DS 5 proba vecteurs 12-13

Devoir surveillé de mathématiques n°5 11/01/13 2nde
Nom :
Exercice 1: ( 6,5 )On lance un dé cubique truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On s'intéresse au nombre figurant sur la face supérieure du dé. Un très grand nombre
d’expériences a permis d'établir le début de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire :
issue 1 2 3 4 5 6
probabilité 0,1 0,2 0,4
On sait que la probabilité d'obtenir 4 est identique à celle d'obtenir 5, et que la
probabilité d'obtenir 6 est égale au double de celle d'obtention du 4.
1°) Compléter , en justifiant, la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2°) Calculer les probabilités des événements suivants :
I : « obtenir un nombre impair » Q : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 »
3°) Calculer, en justifiant, les probabilités des événements I ∩ Q et I ∪Q .
4°) Décrire par une phrase et calculer, en justifiant, la probabilité de
I
∪
Q
5°) On considère les événements D : " le nombre est divisible par 2" et
T : "le nombre est divisible par 3"
Calculer, en justifiant, la probabilité de l'événement
T
∪D.
Exercice 2 (2):
On lance deux dés tétraédriques (dés à 4 faces) équilibrés, les faces de chaque dés étant
numérotées de 1 à 4. On s'intéresse aux nombres obtenus sur les faces inférieures des dés.
A l'aide d'un tableau à double entrée, déterminer la probabilité de l'événement :
C : "la somme des deux faces inférieures est supérieure ou égale à 5"
Exercice 3 : (2)
A et B sont deux événements tels que p(A) = 0,7 ; p(A∩B) = 0,2 ; p(A∪B) = 0,7.
Calculer p(B).
Exercice 4(3,5): Avec une pièce et deux urnes
Un jeu consiste à lancer d'abord une pièce puis, suivant le résultat du lancer de la pièce, à
choisir deux boules dans une urne selon les modalités suivantes:
-Si la pièce tombe sur Pile, on choisit successivement deux boules au hasard, sans remettre
la première boule après l'avoir tirée, dans une urne qui contient deux boules blanche (B1,B2)
et une boule verte (V1).
-Si la pièce tombe sur Face, on choisit successivement deux boules au hasard, sans remettre
la première boule après l'avoir tirée, dans une urne qui contient 2 boules vertes (V2,V3) et une
boule rouge(R).
1°) Effectuer un arbre afin de déterminer toutes les issues de cette expérience.
2°) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
U:"Aucune boule tirée n'est verte"
M:"Au moins une des boules tirées est verte"
Exercice 5 : (6)On fera une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
ABCD est un parallélogramme.
1°) M est le point tel que
⃗
AM
=
3
⃗
AD
a) Placer M.
b) Démontrer (par le calcul, pas par lecture !) que
⃗
CM
=
⃗
BA
+
2
⃗
BC
.
2°) N est le point tel que
2
⃗
BN
=
⃗
AB
.
a) Placer N.
b) Exprimer
⃗
CN
en fonction de
⃗
BA
et
⃗
BC
(justifier).
3°) Déduire des questions 1°)b) et 2°)b) le nombre k vérifiant
⃗
CM
=
k
⃗
CN
.
Que peut-on en déduire ?

Devoir surveillé de mathématiques n°5 11/01/13 2nde
Exercice 1: ( 6,5 )On lance un dé cubique truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1°) On appelle x la probabilité de sortie de 4 ; celle de 5 est x, celle de 6 est 2x
La somme des probabilités étant égale à 1, on a :
0,1
+
0,2
+
0,4
+
x
+
x
+
2
x
=
1
⇔
4
x
+
0,7
=
1
⇔
4
x
=
0,3
⇔
x
=
0,075
On a alors :
issue 1 2 3 4 5 6
probabilité 0,1 0,2 0,4 0,075 0,075 0,15
2°)I={1;3;5} p(I)=0,1+0,4+0,075=0,575
Q={1;2;3;4} p(Q)=0,1+0,2+0,4+0,075=0,775
3°) I ∩Q : « nombre impair et inférieur ou égal à 4 »
I ∩Q={1;3} donc p(I ∩Q)=p({1})+p({3})=0,5
I ∪Q : « nombre impair ou inférieur ou égal à 4 »
p (I ∪Q)=p(I)+p(Q)-p(I ∩Q)=0,575+0,775-0,5=0,85
4°)
I
∪
Q
=
I
∩
Q
: " le nombre est pair et strictement supérieur à 4"
I
∪
Q
= {6} donc p (
I
∪
Q
)=0,15
5°) T={3;6} donc
T
={1 ;2;4;5} et D={2;4;6}
Donc
T
∪ D={1;2;4;5;6} et p(
T
∪ D)=1-p({3})=0,6
Exercice 2 (2):
1 2 3 4
12345
23456
34567
45678
D'après ce tableau, qui présente les 16 tirages équiprobables, on a p
( C )=
10
16
=
5
8
Exercice 3 : (2) p(A) = 0,7 ; p(A ∩ B) = 0,2 ; p(A ∪ B) = 0,7.Calculer p(B).
p(A)=1-p(
A
)=1-0,7=0,3
p(A ∪ B)= p (A) + p(B) - p (A ∩ B) ⇔ 0,7=0,3+p(B)-0,2 ⇔ p(B)=0,6
p(
B
)=1-p(B)=1-0,6=0,4
Donc p(
B
)=0,4
Exercice 4: (3,5)
1°)
Il y a 12 issues équiprobables
2°) U est vérifiée par 2 issues sur 12 donc p
( C )=
1
6
M est le contraire de U donc p
( M )= 1
1
6
=
5
6

Exercice 5 : (6)
1°)
⃗
AM
=
3
⃗
AD
donc
⃗
AC
+
⃗
CM
=
3
⃗
AD
⃗
CM
=
3
⃗
AD
⃗
AC
et comme
⃗
AD
=
⃗
BC
⃗
CM
=
3
⃗
BC
⃗
AC
⃗
CM = 3
⃗
BC (
⃗
AB +
⃗
BC )
⃗
CM
=
3
⃗
BC
⃗
AB
⃗
BC
⃗
CM
=
⃗
BA
+
2
⃗
BC
2°)
2
⃗
BN
=
⃗
AB
donc
2
(
⃗
BC +
⃗
CN )=
⃗
AB
2
⃗
BC
+
2
⃗
CN
=
⃗
AB
2
⃗
CN
=
⃗
BA
2
⃗
BC
⃗
CN =
1
2
⃗
BA
⃗
BC
4°)
2 ×
⃗
CN = 2 (
1
2
⃗
BA
⃗
BC )
d'après 2°)
=
⃗
BA
+
2
⃗
BC
(développement)
=
⃗
CM
d'après 3°)
Donc
⃗
CM
=
2
⃗
CN
On en déduit que
⃗
CN
et
⃗
CM
sont colinéaires, donc C, M, N sont alignés.