Rappel : Factorisation et signe du trinôme

Correction du DM n ° 3 1S4
Exercice 1 : Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1) Le plan est muni d’un repère. Soit m un réel et (Dm) l’ensemble des points M(x ; y)
dont les coordonnées vérifient la relation : 3m2x – (m – 1)y – 2 = 0
a) - Si m – 1 = 0 (m = 1) alors la relation devient 3x – 2 = 0 : c’est l’équation d’une
droite.
- Si m – 1 ≠ 0 alors l’équation est du type y = 3m2x – 2
m – 1 : c’est aussi l’équation
réduite d’une droite.
Donc pour toute valeur de m, l’ensemble (Dm) est une droite.
b) (Dm) passe par A(– 1 ; 2) <==> 3m2 × (– 1) – (m – 1) × 2 – 2 = 0
<==> – 3m2 – 2m + 2 – 2 = 0
<==> – 3m2 – 2m = 0
<==> m(– 3m – 2) = 0
<==> m = 0 ou – 3m – 2 = 0
<==> m = 0 ou m = – 2
3
m = 0 : l’équation est y – 2 = 0. m = – 2
3 : l’équation est 4 3 x + 5 3 y – 2 = 0.
c)  u( )
2
3 (Dm) a pour vecteur directeur 
v 
m – 1
3 m2.
u est un vecteur directeur de (Dm) <==>  u et  v sont colinéaires.
<==> 2 × 3m2 – 3 × (m – 1) = 0
<==> 6m2 – 3m + 3 = 0
∆ = (– 3) 2 – 4 × 6 × 3 = 9 – 72 = – 63 donc pas de solution.
d) (D) a pour d'équation 5x – 3y – 4 = 0 donc pour vecteur directeur  w ( )
3
5.
(Dm) // (D) <==>  v et  w sont colinéaires <==> 3 × 3m2 – 5 × (m – 1) = 0
<==> 9m2 – 5m + 5 = 0
∆ = (– 5) 2 – 4 × 9 × 3 = 25 – 108 = – 83 donc pas de solution. Il est donc impossible que (D)
soit parallèle à (Dm).
2) Soit m un réel et soit (∆m) la droite d'équation : 3mx – (m – 1)y – 2 = 0
Si m = 0, on obtient (∆0) a pour équation : y – 2 = 0
Si m = 1, on obtient (∆1) a pour équation : 3x – 2 = 0
D’où le système { y – 2 = 0
3x – 2 = 0. Donc y = 2 avec la 1ère équation.
Et donc 3x – 2 = 0 avec la 2ème équation. <==> x = 2
3
(∆0) et (∆1) se coupent en F(2
3 ; 2).
Vérifions que F appartient à toutes droites (∆m) :
3m × 2
3 – (m – 1) × 2 – 2 = 2m – 2m + 2 – 2 = 0. C’est donc le cas.
Exercice 2 : résoudre les équations suivantes :
1) 12 – 3x = 4x + 3
Contraintes : 12 – 3x ≥ 0 et 4x + 3 ≥ 0
12 ≥ 3x 4x ≥ – 3
4 ≥ x x ≥ – 0.75
D = [– 0.75 ; 4]
(12 – 3x)2 = 4x + 3
144 – 72x + 9x2 = 4x + 3
9x2 – 76x + 141 = 0
Trinôme : ∆ = (– 76)2 – 4 × 9 × 141 = 700 > 0 d’où deux solutions :
x1 = 76 – 700
2 × 9 = 76 – 10 7 18 = 38 – 5 7 9 = 38 9 – 5 97 ≈ 2.75
x2 = 76 + 700
2 × 9 = 76 + 10 7 18 = 38 + 5 7 18 = 38 9 + 5 97 ≈ 5.69 > 4
Donc S = { 19
9 – 5 18 7 }
2) 2x4 – 14x2 = 60 <==> 2x4 – 14x2 – 60 = 0
On pose X = x2, on obtient 2X2 – 14X – 60 = 0
Trinôme : ∆ = (– 14)2 – 4 × 2 × (– 60) = 196 + 480 = 676 > 0 d’où deux solutions :
X1 = 14 – 676
2 × 2 = 14 – 26 4 = – 3
X2 = 14 + 676
2 × 2 = 14 + 26 4 = 10
On résout ensuite x2 = X1 et x2 = X2.
x2 = X1 <==> x2 = 10 x2 = X2 <==> x2 = – 3
<==> x = 10 ou x = – 10 Pas de solution
S = { 10 ; – 10 }