2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 1
On désigne par k un corps commutatif, et on fixe n œ Nú , M œ Mn (k).
1) a. Montrer que, pour toute matrice P œ GLn (k), M et P M P ≠1 ont mêmes
déterminant, trace, et polynôme caractéristique.
b. Inversement, deux matrices ayant même déterminant, trace, ou polynôme
caractéristique sont-elles semblables ?
2) a. On suppose k = C. Montrer que le déterminant et la trace de M égalent
respectivement le produit et la somme des valeurs propres de M .
b. Ce résultat reste-t-il vrai si k est différent de C ?
2
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 2
Question de cours
Rappeler l’énoncé et la démonstration de la formule du changement de base (on
pourra se limiter au cas des endomorphismes).
Exercice
On considère la matrice :
Q
2
M = a 1
0
3
0
3
R
0
≠1 b œ M3 (Q) .
2
1) a. Montrer que le polynôme caractéristique ‰M de M est égal, au signe près, à
(X ≠ a)(X ≠ b)2 , pour des valeurs a, b œ Q que l’on déterminera.
b. En déduire que M est trigonalisable.
2) On pose Ea = ker(M ≠ a I3 ), Eb = ker(M ≠ b I3 ) et EbÕ = ker(M ≠ b I3 )2 .
a. Montrer que dim Ea = dim Eb = 1, et dim EbÕ = 2.
b. La matrice M est-elle diagonalisable ?
3) D’après 2.a, il existe w œ EbÕ rEb . Fixons un tel vecteur w.
a. Montrer que le vecteur v = (M ≠ b I3 )(w) appartient à Eb .
b. En déduire qu’il existe P œ GL3 (Q) telle que :
Q
R
a 0 0
P ≠1 M P = a 0 b 1 b .
0 0 b
c. Expliciter une telle matrice P .
3
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 3
Soient k un corps commutatif, E un k-espace vectoriel de dimension finie n > 0,
et „ un endomorphisme de E. On pose „0 = idE , puis pour tout k œ N, on définit
l’endomorphisme „k+1 de E en posant „k+1 = „ ¶ „k .
1) a. Justifier que la famille („k )kœN est liée.
b. En déduire l’existence d’un unique entier m œ Nú tel que :
– la famille („0 , . . . , „m≠1 ) soit libre,
– la famille („0 , . . . , „m≠1 , „m ) soit liée.
c. Montrer qu’il existe d’uniques scalaires c0 , . . . , cm≠1 œ k tels que :
c0 idE + · · · + cm≠1 „m≠1 + „m = 0.
Avec ces notations de m et c0 , . . . , cm≠1 , on définit le polynôme minimal de
„, que nous noterons µ„ par la suite, en posant :
µ„ (X) = c0 + · · · + cm≠1 X m≠1 + X m .
2) Soit ⁄ œ k. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) ⁄ est une valeur propre de „.
(ii) ⁄ est une racine de µ„ .
3) On suppose k = R. Calculer µ„ dans chacun des cas suivants :
a. „ est un projecteur, i.e. „ vérifie „2 = „.
b. „ est une symétrie, i.e. „ vérifie „2 = idE .
c. „ : E æ E, (x, y) ‘æ (y, ≠x), avec E = R2 .
4
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 4
On se donne E un C-espace vectoriel de dimension n > 2, et on désigne par T
l’ensemble des matrices de Mn (C) de trace nulle, et S le sous-ensemble de T constitué
des matrices à coefficients diagonaux nuls.
1) Soit u œ End(E).
a. Montrer que si u stabilise toute droite vectorielle de E, i.e. pour tout x œ E,
u(x) œ Vect(x), alors u est une homothétie.
b. On suppose que u n’est pas une homothétie. Montrer qu’alors, il existe a œ E
tel que la famille (a, f (a)) soit libre, puis qu’il existe une base de E dans
laquelle la matrice de u a pour première colonne le vecteur t (0, 1, 0, . . . , 0).
c. En déduire que tout élément de T est semblable à un élément de S.
2) Soient :
Q
c
c
= c
c
a
1
0
0
..
.
2
..
.
0
···
···
..
.
..
.
0
R
0
.. d
. d
d,
d
0 b
n
et g l’endomorphisme de Mn (C) défini, pour X œ Mn (C), par g(X) =
a. Déterminer l’image de g.
