Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de

Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Chapitre 3
Espaces topologiques connexes
Abdelaziz Kheldouni
0.0.1 §III.1.Espaces topologiques connexes
D´efinitions et exemples
D´efinition 1 : Un espace topologique Xest dit connexe s’il n’existe pas de partition de Xform´ee de deux
ouverts non vides.
Un sous-ensemble Ad’un espace topologique Xest une partie connexe si le sous espace topologique (A, τA)
est connexe.. Notons que les parties connexes du sous-espace topologique Asont celles de Xcontenues dans A.
Un domaine de Xest une partie ouverte et connexe de X.
Exemples : 1) ∅,{x}sont des connexes - Xmuni de la topologie grossi`ere est un espace connexe - 2) Si
card(X)≥2 , l’espace Xmuni de la topologie discr`ete n’est pas connexe.
Proposition 2 : Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
a) Xconnexe
b) Il n’existe pas de partitions de Xform´ee de ferm´es non vides
c) les seuls ouverts ferm´es de Xsont l’ensemble vide et X.
d) Toute application continue f:X→ {0,1}est constante ”ici {0,1}est muni de la topologie discr`ete”.
D´emonstration : a)⇒b) : Si X=F1∪F2o`u F1et F2sont deux ferm´es disjoints de Xalors on peut ´ecrire
X={F1∪{F2avec {F1et {F2deux ouverts disjoints , mais ceci est impossible car Xest connexe
b)⇒c) : Soit Aun ouvert ferm´e de X, son compl´ementaire {Aest aussi un ouvert ferm´e de X, et on a
X=A∪{Ace qui nous a permis d’´ecrire Xcomme union disjointe de deux ferm´es disjoints ; mais ceci n’est
possible que si A=∅sinon {A=∅. D’o`u A=Xou A=∅.
c)⇒d) : Soit f:X→ {0,1}continue. Puisque {0,1}est muni de la topologie discr`ete, {0}est alors un
ouvert ferm´e de {0,1}; comme fest continue, f−1({0}) est un ouvert ferm´e de Xqui v´erifie c) donc ou bien
f−1({0}) = ∅et dans ce cas f(x) = 1 pour tout x, sinon f−1({0})6=∅et on aura n´ecessairement f−1({0}) = X
c’est `a dire f(x) = 0 pour tout x.
1

d)⇒a) : Supposons que X=O1∪O2avec O1et O2deux ouverts disjoints de X. Supposons O16=∅et
consid´erons son application caract´eristique χO1:X→ {0,1}, elle est continue car sur O1c’est 1 et sur O2c’est
0. χO1est donc constante, et comme O16=∅, alors O2=∅.
Proposition 3 : Les parties connexes de Rsont les intervalles.
D´emonstration : Soit Aune partie connexe de R; le probl`eme est de montrer que ∀a, b ∈A,a≤b, on a
[a, b]⊂A. Supposons alors le contraire, il va donc exister aet bdans Atels que [a, b] n’est pad inclus dans A;
c’est `a dire qu’il y a un c∈[a, b] qui n’est pas dans A. Mais dans ce cas, {]− ∞, c[∩A, ]c, +∞[∩A}serait une
partition ouverte de Ace qui est absurde avec Aconnexe.
Inversement, soit I=|a, b |un intervalle de R. On peut supposer a<bcar si on a l’´egalit´e alors Iserait ∅
ou {a}et donc connexe.
Soit f:I→ {0,1}une application continue, il s’agit de montrer qu’elle est constante. Consid`erons pour cela
l’ensemble E={x∈[a, b] / f(x) = f(a)}c’est ´evidement une partie non vide et ferm´ee de [a, b] c’est aussi un
ouvert de [a, b] car E= [a, b]∩f−1(f(a)) . Soit c= sup E∈E=E; alors c=bsinon, comme Eest un ouvert
de [a, b], il serait un voisinage de cet donc ∃ε > 0 tel que ]c−ε, c +ε[⊂Emais ceci contredit le fait que c
soit une borne sup´erieure.
Propri´et´es des espaces connexes
Proposition 4 : L’image d’un espace connexe par une application continue φ:X→Yest un sous-espace
connexe de Y;
D´emonstration : Soit f:φ(X)→ {0,1}une application continue; f◦φest alors continue et comme Xest
connexe, on d´eduit que f◦φest constante et donc fest constante. 
Comme cons´equences imm´ediates de ce qui pr´ec`ede on a :
- Tout espace topologique hom´eomorphe `a un espace connexe est connexe. La connexit´e est une propri´et´e
topologique
- L’image d’un espace connexe Xpar une application continue X→Rest un intervalle.
Proposition 5 : La r´eunion Xd’une famille d’espaces connexes (Xi)i∈Iest un espace connexe dans les deux
cas suivants :
1- Les espaces Xisont deux `a deux non disjoints.
2- I=Net pour tout i∈I, Xi∩Xi+1 6=∅
D´emonstration : (1) Soit f:X→ {0,1}une application continue. Pour tout i∈I,f|XiXi→ {0,1}est
continue, donc constante sur Xi. Soit αila valeur de fsur Xi. Comme pour tout i6=j,Xi∩Xj6=∅, il existe
un x∈Xi∩Xjtel que f(x) = αi=αjdonc fest constante sur X.
(2) se d´emontre de fa¸con analogue.
Exemple :
Toute ligne polygonale L=p ∪
i=1[ai, ai+1] de Rnest connexe.
Attention : l’intersection de deux parties connexes n’est pas toujours connexe.
Proposition 6 : 1) Si Aest une partie connexe de Xalors son adh´erence Aest connexe.
2) Si Xcontient une partie connexe partout dense alors Xest connexe
3) Si A⊂B⊂Aavec Aconnexe, alors Best connexe.
D´emonstration : (1) Supposons que A=F1∪F2o`u Fet F2sont deux ferm´es disjoints de A; alors nous avons:
A= (A∩F1)∪(F2∩A) mais comme Aest connexe, on aura (A∩F1) = ∅ou bien (F2∩A) = ∅et donc
(F2∩A) = Aou bien (A∩F1) = A. Nous aurons alors A⊂Fi(i= 1 ou 2), et donc A=Fice qui entraine que
l’autre ferm´e est vide.
(2) C’est imm´ediat
2

