sujet

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017
Mathématiques – ECS 1
D EVOIR MAISON N O 10
Travail en autonomie – Vacances de février
1
N IVEAU 2
Algèbre linéaire
E XERCICE
6
0 1
Soit A = 1 0
1 1
C HAPITRES DE CETTE PARTIE
— 6. Matrices et systèmes linéaires
— 14. Sommes d’espaces vectoriels
— 9. Polynômes
— (2. Suites et sommes)
1. Montrer que (A + I 3 )(A − 2I 3 ) = 03 . En déduire que A est inversible et donner A −1 .
— 11. Espaces vectoriels
2. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, il existe deux réels a n et b n tels que
N IVEAU 1
E XERCICE 1µ
−1
Soient A =
2
¶
µ
2
1
et P =
−1
1

1
1.
0
A n = an A + bn I 3
¶
2
.
−2
On précisera les relations de récurrences définissant les suites (a n ) et (b n ).
1. Montrer que P est inversible et donner P −1 .
3. Montrer que (a n ) vérifie une relation de récurrence d’ordre 2. En déduire son terme
2. Montrer que D = P −1 AP est diagonale.
n
général.
n
3. Montrer que, pour tout n ∈ N, A = P D P
−1
.
4. Déterminer A n .
n
4. En déduire les coefficients de A .
E XERCICE 7

0
On considère la matrice A = 0
2
E XERCICE 2

Montrer que C
E XERCICE 3
0
=  21
1
3
2
0
1
2

4
2 est inversible et déterminer son inverse.
0
 
 

