2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no1
On désigne par kun corps commutatif, et on fixe nœNú,MœMn(k).
1) a. Montrer que, pour toute matrice PœGLn(k),Met PMP≠1ont mêmes
déterminant, trace, et polynôme caractéristique.
b. Inversement, deux matrices ayant même déterminant, trace, ou polynôme
caractéristique sont-elles semblables ?
2) a. On suppose k=C. Montrer que le déterminant et la trace de Mégalent
respectivement le produit et la somme des valeurs propres de M.
b. Ce résultat reste-t-il vrai si kest différent de C?
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Sujet no2
Question de cours
Rappeler l’énoncé et la démonstration de la formule du changement de base (on
pourra se limiter au cas des endomorphismes).
Exercice
On considère la matrice :
M=Q
a
23 0
10≠1
03 2
R
bœM3(Q).
1) a. Montrer que le polynôme caractéristique ‰Mde Mest égal, au signe près, à
(X≠a)(X≠b)2, pour des valeurs a, b œQque l’on déterminera.
b.En déduire que Mest trigonalisable.
2) On pose Ea=ker(M≠aI3),Eb=ker(M≠bI3)et EÕ
b=ker(M≠bI3)2.
a. Montrer que dim Ea=dimEb=1,etdim EÕ
b=2.
b. La matrice Mest-elle diagonalisable ?
3) D’après 2.a,ilexistewœEÕ
brEb. Fixons un tel vecteur w.
a. Montrer que le vecteur v=(M≠bI3)(w)appartient à Eb.
b.En déduire qu’il existe PœGL3(Q)telle que :
P≠1MP =Q
a
a00
0b1
00b
R
b.
c. Expliciter une telle matrice P.
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Sujet no3
Soient kun corps commutatif, Eun k-espace vectoriel de dimension finie n>0,
et „un endomorphisme de E. On pose „0=id
E, puis pour tout kœN, on définit
l’endomorphisme „k+1 de Een posant „k+1 =„¶„k.
1) a. Justifier que la famille („k)kœNest liée.
b.En déduire l’existence d’un unique entier mœNútel que :
– la famille („0,...,„m≠1)soit libre,
– la famille („0,...,„m≠1,„m)soit liée.
c. Montrer qu’il existe d’uniques scalaires c0,...,c
m≠1œktels que :
c0idE+···+cm≠1„m≠1+„m=0.
Avec ces notations de met c0,...,c
m≠1, on définit le polynôme minimal de
„, que nous noterons µ„par la suite, en posant :
µ„(X)=c0+···+cm≠1Xm≠1+Xm.
2) Soit ⁄œk. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)⁄est une valeur propre de „.
(ii)⁄est une racine de µ„.
3) On suppose k=R. Calculer µ„dans chacun des cas suivants :
a.„est un projecteur, i.e. „vérifie „2=„.
b.„est une symétrie, i.e. „vérifie „2=id
E.
c.„:EæE, (x, y)‘æ (y, ≠x),avecE=R2.
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Sujet no4
On se donne Eun C-espace vectoriel de dimension n>2, et on désigne par T
l’ensemble des matrices de Mn(C)de trace nulle, et Sle sous-ensemble de Tconstitué
des matrices à coefficients diagonaux nuls.
1) Soit uœEnd(E).
a. Montrer que si ustabilise toute droite vectorielle de E,i.e. pour tout xœE,
u(x)œVect(x), alors uest une homothétie.
b. On suppose que un’est pas une homothétie. Montrer qu’alors, il existe aœE
tel que la famille (a, f(a)) soit libre, puis qu’il existe une base de Edans
laquelle la matrice de ua pour première colonne le vecteur t(0,1,0,...,0).
c. En déduire que tout élément de Test semblable à un élément de S.
2) Soient :
=
Q
c
c
c
c
a
10··· 0
02 ....
.
.
.
.
.......0
0··· 0n
R
d
d
d
d
b
,
et gl’endomorphisme de Mn(C)défini, pour XœMn(C), par g(X)=X≠X.
a. Déterminer l’image de g.
b.En déduire que si MœS,ilexisteD, N œMn(C)telles que Dsoit diagonale
et M=DN ≠ND.
c. Montrer que si MœT,ilexisteA, B œMn(C)telles que Asoit diagonalisable
et M=AB ≠BA.
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Sujet no5
Soient nœNú,etAœMn(R)vérifiant :
A3≠2A2+A≠In=0.(ı)
La matrice Aest-elle diagonalisable ?
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