Exercice 1 u est la suite définie sur N par u n = n2. 1. A partir de quel

Exercice 1
u est la suite définie sur N par un = n2 .
1. A partir de quel rang a-t-on un ≥ 106 ?
√
Pour avoir n2 ≥ 106 , il suffit que n soit supérieur à 106 = 1 000.
2. Démontrer avec la définition que la limite de u est +∞
(On est amené à traiter la même question que précédemment où 106 aurait
été remplacé par A)
Soit A un réel positif. (sous-entendu : aussi grand
qu’on le désire)
√
Quels que soient les entiers n supérieurs à A, on aura n2 ≥ A, soit
un ≥ A.
Appelons n0 le premier entier tel que un0 soit plus grand que A. Dès lors :
quel que soit le réel A positif, il existe un entier n0 tel que, pour tout
n ≥ n0 , un ≥ A.
C’est la définition de lim un = +∞.
n→+∞
Exercice 2
v est la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par vn =
en
.
5n
1. Expliquer pourquoi v est une suite positive.
L’exponentielle est toujours positive ; ainsi, vn est positif comme quotient
de nombres positifs.
vn+1
2. Exprimer
en fonction de n.
vn
en+1
n+1
vn+1
en+1
5n
= 5 n = n+1 × n
e
vn
5
e
5n
(On rappelle que en+1 = en × e1 = en × e et, de même 5n+1 = 5n × 5)
vn+1
e
= .
vn
5
3. En déduire que v est une suite monotone.
e
< 1 car e < 5.
5
vn+1
< 1. Elle est alors (strictement)
On a donc une suite positive vérifiant
vn
décroissante (. . .et donc monotone . . . )
4. v est une suite de quel type ? Quelle est sa limite ?
vn+1
e
e
De
= , on déduit vn+1 = vn (du type vn+1 = qvn ) et donc que la
vn
5
5
e
e
suite v est la suite géométrique de raison et de premier terme v1 = .
5
5
Cette suite (géométrique) converge vers 0 car sa raison vérifie q < 1.
1
G.Gremillot
Exercice 3
u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1 par un = 3−
1
2
et vn = 3+ .
n
n
Démontrer que ces suites sont adjacentes.
1. un+1 − un = (3 −
1
1
1
1
1
) − (3 − ) = −
=
> 0.
n+1
n
n n+1
n(n + 1)
Ainsi, la suite u est croissante.
2
2
2
2
−2
2. un+1 − un = (3 +
) − (3 + ) =
− =
< 0.
n+1
n
n+1 n
n(n + 1)
Ainsi, la suite v est décroissante.
1
3
2
3. vn − un = (3 + ) − (3 − ) = .
n
n
n
On constate que lim (vn − un ) = 0.
n→+∞
4. On conclut que les deux suites u et v sont adjacentes.
2
G.Gremillot