de xsuffisamment grandes ou petites.
– si a < 0 : la courbe repr´esentant fest ouverte vers le bas, c’est-`a-dire que celle-ci se
trouve au-dessous de l’axe Ox pour des valeurs de xsuffisamment grandes ou petites.
Esquisse de la repr´esentation graphique `a partir de l’expression fonctionnelle
On peut suivre la m´ethode de repr´esentation ”g´en´erale” ´etudi´ee au chapitre (2.3.1) pour
dessiner, dans un rep`ere cart´esien, le graphe d’une fonction polynˆome.
Par contre, si on ne desire pas obtenir un dessin ”tr`es” pr´ecis, on peut utiliser les
´el´ements caract´eristiques de la repr´esentation graphique d’une fonction polynˆome d´efinie
par f(x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0(z´eros, coefficient a0et coefficient dominant)
pour l’esquisser, en s’aidant ´eventuellement d’un tableau donnant le signe de l’image de
chaque valeur possible de x.
M´ethode
1. D´eterminer le ou les z´eros de fen r´esolvant l’´equation f(x) = 0 −→ on obtient
les points de la forme (xi; 0) du graphe.
2. Etudier le signe de la fonction dans un tableau de signes (voir le chapitre (??)
portant sur les in´equations).
3. Reporter, dans le rep`ere cart´esien, les points correspondant aux z´eros de fet
le point (0; a0).
4. Relier les points dessin´es dans le plan Oxy de sorte `a respecter les informations
donn´ees par le tableau de signes : si f(x)>0 la courbe est au-dessus de l’axe
Ox et si f(x)<0 la courbe est au-dessous de l’axe Ox.
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Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee 5. Fonctions polynˆomes et rationnelles
Exemple
Soit la fonction polynˆome de degr´e 3donn´ee par f(x) = x3+x2−4x−4.
On d´etermine tout d’abord les trois z´eros de fen r´esolvant l’´equation polynomiale
x3+x2−4x−4 = 0 (voir le chapitre (??) pour la r´esolution compl`ete) :
x1=−2; x2=−1; x3= 2
On construit ensuite le tableau de signes de fen remarquant qu’on peut factoriser
l’expression fonctionnelle de f:f(x) = (x+ 2)(x+ 1)(x−2).
x−2−1 2
x+ 2 −0 + + + + +
x+ 1 − − − 0 + + +
x−2− − − − − 0 +
f(x)−0 + 0 −0 +
Position
courbe / axe en-dessous en-dessus en-dessous en-dessus
On reporte enfin les points (−2; 0),(−1; 0),(2; 0) et (0; −4) dans un rep`ere cart´esien
et on les relie en tenant compte de la position de la courbe par rapport `a l’axe Ox
donn´ee dans le tableau de signes.
y
(−2; 0) (−1; 0)
(2; 0)
(0; −4)
y=f(x)
x
5.2 Fonctions rationnelles
5.2.1 D´efinition
D´efinition 5.2
La fonction d´efinie par
f:R\ {x∈R|q(x) = 0} −→ R
x7−→ y=p(x)
q(x)
o`u p(x) et q(x) sont des polynˆomes, est appel´ee fonction rationnelle.
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Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee 5. Fonctions polynˆomes et rationnelles
Remarques
1. L’ensemble de d´efinition Dfd’une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs
r´eelles de xsauf celles qui annulent le d´enominateur q(x).
2. L’ensemble des z´eros d’une fonction rationnelle est donn´e par l’ensemble des z´eros du
polynˆome p(x) qui ne sont pas des z´eros de q(x) : {x∈R|p(x) = 0 et q(x)6= 0}
Exemples
1) La fonction d´efinie par f(x) = 1
x−2est une fonction rationnelle qui admet
comme ensemble de d´efinition Df=R\{2}. Cette fonction n’admet pas de z´ero
(car 16= 0).
2) La fonction d´efinie par g(x) = x3−8
x2+ 4 est une fonction rationnelle qui admet
comme ensemble de d´efinition Dg=R. L’ensemble des z´eros de cette fonction
est l’ensemble : {3
√8}(solution de x3−8 = 0).
3) La fonction d´efinie par h(x) = x2
x2−4est une fonction rationnelle qui admet
comme ensemble de d´efinition Dh=R\ {−2; 2}. L’ensemble des z´eros de cette
fonction est l’ensemble : {0}(solution de x2= 0).
Son graphe est repr´esent´e ci-contre.
On remarque que, quand xprend des va-
leurs arbitrairement grandes ou petites (on
dit que xtend vers ±∞), la courbe se rap-
proche de de la droite horizontale y= 1.
Cette droite est appel´ee asymptote hori-
zontale (voir ci-dessous).
De mani`ere analogue, les droites x= 2
et x=−2sont appel´ees asymptotes verti-
cales.
y
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
y=h(x)
x
Nous ´etudierons plus largement les repr´esentations graphiques de fonctions rationnelles
quelconques (voir chapitre suivant pour un cas particulier) dans le cours de deuxi`eme
ann´ee lorsque nous aurons `a disposition certains outils d’analyse : limites, d´eriv´ees, . . . De
plus, les notions d’asymptote verticale et horizontale seront introduites de mani`ere pr´ecise
et d´etaill´ee dans ce cours. Pour l’instant, on donne uniquement ci-dessous une premi`ere
id´ee de d´efinition de ces deux notions en utilisant les notations suivantes :
•x→a(ou f(x)→a) : x(respectivement f(x)) tend vers (s’approche
de) a,
•x→+∞(ou f(x)→+∞) : x(respectivement f(x)) prend des valeurs posi-
tives arbitrairement grandes,
•x→ −∞ (ou f(x)→ −∞) : x(respectivement f(x)) prend des valeurs n´ega-
tives arbitrairement petites.
Les symboles +∞(plus infini) et −∞ (moins infini) ne repr´esentent pas des nombres
r´eels ; ils pr´ecisent simplement certains types de comportement des variables et des fonc-
tions.
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