Thème N°1 : CALCUL NUMERIQUE (1)

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Thème N°1 : CALCUL NUMERIQUE (1)
ECRITURES FRACTIONNAIRES (1) : ECRITURES
FRACTIONNAIRES DE NOMBRES POSITIFS
A la fin du thème, tu dois savoir :
c Simplifier d’une écriture fractionnaire
d Comparer deux quotients
e Additionner, soustraire et multiplier de deux écritures fractionnaires ayant des
dénominateurs différents.
f Donner l’inverse d’un nombre
g Diviser deux écritures fractionnaires.
h Calculer une expression : Revoir les priorités opératoires
c Résoudre des problèmes avec des écritures fractionnaires
A – SOMME DE DEUX NOMBRES RELATIFS (Rappels)
1 - Somme de deux nombres positifs
Exemple : 3,5 + 1,5 = 5 (situation connue)
2 – Somme de deux nombres négatifs
Exemple : - 8 + ( - 5 ) = - 13
On garde le signe moins
On ajoute les deux nombres écrits sans signe
3 – Somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif
Exemples : - 7 + 10 = 3 ; - 15 + 5 = - 10
On garde le signe du nombre le plus éloigné du zéro (10 > 7 donc résultat positif
15 > 5 donc résultat négatif)
On soustrait les deux nombres écrits sans signe (10 – 7 = 3 et 15 – 5 = 10)
Remarque : La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. 1,5 + (- 1,5) = 0
B - SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS (Rappels)
Pour soustraire un nombre relatif , on ajoute son opposé
Exemples : ( + 4 ) – ( + 8 ) = (+ 4 ) + ( − 8 ) = - 4 soustraire ( + 8 ) revient à ajouter son opposé ( − 8 )
( - 7 ) – ( − 5 ) = ( - 7 ) + ( + 5 ) = - 2 soustraire ( − 5 ) revient à ajouter son opposé ( + 5 )
La somme de deux nombres positifs est un nombre positif
La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif
La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif qui a :
• Pour distance à zéro, la différence des distances à zéro ;
• Pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.

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C - QUOTIENTS EGAUX
Si a , b et k sont non nuls : b
a
kb ka = ×
×
Méthode 1 : Simplifier une écriture fractionnaire.
÷ 3
Exemple : 4
5
43 53 12
15 =
×
×
= autre rédaction : 4
5
12
15 =
÷ 3
On Commence par utiliser les critères de divisibilités ci-dessous :
Critères de divisibilité : comment reconnaître si un nombre entier est divisible par un autre ?
• Examine le dernier chiffre du nombre :
Si c’est un nombre pair ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ), le nombre est divisible par 2.
Si c’est 0 ou 5, le nombre est divisible par 5.
Si c’est 0, le nombre est divisible par 10.
• Additionne tous les chiffres qui ont permis d’écrire le nombre :
Si la somme trouvée est divisible par 3, le nombre en question est aussi divisible par 3.
Si la somme trouvée est divisible par 9, le nombre en question est aussi divisible par 9.
Méthode 2 : Ecrire deux quotients avec le même dénominateur.
On veut écrire les deux quotients avec le même dénominateur. Exemple : 1
32 5
et
On cherche un multiple commun à 3 et à 5 : ici 15
15
6
35 32 5
2
15
5
53 51 3
1=
×
×
==
×
×
=et
D - COMPARAISON
Pour comparer a
bet c b on compare les numérateurs a et c,
puis on range a
bet c b dans le même ordre que les numérateurs
Méthode 3 : Comparer deux quotients.
Exemple : 18 7
817 8
,et , on note que 17 < 18,7 donc 87,18
8
17 <

