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DUT Informatique
semestre 4
arithm´etique/cryptographie
Nombres et facteurs premiers
Math´ematiques
TD n◦2
Exercice 1
1. Donner la d´ecomposition en facteurs premiers des nombres suivants : 420,39732,15543.
2. Calculer Φ(420),Φ(39732),Φ(15543).
3. V´erifier que si nest le num´ero de votre jour de naissance alors P(n) = 2n2−20n+79
est un nombre premier.
4. Est-ce que P(n) est premier pour tout n∈N?
Exercice 2
1. Soit nle produit de 3 nombres cons´ecutifs, montrer que nest divisible par 6.
2. Soit nle produit de 3 nombres pairs cons´ecutifs, montrer que nest divisible par
48.
3. Montrer que si p≥5 est premier alors p2−1 est divisible par 24.
4. n(n+ 1)(2n+ 1)/6 est il entier pour tout n∈N?
Exercice 3
Dans un num´ero de transmission de pens´ees un magicien fait l’exp´erience suivante :
•il choisit au hasard un volontaire dans la salle,
•lui demande de penser `a un nombre `a 3 chiffres (abc)10,
•en r´ep´etant 2 fois le nombre (abc)10 former un nombre `a 6 chiffres n= (abcabc)10,
le magicien affirme alors que grace `a son “don” il a vu que le nombre nest divisible par
7,11 et 13 !
1. Comment a-t-il fait sachant qu’il n’a aucun don ?
Indication : On pourra chercher un nombre pqui divise tous les nombres de la
forme (abcabc)10
2. Si je choisis un nombre de 4 chiffres (abcd)10, et que je forme un nombre de 8
chiffres (abcdabcd)10, saurez-vous deviner par quels nombres il est divisible ?
Exercice 4
Soit pun nombre premier impair
1. (a) Dans quel cas peut on trouver k∈Ztel que
p= 4k ou 4k+ 1 ou 4k+ 2 ou 4k+ 3
(b) Quand pest premier quel(s) nombre(s) parmi p+1
4,p−1 4est(sont) entier(s) ?
2. (a) si p≥5 premier Dans quel cas peut on trouver k∈Ztel que
p= 6k ou 6k+ 1 ou 6k+ 2 ou 6k+ 3 ou 6k+ 4 ou 6k+ 5
(b) Suivant le cas quel(s) nombre(s) parmi p+1
3,p−1 3,p+2 3,p−2 3est(sont) entier(s) ?
3. (a) chercher a, b ∈Ntel que p=a2+b2pour p= 7,13,19,29.
(b) Montrer que pour tout x∈Zil existe k∈Ztel que x2= 4k ou 4k+ 1.
(c) En d´eduire que si pest premier peut s’´ecrire p=a2+b2avec a, b ∈Zalors
forc´ement pest de la forme 4k+ 1 avec k∈Z.
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arithm´etique/cryptographie
Nombres et facteurs premiers
Math´ematiques
TD n◦2
Exercice 5
[ extrait du DS de mars 2007 : Palindromes premiers (9 points)]
Un nombre est un palindrome (en base p) si en inversant l’ordre de ces chiffres (dans son
´ecriture en base p) on ne change pas sa valeur. Par exemple (en base 10) les nombres 11,
23432, ou 100000001 sont des palindromes.
1. soit xun palindrome (en base 10) `a 3 chiffres :
x= (aba)10 avec a, b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}et a6= 0
(a) Montrer que pour que x=a×101+b×10 soit premier il faut que asoit premier
avec 2, 5 et b.
(b) En d´eduire qu’il y a au plus 33 palindromes premiers `a 3 chiffres.
Indication : Pour chaque valeur de bde 0`a 9donner les valeurs de apour
lesquelles xpeut ˆetre ´eventuellement premier.
(c) Trouver les 3 plus petits palindromes premiers `a 3 chiffres.
2. soit xun palindrome (en base 10) `a 4 chiffres :
x= (abba)10 avec a, b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}et a6= 0
(a) Exprimer xen fonction de 1001 et 110.
(b) Calculer PGCD(1001,110).
(c) Combien y a-t-il de palindromes premiers `a 4 chiffres ?
3. soit xun palindrome (en base 10) `a 5 chiffres :
x= (abcba)10 avec a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}et a6= 0
(a) Calculer les PGCD(10001,1010), PGCD(10001,100) et PGCD(1010,100).
(b) En d´eduire pour quelles valeurs de ale palindrome xne peut pas ˆetre premier.
Exercice 6
Irrationnalit´e des racines carr´ees
le but de cet exercice est de montrer que √2 est un nombre irrationnel (c’est `a dire qu’il
ne peut pas ˆetre une fraction √2/∈Q). Pour cela nous allons faire une d´emonstration par
l’absurde. On suppose que √2 = a/b ∈Qet si les entiers aet bont des facteurs commun
on les simplifie jusqu’`a obtenir une fraction irr´eductible pour √2 :
√2 = p/q ⇐⇒ 2q2=p2,avec PGCD(p, q) = 1.(1)
1. D´eduire de (1) que 2|p.
2. D´eduire de la question pr´ec´edante que 2|q.
3. Conclure que √2/∈Q.
4. Pour quels entiers n∈N∗le r´eel √nest il irrationnel ?
Indication : On pourra raisonner sur la d´ecomposition en facteurs premiers de n
et g´en´eraliser la d´emonstration faite pour √2.
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