x
x o
0
n
1  et pour λ ∈ R, E λ = (x, y, z) ∈ R3 | A  y  = λ  y 
z
z
−2
1. Déterminer si A est inversible.
1. Effectuer la division euclidienne de X 5 − X 4 + 2X 3 + X 2 + 4 par X 2 − 1.
2. Montrer que E λ est un sous-espace vectoriel de R3 (méthode 1).
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par (X − 3)(X − 2).
E XERCICE 4
1
0
1
3. On souhaite préciser E λ en donnant, si possible une base de celui-ci.
(a) D’après la question 1, que peut-on dire de E 0 ?
1. Montrer que F = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y −z = x + y +z = 0} est un sous-espace
3
vectoriel de R et en déterminer une base.
(b) Montrer que si λ 6∈ {1, −1, −2}, alors E λ = {(0, 0, 0)}.
2. Montrer que G = {P ∈ R[X ] | P (3) = 0}. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de
0
(c) On suppose maintenant λ = 1. Déterminer une base de E 1 .
R[X ].
(d) On suppose maintenant λ = −1. Déterminer une base de E −1 .
(e) On suppose maintenant λ = −2. Déterminer une base de E −2 .
E XERCICE 5
Dans R4 , soient e 1 = (0, 1, −2, 1), e 2 = (1, 0, 2, −1), e 3 = (3, 2, 2, −1), e 4 = (0, 0, 1, 0)
4. Montrer que E 1 ⊕ E −1 ⊕ E −2 = R3 . On pourra utiliser la caractérisation des sommes di-
et e 5 = (0, 0, 0, 1). Déterminer une base de F = Vect(e 1 , e 2 , e 3 ) et une base de G = Vect(e 4 , e 5 ).
rectes avec la notion de base.
A-t-on F ⊕G = R4 ?
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Mathématiques – ECS 1
N IVEAU 3
2
Analyse
E XERCICE 8
C HAPITRES DE CETTE PARTIE
Soient f 1 : x 7→ cos(x) et f 2 : x 7→ sin(x). Montrer que la famille ( f 1 , f 2 ) est libre dans C 0 (R, R)).
E XERCICE 9
Soit F = {P ∈ R[X ] | 6P (X ) − (X 2 + 1)P 00 (X ) = 0}.
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X ].
— 1. Études de fonctions
— 4. Ensembles et applications
— 2. Suites et sommes
— 7. Continuité
— 3. Complexes et trigonométrie
— 10. Dérivabilité
— 9. Polynômes
— 13. Intégration sur un segment
2. On souhaite montrer que F admet une base. Pour cela on va résoudre l’équation
N IVEAU 1
(E ) : 6P (X ) − (X 2 + 1)P 00 (X ) = 0 par analyse-synthèse.
(a) Analyse : Soit P ∈ R[X ] une solution de (E ). Montrer que d = deg(P ) 6 3.
E XERCICE 11 – C OMPLEXES
On pensera à séparer les cas d 6 1 et d > 2. On rappelle si d > 2, deg(P 00 ) = d − 2.
1. Déterminer les racines carrées de 7 + 24i .
(b) Synthèse : Déterminer quels polynômes P ∈ R3 [X ] sont vraiment solutions de (E ).
2. Résoudre dans C : z 2 − (1 + 2i )z + i − 1 = 0 ;
(c) En déduire une base de F .
p
z 2 − 3z − i = 0.
E XERCICE 12 – S UITES
E XERCICE 10 – E XERCICE THÉORIQUE
Soient E un espace vectoriel et F,G, H des sous-espaces vectoriels de E . On définit les pro-
1. Étudier la convergence des suites de terme général : u n =
priétés suivantes :
p
p
n sin(n)
;
n + 1 − n ; vn = 2
n +1
(P 2 ) : G ∩ H = {0E } et F ∩ (G + H ) = {0E }
3n + 2n
.
5n − 1
2. Déterminer le terme général de (u n ) définie par u 0 = 2 et ∀n ∈ N, u n+1 = 3u n + 1.
(P 3 ) : F, G et H sont en somme directe
3. Déterminer le terme général de (u n ) définie par u 0 = 2, u 1 = 1 et ∀n ∈ N, u n+2 =
wn =
(P 1 ) : F ∩G = {0E } et (F +G) ∩ H = {0E }
2u n+1 + 3u n .
1. Montrer que si F,G, H vérifient (P 1 ), alors ils vérifient (P 2 ).
E XERCICE 13 – D ÉRIVATION
2. Montrer que (P 1 ) ⇔ (P 3 ).
¶
2x
= 2 Arctan(x).
1 − x2
On pourra montrer, grâce à la dérivation, qu’une certaine fonction bien choisie est constante.
µ
Démontrer que, pour tout x ∈] − 1, 1[, Arctan
E XERCICE 14
µ ¶
1
Soit f : x 7→ x cos
.
x
3
1. Montrer que f peut-être prolongée par continuité en 0. On notera toujours f le prolongement obtenu.
2. Étudier la continuité, la dérivabilité, la classe C 1 de f sur R.
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Mathématiques – ECS 1
E XERCICE 15
E XERCICEZ 18
xn
dx, pour n ∈ N.
0 1+x
1. En encadrant I n , déterminer la limite de la suite (I n ).
1
Soit n ∈ N, n > 2.
Soit I n =
1. Étudier la fonction f : R+ → R, donnée par f (x) =
1 + xn
.
(1 + x)n
2. Calculer I n+1 + I n . En déduire l’expression de I n à l’aide d’une somme.
2. Montrer que ∀x > 0, (1 + x)n 6 2n−1 (1 + x n ).
n (−1)k+1
X
.
n→+∞
k
k=1
3. Déterminer lim
E XERCICE 16 – I NTÉGRATION
1. Effectuer la division euclidienne de 2X 4 − 3X 3 + 3X 2 + X + 2 par X 2 + 1.
2. En déduire une primitive de x 7→
2x 4 − 3x 3 + 3x 2 + x + 2
sur R.
x2 + 1
N IVEAU 3
E XERCICE 19
Soit n ∈ N.
N IVEAU 2
1. Montrer que l’équation x n ln(x) = 1 admet une unique solution, qui sera notée x n , et
E XERCICE 17 – S UITES - D ÉRIVATION
p
Soit f : x 7→ 2x + 3.
1.
que x n > 1.
2. Montrer que (x n ) est décroissante de converge vers 1.