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E - ADDITION, SOUSTRACTION
a, b et c désignent des nombres positifs avec b ≠ 0
bca b
c
b
a
bca b
c
b
a
−
=−
+
=+ ;
Méthode 4 : Additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire
On veut calculer 9
2
6
5+.
c On cherche un multiple commun aux dénominateurs 6 et 9.
Les premiers multiples de 6 sont : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ……..
Les premiers multiples de 9 sont : 9, 18, 27, 36, 45, ……..
Le multiple commun à 6 et 9 est : 18
d On recherche ensuite le nombre égal à 6
5 et le nombre égal à 9 2 ayant pour dénominateur 18
18
15
36 35 6
5=
×
×
= et 18
4
29 22 9
2=
×
×
=
e On calcule ensuite : 18
19
18 415 18
4
18
15
9
2
6
5=
+
=+=+
g Si possible, on pense ensuite à simplifier.
Autres exemples :
14
13
14 310 14
3
14
10
14
3
7
5
2
13
2112 2
1
2
12
2
1
6;2
4
8
453 4
5
4
3
=
+
=+=+
=
+
=+=+==
+
=+
15
22
151210 15
12
15
10
5
4
3
2
3
5
33 35 9
15
9217 9
2
9
17
=
+
=+=+
=
×
×
==
−
=−
F - LA MULTIPLICATION
a, b, c et d désignent des nombres positifs avec b ≠ 0 et d ≠ 0
db ca
d
c
b
a
bca b
c
a×
×
=×
×
=× ;
Méthode 5 : Savoir simplifier avant de faire des calculs dans un produit

page4
Exemple : Simplifier 9
3
7
6
5
14 ××
c On observe les nombres aux numérateurs et aux dénominateurs et on essaye de voir si on peut simplifier
avant de faire les calculs.
d On constate que 14 est un multiple de 7 et que 9 et 6 sont des multiples de 3.
e On simplifie au numérateur et au dénominateur :
5
4
52 2 3 3 7 5 3 2 3 7 2 9
3
7
6
5
14 = ×
=
×××
××××
=××
Autres exemples:
5
12
534 5
3
4
2
3
227 732 47 212 4
21
7
2
2
3
22 23 4
6
74 76 28
42
47 212 4
21
7
2
=
×
=×
=
××
××
=
×
×
=×
=
×
×
==
×
×
==
×
×
=×
ou
G – INVERSE
On dit que deux nombres non nuls sont inverses si leur produit est égal à 1.
* Si a ≠ 0 , a et 1
a sont inverses car 1
11 ==
×
=× a
a
a
a
a
a.
* Si a ≠ 0 et b ≠ 0 a
bet b a sont inverses car 1=
×
×
=× ab ba
a
b
b
a
Méthode 6 : Prouver que deux nombres sont inverses l’un par rapport à l’autre
Exemples : 51
5
et sont inverses car 1
5
5
515 5
1
5==
×
=× .
2
33 2
et sont inverses car 1
23 32 2
3
3
2=
×
×
=×
H - QUOTIENT

page5
Pour diviser une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction
par l’inverse de la deuxième fraction.
Pour b, c et d non nuls : c
d
b
a
d
c
b
a×=÷ ou c
d
b
a
d
c
b
a
×=
Méthode 7 : Diviser deux nombres en écritures fractionnaires
3
29 392 2
27
9
2
27
2
9
2
27
2
9
2
35
32
57 84 5
8
7
4
8
5
7
4
=
×
××
=×=÷=
=
×
×
=×=÷
I - LES PRIORITES
Les règles de priorités s’appliquent aux calculs comportant des fractions.
Méthode 8 : Calculer une expression
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛×+−= 4
1
2
5
2
1
5
4
A
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−= 8
5
2
1
5
4
A Ö Lorsque le calcul comporte des parenthèses, on effectue d’abord les
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−= 8
5
8
4
5
4
A calculs entre les parenthèses en veillant aux priorités.
8
9
5
4−=A Ö Lorsque le calcul ne comporte plus de parenthèses, on effectue en
40
45
40
32 −=A priorité division et multiplication puis addition et soustraction.
40
13−
=A
Remarque : On effectue dons d’abord les calculs au numérateur et au dénominateur avant de diviser.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−÷
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
−
+
=7
6
2
5
4
3
7
6
2
5
4
3
B
F - RESOUDRE UN PROBLEME
Méthode 9 : Résoudre des problèmes