licence CC-BY-NC-SA

-SA
arithmétique/cryptographie
Mathématiques
TD n◦ 2
Nombres et facteurs premiers
-NC
DUT Informatique
semestre 4
Exercice 1
-BY
1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants : 420, 39732, 15543.
2. Calculer Φ(420), Φ(39732), Φ(15543).
3. Vérifier que si n est le numéro de votre jour de naissance alors P (n) = 2n2 −20n+79
est un nombre premier.
CC
4. Est-ce que P (n) est premier pour tout n ∈ N ?
nce
Exercice 2
1. Soit n le produit de 3 nombres consécutifs, montrer que n est divisible par 6.
lice
2. Soit n le produit de 3 nombres pairs consécutifs, montrer que n est divisible par
48.
3. Montrer que si p ≥ 5 est premier alors p2 − 1 est divisible par 24.
4. n(n + 1)(2n + 1)/6 est il entier pour tout n ∈ N ?
-ren
nes
1.fr
Exercice 3
Dans un numéro de transmission de pensées un magicien fait l’expérience suivante :
• il choisit au hasard un volontaire dans la salle,
• lui demande de penser à un nombre à 3 chiffres (abc)10 ,
• en répétant 2 fois le nombre (abc)10 former un nombre à 6 chiffres n = (abcabc)10 ,
le magicien affirme alors que grace à son “don” il a vu que le nombre n est divisible par
7, 11 et 13 !
1. Comment a-t-il fait sachant qu’il n’a aucun don ?
Indication : On pourra chercher un nombre p qui divise tous les nombres de la
forme (abcabc)10
ux@
Exercice 4
Soit p un nombre premier impair
uni
v
2. Si je choisis un nombre de 4 chiffres (abcd)10 , et que je forme un nombre de 8
chiffres (abcdabcd)10 , saurez-vous deviner par quels nombres il est divisible ?
1. (a) Dans quel cas peut on trouver k ∈ Z tel que
p = 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3
e.ro
(b) Quand p est premier quel(s) nombre(s) parmi
p+1 p−1
, 4
4
est(sont) entier(s) ?
2. (a) si p ≥ 5 premier Dans quel cas peut on trouver k ∈ Z tel que
lipp
p = 6k ou 6k + 1 ou 6k + 2 ou 6k + 3 ou 6k + 4 ou 6k + 5
(b) Suivant le cas quel(s) nombre(s) parmi
p+1 p−1 p+2 p−2
, 3 , 3 , 3
3
est(sont) entier(s) ?
3. (a) chercher a, b ∈ N tel que p = a2 + b2 pour p = 7, 13, 19, 29.
phi
(b) Montrer que pour tout x ∈ Z il existe k ∈ Z tel que x2 = 4k ou 4k + 1.
(c) En déduire que si p est premier peut s’écrire p = a2 + b2 avec a, b ∈ Z alors
forcément p est de la forme 4k + 1 avec k ∈ Z.
1
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Mathématiques
TD n◦ 2
Nombres et facteurs premiers
-NC
DUT Informatique
semestre 4
-BY
Exercice 5
[ extrait du DS de mars 2007 : Palindromes premiers (9 points)]
Un nombre est un palindrome (en base p) si en inversant l’ordre de ces chiffres (dans son
écriture en base p) on ne change pas sa valeur. Par exemple (en base 10) les nombres 11,
23432, ou 100000001 sont des palindromes.
CC
1. soit x un palindrome (en base 10) à 3 chiffres :
x = (aba)10 avec a, b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} et a 6= 0
nce
(a) Montrer que pour que x = a×101+b×10 soit premier il faut que a soit premier
avec 2, 5 et b.
lice
(b) En déduire qu’il y a au plus 33 palindromes premiers à 3 chiffres.
Indication : Pour chaque valeur de b de 0 à 9 donner les valeurs de a pour
lesquelles x peut être éventuellement premier.
(c) Trouver les 3 plus petits palindromes premiers à 3 chiffres.
2. soit x un palindrome (en base 10) à 4 chiffres :
1.fr
x = (abba)10 avec a, b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} et a 6= 0
(a) Exprimer x en fonction de 1001 et 110.
nes
(b) Calculer PGCD(1001, 110).
(c) Combien y a-t-il de palindromes premiers à 4 chiffres ?
-ren
3. soit x un palindrome (en base 10) à 5 chiffres :
x = (abcba)10 avec a, b, c ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} et a 6= 0
(a) Calculer les PGCD(10001, 1010), PGCD(10001, 100) et PGCD(1010, 100).
uni
v
(b) En déduire pour quelles valeurs de a le palindrome x ne peut pas être premier.
Exercice 6
e.ro
√
ux@
Irrationnalité des
√ racines carrées
le but de cet exercice est de√montrer que 2 est un nombre irrationnel (c’est à dire qu’il
ne peut pas être une fraction
/ Q ). Pour cela nous allons faire une démonstration par
√ 2∈
b ont des facteurs commun
l’absurde. On suppose que 2 = a/b ∈ Q et si les entiers a et √
on les simplifie jusqu’à obtenir une fraction irréductible pour 2 :
2 = p/q ⇐⇒ 2q 2 = p2 , avec PGCD(p, q) = 1.
1. Déduire de (1) que 2|p.
(1)
phi
lipp
2. Déduire de la question précédante que 2|q.
√
/ Q.
3. Conclure que 2 ∈
√
4. Pour quels entiers n ∈ N∗ le réel n est il irrationnel ?
Indication : On pourra raisonner sur la décomposition
en facteurs premiers de n
√
et généraliser la démonstration faite pour 2.
2