sujet

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017 Mathématiques – ECS 1
DEVOIR MAISON NO10
Travail en autonomie – Vacances de février
1Algèbre linéaire
CHAPITRES DE CETTE PARTIE
— 6. Matrices et systèmes linéaires
— 9. Polynômes
— 11. Espaces vectoriels
— 14. Sommes d’espaces vectoriels
— (2. Suites et sommes)
NIVEAU 1
EXERCICE 1
Soient A=µ−1 2
2−1¶et P=µ1 2 1−2¶.
1. Montrer que Pest inversible et donner P−1.
2. Montrer que D=P−1AP est diagonale.
3. Montrer que, pour tout n∈N,An=PDnP−1.
4. En déduire les coefficients de An.
EXERCICE 2
Montrer que C=
0 2 4
1
20 2
1
31 20
est inversible et déterminer son inverse.
EXERCICE 31. Effectuer la division euclidienne de X5−X4+2X3+X2+4 par X2−1.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xnpar (X−3)(X−2).
EXERCICE 41. Montrer que F={(x,y,z)∈R3|x+y−z=x+y+z=0} est un sous-espace
vectoriel de R3et en déterminer une base.
2. Montrer que G={P∈R[X]|P0(3) =0}. Montrer que Gest un sous-espace vectoriel de
R[X].
EXERCICE 5
Dans R4, soient e1=(0,1,−2,1), e2=(1,0,2,−1), e3=(3,2,2,−1), e4=(0,0,1,0)
et e5=(0,0,0,1). Déterminer une base de F=Vect(e1,e2,e3) et une base de G=Vect(e4,e5).
A-t-on F⊕G=R4?
NIVEAU 2
EXERCICE 6
Soit A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
.
1. Montrer que (A+I3)(A−2I3)=03. En déduire que Aest inversible et donner A−1.
2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, il existe deux réels anet bntels que
An=anA+bnI3
On précisera les relations de récurrences définissant les suites (an) et (bn).
3. Montrer que (an) vérifie une relation de récurrence d’ordre 2. En déduire son terme
général.
4. Déterminer An.
EXERCICE 7
On considère la matrice A=
0 1 0
0 0 1
2 1 −2
et pour λ∈R,Eλ=n(x,y,z)∈R3|A
x
y
z
=λ
x
y
z
o
1. Déterminer si Aest inversible.
2. Montrer que Eλest un sous-espace vectoriel de R3(méthode 1).
3. On souhaite préciser Eλen donnant, si possible une base de celui-ci.
(a) D’après la question 1, que peut-on dire de E0?
(b) Montrer que si λ6∈{1,−1,−2}, alors Eλ={(0,0,0)}.
(c) On suppose maintenant λ=1. Déterminer une base de E1.
(d) On suppose maintenant λ=−1. Déterminer une base de E−1.
(e) On suppose maintenant λ=−2. Déterminer une base de E−2.
4. Montrer que E1⊕E−1⊕E−2=R3.On pourra utiliser la caractérisation des sommes di-
rectes avec la notion de base.
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NIVEAU 3
EXERCICE 8
Soient f1:x7→cos(x) et f2:x7→sin(x). Montrer que la famille (f1,f2) est libre dans C0(R,R)).
EXERCICE 9
Soit F={P∈R[X]|6P(X)−(X2+1)P00(X)=0}.
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de R[X].
2. On souhaite montrer que Fadmet une base. Pour cela on va résoudre l’équation
(E):6P(X)−(X2+1)P00(X)=0 par analyse-synthèse.
(a) Analyse : Soit P∈R[X] une solution de (E). Montrer que d=deg(P)63.
On pensera à séparer les cas d 61et d >2. On rappelle si d >2,deg(P00)=d−2.
(b) Synthèse : Déterminer quels polynômes P∈R3[X] sont vraiment solutions de (E).
(c) En déduire une base de F.
