Nombres premiers et congruence

Sp´e-TS, 30 septembre 2010 feuille 2
Nombres premiers et congruence
Nombres premiers
1Montrer que si pet p+ 2 sont deux nombres premiers plus grands que 3, alors p+ 1 est
divisible par 6. On pourra raisonner en introduisant le reste de la division euclidienne de ppar
6.
2Soit pun nombre premier. On pose n= 2 ×3× · · · × p.
1. Montrer que les nombres
n+ 2,n + 3, . . . ,n +p;
sont compos´es.
2. En d´eduire un exemple de 2008 nombres cons´ecutifs non premiers.
3
1. Montrer que la somme de 5 entiers naturels impairs cons´ecutifs n’est jamais un nombre
premier.
2. Plus g´en´eralement, la somme de n entiers naturels impairs cons´ecutifs peut-elle ˆetre un
nombre premier ?
4Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N= 2p−1, avec p∈N.
1. Pour a6= 1 et nentier naturel sup´erieur `a 2, simplifier la somme
1 + a+a2+· · · +an
2. Montrer que si an−1 est un nombre premier, alors a= 2.
3. Montrer que si nest compos´e, alors 2n−1 est compos´e.
4. montrer que si pest premier, alors 2p−1 est premier pour certaines valeurs de p, et compos´e
pour d’autres valeurs.
5
1. D´eterminer le nombre de diviseurs dans Nde l’entier A= 2a5b, o`u aet bsont des entiers
naturels non nuls.
2. Calculer la somme de ces diviseurs.
6
1. Montrer que si 2 divise a2alors 2 divise a.
2. Qu’en est-il avec un autre nombre premier ?
Congruences
7
1. Quel est le reste de la division de 8237 par 9 ?
2. Quel est le reste de la division de 7890 par 15 ?
3. Quel est le reste de la division de 151745 par 11 ?

8R´esoudre 3x≡7 (8).
9D´emontrer `a l’aide des congruences que pour tout n, 7 divise 23n−1.
10 D´eterminer suivant les valeurs de nle reste de la division euclidienne par 5 de 2net 3n.
En d´eduire pour quelle valeur de nle nombre A= 1188n+ 2257nest divisible par 5.
11 Soit x∈Z.
1. D´eterminer les restes de la division euclidienne de x3par 9 selon les valeurs de x.
2. En d´eduire que pour tout x∈Z:
•x3≡0(9) ⇐⇒ x≡0(3)
•x3≡1(9) ⇐⇒ x≡1(3)
•x3≡8(9) ⇐⇒ x≡2(3)
3. Soient x,y,z des entiers relatifs tels que x3+y3+z3est divisible par 9. D´emontrer que l’un
des nombres x,y,z est divisible par 3.
12 Soit p > 5 un nombre premier.
1. Quels sont les restes possibles de la division de ppar 10 ?
2. En d´eduire que 10 divise p4−1.
13
1. D´eterminer selon les valeurs de xle reste de la division de x2par 5.
2. En d´eduire que l’´equation x2−5y2= 3 n’a pas de solution dans Z2.
14
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne par 8 d’un carr´e ? (Faire pour cela
un tableau de congruences)
2. Montrer que si Nest de la forme 8k+ 7, Nn’est pas la somme de 3 carr´es.
15 Convertir 1543 en base 6
16 Trouver btel que 212b= 10710.
17 D´eterminer xet ypour que l’entier x43ysoit divisible par 5 et 9.
18 R´esoudre l’´equation 142b=b29.
19
1. a) D´eterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul nle reste dans la division
euclidienne par 9 de 7n.
b) D´emontrer alors que (2 005)2 005 ≡7 (9).
2. a) D´emontrer que pour tout entier naturel non nul
n: (10)n≡1 (9).
b) On d´esigne par Nun entier naturel ´ecrit en base dix, on appelle Sla somme de ses
chiffres.
D´emontrer la relation suivante : N≡S(9).
c) En d´eduire que Nest divisible par 9 si et seulement si Sest divisible par 9.
3. On suppose que A= (2 005)2 005 ; on d´esigne par :

–Bla somme des chiffres de A;
–Cla somme des chiffres de B;
–Dla somme des chiffres de C.
a) D´emontrer la relation suivante : A≡D(9).
b) Sachant que 2 005 <10 000, d´emontrer que As’´ecrit en num´eration d´ecimale avec au plus
8 020 chiffres. En d´eduire que B672 180.
c) D´emontrer que C645.
d) En ´etudiant la liste des entiers inf´erieurs `a 45, d´eterminer un majorant de Dplus petit
que 15.
e) D´emontrer que D= 7.
20 ´ Etant donn´e un entier naturel n>2, on se propose d’´etudier l’existence de trois entiers
naturels x, y et ztels que x2+y2+z2≡2n−1 modulo 2n.
Partie A : ´ Etude de deux cas particuliers
1. Dans cette question on suppose n= 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont `a la condition
pr´ec´edente.
2. Dans cette question, on suppose n= 3.
a) Soit mun entier naturel. Reproduire et compl´eter le tableau ci-dessous donnant le reste
rde la division euclidienne de mpar 8 et le reste Rde la division euclidienne de m2par
8.
r0 1 2 3 4 5 6 7
R
b) Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et ztels que
x2+y2+z2≡7 modulo 8 ?
Partie B : ´ Etude du cas g´en´eral o`u n>3
Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et ztels que
x2+y2+z2≡2n−1 modulo 2n.
1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et zsont tous impairs ou que deux d’entre
eux sont pairs.
2. On suppose que xet ysont pairs et que zest impair. On pose alors x= 2q,
y= 2r, z = 2s+ 1 o`u q, r, s sont des entiers naturels.
a) Montrer que x2+y2+z2≡1 modulo 4.
b) En d´eduire une contradiction.
3. On suppose que x, y, z sont impairs.
a) Prouver que, pour tout entier naturel knon nul, k2+kest divisible par 2.
b) En d´eduire que x2+y2+z2≡3 modulo 8.
c) Conclure.