Correction du DM n ° 3 1S4 Exercice 1 : Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1) Vérifions que F appartient à toutes droites (∆m) : Le plan est muni d’un repère. Soit m un réel et (Dm) l’ensemble des points M(x ; y) 2 dont les coordonnées vérifient la relation : 3m x – (m – 1)y – 2 = 0 a) - Si m – 1 = 0 (m = 1) alors la relation devient 3x – 2 = 0 : c’est l’équation d’une droite. 2 - Si m – 1 ≠ 0 alors l’équation est du type y = 3m x – 2 : c’est aussi l’équation m–1 réduite d’une droite. Donc pour toute valeur de m, l’ensemble (Dm) est une droite. b) 2 m=– 3m × 2 – (m – 1) × 2 – 2 = 2m – 2m + 2 – 2 = 0. C’est donc le cas. 3 Exercice 2 : résoudre les équations suivantes : 1) ( 32 ) u u est un vecteur directeur de (Dm) 2 m – 21 . 3m Trinôme : ∆ = (– 76) – 4 × 9 × 141 = 700 > 0 d’où deux solutions : 76 – 700 76 – 10 7 38 – 5 7 38 5 x1 = = = = – 7 ≈ 2.75 2×9 18 9 9 9 2) ( 53 ). 2 <==> 3 × 3m – 5 × (m – 1) = 0 2 <==> 9m – 5m + 5 = 0 ∆ = (– 5) – 4 × 9 × 3 = 25 – 108 = – 83 donc pas de solution. Il est donc impossible que (D) soit parallèle à (Dm). 2 2) Soit m un réel et soit (∆m) la droite d'équation : 3mx – (m – 1)y – 2 = 0 { y3x––22==00. Donc y = 2 avec la 1 Et donc 3x – 2 = 0 avec la 2 ème équation. <==> x = ère 2 3 2 2 2 2 2 On résout ensuite x = X1 et x = X2. 2 x = X1 <==> x = 10 <==> x = 10 ou x = – équation. 2 4 Trinôme : ∆ = (– 14) – 4 × 2 × (– 60) = 196 + 480 = 676 > 0 d’où deux solutions : 14 – 676 14 – 26 X1 = = =–3 2×2 4 14 + 676 14 + 26 X2 = = = 10 2×2 4 2 Si m = 0, on obtient (∆0) a pour équation : y – 2 = 0 Si m = 1, on obtient (∆1) a pour équation : 3x – 2 = 0 D’où le système 4 2x – 14x = 60 <==> 2x – 14x – 60 = 0 2 (Dm) // (D) <==> v et w sont colinéaires 19 5 – 7} 9 18 On pose X = x , on obtient 2X – 14X – 60 = 0 (D) a pour d'équation 5x – 3y – 4 = 0 donc pour vecteur directeur w 76 + 700 76 + 10 7 38 + 5 7 38 5 = = = + 7 ≈ 5.69 > 4 2×9 18 18 9 9 Donc S = { <==> u et v sont colinéaires. 2 <==> 2 × 3m – 3 × (m – 1) = 0 2 4x + 3 ≥ 0 4x ≥ – 3 x ≥ – 0.75 et 2 <==> 6m – 3m + 3 = 0 2 ∆ = (– 3) – 4 × 6 × 3 = 9 – 72 = – 63 donc pas de solution. d) 12 – 3x ≥ 0 12 ≥ 3x 4≥x (12 – 3x) = 4x + 3 2 144 – 72x + 9x = 4x + 3 2 9x – 76x + 141 = 0 2 4 5 : l’équation est x + y – 2 = 0. 3 3 3 (Dm) a pour vecteur directeur v 4x + 3 D = [– 0.75 ; 4] x2 = c) 12 – 3x = Contraintes : (Dm) passe par A(– 1 ; 2) <==> 3m × (– 1) – (m – 1) × 2 – 2 = 0 2 <==> – 3m – 2m + 2 – 2 = 0 2 <==> – 3m – 2m = 0 <==> m(– 3m – 2) = 0 <==> m = 0 ou – 3m – 2 = 0 2 <==> m = 0 ou m = – 3 m = 0 : l’équation est y – 2 = 0. 2 (∆0) et (∆1) se coupent en F( ; 2). 3 S={ 10 ; – 10 } 2 10 2 x = X2 <==> x = – 3 Pas de solution