EXERCICE 10 – EXERCICE THÉORIQUE
Soient Eun espace vectoriel et F,G,Hdes sous-espaces vectoriels de E. On définit les pro-
priétés suivantes :
(P1) : F∩G={0E} et (F+G)∩H={0E}
(P2) : G∩H={0E} et F∩(G+H)={0E}
(P3) : F,Get Hsont en somme directe
1. Montrer que si F,G,Hvérifient (P1), alors ils vérifient (P2).
2. Montrer que (P1)⇔(P3).
2Analyse
CHAPITRES DE CETTE PARTIE
— 1. Études de fonctions
— 2. Suites et sommes
— 3. Complexes et trigonométrie
— 9. Polynômes
— 4. Ensembles et applications
— 7. Continuité
— 10. Dérivabilité
— 13. Intégration sur un segment
NIVEAU 1
EXERCICE 11 – COMPLEXES
1. Déterminer les racines carrées de 7+24i.
2. Résoudre dans C:z2−(1+2i)z+i−1=0; z2−p3z−i=0.
EXERCICE 12 – SUITES
1. Étudier la convergence des suites de terme général : un=pn+1−pn;vn=nsin(n)
n2+1;
wn=3n+2n
5n−1.
2. Déterminer le terme général de (un) définie par u0=2 et ∀n∈N,un+1=3un+1.
3. Déterminer le terme général de (un) définie par u0=2, u1=1 et ∀n∈N,un+2=
2un+1+3un.
EXERCICE 13 – DÉRIVATION
Démontrer que, pour tout x∈]−1,1[, Arctanµ2x
1−x2¶=2Arctan(x).
On pourra montrer, grâce à la dérivation, qu’une certaine fonction bien choisie est constante.
EXERCICE 14
Soit f:x7→x3cosµ1
x¶.
1. Montrer que fpeut-être prolongée par continuité en 0. On notera toujours fle pro-
longement obtenu.
2. Étudier la continuité, la dérivabilité, la classe C1de fsur R.
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EXERCICE 15
Soit n∈N,n>2.
1. Étudier la fonction f:R+→R, donnée par f(x)=1+xn
(1+x)n.
2. Montrer que ∀x>0, (1+x)n62n−1(1 +xn).
EXERCICE 16 – INTÉGRATION
1. Effectuer la division euclidienne de 2X4−3X3+3X2+X+2 par X2+1.
2. En déduire une primitive de x7→ 2x4−3x3+3x2+x+2
x2+1sur R.
NIVEAU 2
EXERCICE 17 – SUITES - DÉRIVATION
Soit f:x7→p2x+3.
1. (a) Justifer que fest dérivable sur R+.
(b) Montrer que l’équation f(x)=xadmet une unique solution dans R∗
+que l’on
calculera. On notera cette solution α.
(c) Justifier que, pour tout x∈I=[0,3], f(x)∈[0,3].
(d) Justifier que, pour tout x∈I,|f0(x)|61
p3.
(e) Démontrer que, pour tout x∈I,
|f(x)−α|61
p3|x−α|
2. On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par u0=1 et ∀n∈N,un+1=p2un+3.
(a) Démontrer que, pour tout n∈N,unexiste et un∈[0,3].
(b) Montrer que (un) est croissante.
(c) En déduire que (un) converge et déterminer sa limite.
(d) Démontrer que ∀n∈N,|un−α|62µ1
p3¶n
.
(e) En déduire un rang nà partir duquel |un−α|610−3.
EXERCICE 18
Soit In=Z1
0
xn
1+xdx, pour n∈N.
1. En encadrant In, déterminer la limite de la suite (In).
2. Calculer In+1+In. En déduire l’expression de Inà l’aide d’une somme.
3. Déterminer lim
n→+∞
n
X
k=1
(−1)k+1
k.
NIVEAU 3
EXERCICE 19
Soit n∈N.
1. Montrer que l’équation xnln(x)=1 admet une unique solution, qui sera notée xn, et
que xn>1.
2. Montrer que (xn) est décroissante de converge vers 1.
EXERCICE 20 – ÉTUDE D’UNE FONCTION DÉFINIE PAR UNE INTÉGRALE
On considère la fonction fdéfinie sur R∗par
f(x)=Z2x
x
dt
pt4+t2.