X ≠X .
b. En déduire que si M œ S, il existe D, N œ Mn (C) telles que D soit diagonale
et M = DN ≠ N D.
c. Montrer que si M œ T , il existe A, B œ Mn (C) telles que A soit diagonalisable
et M = AB ≠ BA.
5
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 5
Soient n œ Nú , et A œ Mn (R) vérifiant :
A3 ≠ 2A2 + A ≠ In = 0.
La matrice A est-elle diagonalisable ?
6
(ı)
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 6
Dans tout ce qui suit, on désignera par n un entier naturel non nul.
1) Soient k un corps commutatif et P (X) = –0 + · · · + –n≠1 X n≠1 + X n œ k[X]. On
appelle matrice compagnon de P la matrice
Q
R
0
≠–0
c 1 0
≠–1 d
c
d
c
d
.
.
.
.. ..
..
ŸP = c
d œ Mn (k) .
c
d
a
1 0 ≠–n≠2 b
1 ≠–n≠1
Déterminer le polynôme caractéristique de ŸP .
2) Soient a1 , . . . , an œ C, et considérons les matrices de Mn (C) :
Q
R
Q
a1 a2 · · ·
an
0 1
c an a1 · · · an≠1 d
c ..
c
d
c
C = c .
et
J = c .
.. . .
.. d
.
a .
a 0
.
.
. b
a2 a3 · · ·
a1
1 0
a. Montrer avec soin que J =
k
3
0
Ik
In≠k
0
4
..
0
.
···
R
d
d
d.
1 b
0
, pour tout k œ N.
b. En déduire l’expression de C en fonction de J 0 = In , J 1 = J, . . . , J n≠1 .
c. Déterminer les valeurs propres de J, puis justifier que J est diagonalisable.
Indication. On pourra remarquer que t J = J n≠1 . . .
d. Déduire de ce qui précède la valeur de det C.
7
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 7
Dans tout ce qui suit, nous désignerons par k un corps commutatif et E un k-espace
vectoriel de dimension finie n > 0. Si u œ End(E), on définit l’endomorphisme uk
par récurrence sur k œ N en posant u0 = idE , puis uk+1 = u ¶ uk pour tout k œ N.
1) Soit  œ End(E).
a. Montrer que ker  k µ ker  k+1 pour tout k œ N.
b. On suppose qu’il existe d œ N tel que ker  d = ker  d+1 . Montrer qu’alors,
ker  d = ker  d+k pour tout k œ N.
c. En déduire l’existence d’un unique entier r œ N tel que :
{0E } = ker  0 ( ker  ( · · · ( ker  r = ker  r+1 = · · · .
2) Soit „ œ End(E).
a. On suppose, dans cette question seulement, qu’il existe ⁄ œ k et m œ Nú tels
que („ ≠ ⁄ idE )m = 0. Montrer que „ est trigonalisable, et que son polynôme
caractéristique égale, au signe près, (X ≠ ⁄)n .
Indication. On pourra appliquer utiliser le résultat de la question 1) à un endomorphisme  de E bien choisi, puis utiliser le théorème de la base incomplète
pour construire une base de E dans laquelle la matrice de „ est triangulaire
supérieure.
b. En déduire que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) „ est nilpotent, i.e. il existe d œ Nú tel que „d = 0.
(ii) Le polynôme caractéristique de „ égale, au signe près, X n .
8
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 8
Dans tout ce qui suit, nous désignerons par k un corps commutatif et E un k-espace
vectoriel de dimension finie n > 0.
1) Soient u, v œ End(E). On suppose que ⁄ œ k est une valeur propre de v, et on
note V⁄ le sous-espace propre de v associé à la valeur propre ⁄.
a. Montrer que V⁄ est stable par v.
b. Montrer que si u ¶ v = v ¶ u, alors V⁄ est également stable par u.
2) Soit U = (ui )iœI une famille d’endomorphismes diagonalisables de E vérifiant,
pour tous i, j œ I, ui ¶ uj = uj ¶ ui . Montrer qu’il existe une base B de E telle
que, pour tout i œ I, la matrice de ui dans B soit diagonale.
Indication. On pourra commencer par traiter le cas où tous les endomorphismes
de U sont des homothéties, puis dans le cas contraire, raisonner par récurrence
sur la dimension de E.
3) Soient u œ End(E) diagonalisable, d œ N, et c0 , . . . , cd œ k.
Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle les matrices U et V de u et
v = c0 u0 + · · · + cd ud sont diagonales, puis exprimer les coefficients de V en
fonction des coefficients de U .
9