(a) Justifer que f est dérivable sur R+ .
E XERCICE 20 – É TUDE D ’ UNE FONCTION DÉFINIE PAR UNE INTÉGRALE
(b) Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution dans R∗+ que l’on
On considère la fonction f définie sur R∗ par
calculera. On notera cette solution α.
2x
Z
f (x) =
(c) Justifier que, pour tout x ∈ I = [0, 3], f (x) ∈ [0, 3].
1
(d) Justifier que, pour tout x ∈ I , | f 0 (x)| 6 p .
3
(e) Démontrer que, pour tout x ∈ I ,
dt
t4 + t2
.
1. Montrer que f est bien définie (ie que f (x) existe pour tout x ∈ R∗ ).
2. Montrer que f est impaire (indication : c’est une question classique, utiliser le changement de variable u = −t ).
1
| f (x) − α| 6 p |x − α|
3
2. On considère la suite (u n )n∈N définie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1 =
x
p
1
. En déduire lim f (x).
x→+∞
2x
1
∗
4. Justifier que f est de classe C sur R+ et déterminer sa dérivée. En déduire ses varia3. Montrer que, pour tout x ∈ R∗+ , 0 6 f (x) 6
p
2u n + 3.
tions sur R∗+ .
(a) Démontrer que, pour tout n ∈ N, u n existe et u n ∈ [0, 3].
(b) Montrer que (u n ) est croissante.
(c) En déduire que (u n ) converge et déterminer sa limite.
µ
¶
1 n
(d) Démontrer que ∀n ∈ N, |u n − α| 6 2 p
.
3
(e) En déduire un rang n à partir duquel |u n − α| 6 10−3 .
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Mathématiques – ECS 1
E XERCICE 24
Probablités
Reformulation. Un mobile évolue de façon aléatoire le long d’un axe gradué. À t = 0, il est en
0. À chaque instant entier t = k (k ≥ 0), son abscisse varie de +1 avec la probabilité p et de
C HAPITRES DE CETTE PARTIE
— 5. Ensembles finis et dénombrements
— 8. Espaces probabilisés finis
−1 avec la probabilité q = 1 − p. On note X n son abscisse au temps t = n.
— 12. Variables aléatoires sur un uni-
1. Montrer que les valeurs prises par X n sont les entiers relatifs de la forme 2k − n, pour
vers fini
0 ≤ k ≤ n.
— (2. Suites et sommes)
2. On pose Yn =
E XERCICE 21
X n +n
2 . Reconnaître la loi de Yn . Donner sans calcul E (Yn ) et V (Yn ).
Soit n > 1 un entier. On répartit au hasard n boules dans 3 sacs notés S 1 , S 2 , S 3 , indépen-
3. En déduire E (X n ), puis V (X n ).
damment les unes des autres. On note, pour tout i de {1, 2, 3}, Ni le nombre de boules dans
4. Donner P (X n = 2k − n), pour 0 ≤ k ≤ n.
le sac S i . Déterminer les lois, les espérances et les variances de N1 , N2 , N3 .
5. Pour quelle valeur de p la variable aléatoire X n est-elle centrée ?
E XERCICE 22
E XERCICE 25
Soit N ∈ N∗ . On considère un groupe de N +1 personnes jouant au ballon. Chacune porte un
Un perchiste participe à une compétition. La barre est successivement mise à des hauteurs
maillot numéroté 1, 2, . . ., N + 1. Le jeu se déroule comme suit :
numérotées 1,2, . . . , N et on fait les hypothèses :
— Au départ, c’est le joueur no 1 qui a le ballon.
— Pour tout n ∈ N∗ , la probabilité que la sauteur passe la hauteur n est n1 .
— chaque joueur, lorsqu’il a le ballon, l’envoie au hasard à l’un des N autres joueurs.
— Les différents sauts sont indépendants
Pour n ∈ N∗ , on désigne par X n la variable aléatoire réelle égale au numéro du joueur qui a
— Le perchiste s’arrête dès qu’il manque un saut.
le ballon à l’issue du n-ième lancer.
Soit X la variablé aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi (elle vaut donc 0 s’il ne
réussit aucun saut).
1. Déterminer la loi de X 1 et son espérance.
1. Déterminer la loi de X .
2. Déterminer la loi de X 2 et son espérance.
2. Calculer l’espérance de X .
3. On souhaite calculer, pour k ∈ J1, N + 1K, la probabilité p n = P (X n = k).
Déterminer une relation de récurrence pour la suite (p n ). En déduire la valeur de
4
P (X n = k).
Informatique
E XERCICE 23
E XERCICE 26 – S OMMES DE R IEMANN
Reformulation. Une urne est composée de n boules numérotées de 1 à n. On effectue des
tirages sans remise dans cette urne. On note (b 1 , b 2 , ..., b n ) la liste des numéros obtenus. Soit
1. Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Rappeler l’expression de la somme de Riemann
X la variable aléatoire égale au premier rang k tel que b k > b k−1 , si celui-ci existe, ou alors
de rang n associée à f .
n + 1 sinon.
2. Écrire une fonction Riemann(f,n) qui, étant donnée une fonction f définie sur [0, 1],
renvoie la valeur la somme de Riemann de rang n associée à f .
Z 1
3. Comment obtenir une valeur approchée de
f (t ) dt ?
1. Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de X .
2. Déterminer la fonction de répartition de X , et en déduire sa loi.
0
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