1. Montrer que fest bien définie (ie que f(x) existe pour tout x∈R∗).
2. Montrer que fest impaire (indication : c’est une question classique, utiliser le change-
ment de variable u =−t).
3. Montrer que, pour tout x∈R∗
+, 0 6f(x)61
2x. En déduire lim
x→+∞ f(x).
4. Justifier que fest de classe C1sur R∗
+et déterminer sa dérivée. En déduire ses varia-
tions sur R∗
+.
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3Probablités
CHAPITRES DE CETTE PARTIE
— 5. Ensembles finis et dénombre-
ments
— 8. Espaces probabilisés finis
— 12. Variables aléatoires sur un uni-
vers fini
— (2. Suites et sommes)
EXERCICE 21
Soit n>1 un entier. On répartit au hasard nboules dans 3 sacs notés S1,S2,S3, indépen-
damment les unes des autres. On note, pour tout ide {1,2,3}, Nile nombre de boules dans
le sac Si. Déterminer les lois, les espérances et les variances de N1,N2,N3.
EXERCICE 22
Soit N∈N∗. On considère un groupe de N+1 personnes jouant au ballon. Chacune porte un
maillot numéroté 1, 2, .. ., N+1. Le jeu se déroule comme suit :
— Au départ, c’est le joueur no1 qui a le ballon.
— chaque joueur, lorsqu’il a le ballon, l’envoie au hasard à l’un des Nautres joueurs.
Pour n∈N∗, on désigne par Xnla variable aléatoire réelle égale au numéro du joueur qui a
le ballon à l’issue du n-ième lancer.
1. Déterminer la loi de X1et son espérance.
2. Déterminer la loi de X2et son espérance.
3. On souhaite calculer, pour k∈J1,N+1K, la probabilité pn=P(Xn=k).
Déterminer une relation de récurrence pour la suite (pn). En déduire la valeur de
P(Xn=k).
EXERCICE 23
Reformulation. Une urne est composée de nboules numérotées de 1 à n. On effectue des
tirages sans remise dans cette urne. On note (b1,b2,...,bn) la liste des numéros obtenus. Soit
Xla variable aléatoire égale au premier rang ktel que bk>bk−1, si celui-ci existe, ou alors
n+1 sinon.
1. Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de X.
2. Déterminer la fonction de répartition de X, et en déduire sa loi.
EXERCICE 24
Reformulation. Un mobile évolue de façon aléatoire le long d’un axe gradué. À t=0, il est en
0. À chaque instant entier t=k(k≥0), son abscisse varie de +1 avec la probabilité pet de
−1 avec la probabilité q=1−p. On note Xnson abscisse au temps t=n.
1. Montrer que les valeurs prises par Xnsont les entiers relatifs de la forme 2k−n, pour
0≤k≤n.
2. On pose Yn=Xn+n
2. Reconnaître la loi de Yn. Donner sans calcul E(Yn) et V(Yn).
3. En déduire E(Xn), puis V(Xn).
4. Donner P(Xn=2k−n), pour 0 ≤k≤n.
5. Pour quelle valeur de pla variable aléatoire Xnest-elle centrée?
EXERCICE 25
Un perchiste participe à une compétition. La barre est successivement mise à des hauteurs
numérotées 1,2, ..., Net on fait les hypothèses :
— Pour tout n∈N∗, la probabilité que la sauteur passe la hauteur nest 1
n.
— Les différents sauts sont indépendants
— Le perchiste s’arrête dès qu’il manque un saut.
Soit Xla variablé aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi (elle vaut donc 0 s’il ne
réussit aucun saut).
1. Déterminer la loi de X.
2. Calculer l’espérance de X.
4Informatique
EXERCICE 26 – SOMMES DE RIEMANN
1. Soit fune fonction continue sur [0,1]. Rappeler l’expression de la somme de Riemann
de rang nassociée à f.
2. Écrire une fonction qui, étant donnée une fonction fdéfinie sur [0,1],
renvoie la valeur la somme de Riemann de rang nassociée à f.
3. Comment obtenir une valeur approchée de Z1
0f(t)dt?
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