Exercice 1 u est la suite définie sur N par un = n2 . 1. A partir de quel rang a-t-on un ≥ 106 ? √ Pour avoir n2 ≥ 106 , il suffit que n soit supérieur à 106 = 1 000. 2. Démontrer avec la définition que la limite de u est +∞ (On est amené à traiter la même question que précédemment où 106 aurait été remplacé par A) Soit A un réel positif. (sous-entendu : aussi grand qu’on le désire) √ Quels que soient les entiers n supérieurs à A, on aura n2 ≥ A, soit un ≥ A. Appelons n0 le premier entier tel que un0 soit plus grand que A. Dès lors : quel que soit le réel A positif, il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , un ≥ A. C’est la définition de lim un = +∞. n→+∞ Exercice 2 v est la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par vn = en . 5n 1. Expliquer pourquoi v est une suite positive. L’exponentielle est toujours positive ; ainsi, vn est positif comme quotient de nombres positifs. vn+1 2. Exprimer en fonction de n. vn en+1 n+1 vn+1 en+1 5n = 5 n = n+1 × n e vn 5 e 5n (On rappelle que en+1 = en × e1 = en × e et, de même 5n+1 = 5n × 5) vn+1 e = . vn 5 3. En déduire que v est une suite monotone. e < 1 car e < 5. 5 vn+1 < 1. Elle est alors (strictement) On a donc une suite positive vérifiant vn décroissante (. . .et donc monotone . . . ) 4. v est une suite de quel type ? Quelle est sa limite ? vn+1 e e De = , on déduit vn+1 = vn (du type vn+1 = qvn ) et donc que la vn 5 5 e e suite v est la suite géométrique de raison et de premier terme v1 = . 5 5 Cette suite (géométrique) converge vers 0 car sa raison vérifie q < 1. 1 G.Gremillot Exercice 3 u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1 par un = 3− 1 2 et vn = 3+ . n n Démontrer que ces suites sont adjacentes. 1. un+1 − un = (3 − 1 1 1 1 1 ) − (3 − ) = − = > 0. n+1 n n n+1 n(n + 1) Ainsi, la suite u est croissante. 2 2 2 2 −2 2. un+1 − un = (3 + ) − (3 + ) = − = < 0. n+1 n n+1 n n(n + 1) Ainsi, la suite v est décroissante. 1 3 2 3. vn − un = (3 + ) − (3 − ) = . n n n On constate que lim (vn − un ) = 0. n→+∞ 4. On conclut que les deux suites u et v sont adjacentes. 2 G.Gremillot