(3) Dans le sous-espace topologique (B, τB), Aest une partie connexe donc l’adh´erence de Adans Bnot´ee
ABest connexe, mais alors AB=A∩B=B.
Remarque 7 : 1) L’int´erieur d’une partie connexe n’est pas toujours connexe, en effet, dans R2l’union de
deux disques ferm´es et tangents est connexe mais son int´erieur est la r´eunion disjointe de deux boules ouvertes.
2) La fronti`ere d’une partie connexe n’est pas toujours connexe, pour s’en convaincre il suffit de prendre un
intervalle de R.
Proposition 8 : Soit ( Xi)i∈Iune famille d’espaces topologiques et X= Π
i∈IXil’espace topologique produit. X
est connexe si et seulement si pour tout i∈I,Xiest connexe.
D´emonstration : Si Xest connexe alors pour tout i∈I,Xiest connexe car c’est l’image de Xpar la i`eme
projection priqui est continue. R´eciproquement, soit f:X→ {0,1}−(discret) une application continue. Soit
a= (ai) un point fix´e dans Xle probl`eme est de montrer que pour tout x= (xi)∈X, nous avons f(x) = f(a).
Consid´erons pour cela l’ensemble A={x= (xi)∈X / xi=aisauf pour un nombre fini d’indices i}on a :
A=X(voir proposition 5, §II.2). Maintenant, il suffit pour conclure de montrer que Aest connexe.
Soit x= (xi)∈Atel que xi=aipour tout i6=j, l’application partielle fj=f◦sj´etant constante sur
Xj(car connexe), on d´eduit que fj(xj) = fj(aj) , c’est `a dire f(x) = f(a) ; par cons´equent en ´echangeant une
coordonn´ee de aon ne modifie pas f(a). Il en r´esulte que si on modifie un nombre fini de composantes de a,
f(a) reste constante; donc fest constante sur A.
0.0.2 §III.2.Composantes connexes
D´efinitions et propri´et´es.
D´efinition 1 : Deux points de Xsont connect´es s’il existe une partie connexe de Xqui les contient.
Par exemple si Xest connexe, tous ses points sont connect´es.
Proposition 2 : Dans Xla relationeux ”x∼y⇔xet yxont connect´es ” est une relation d’´equivalence. La
classe de xest not´ee C(x). C’est la plus grande partie connexe de Xcontenant x.
D´emonstration : Montrons que pour tout x∈X,C(X) est la plus grande partie connexe contenant x.
Consid´erons E={A⊂X / A connexe et x∈A}; c’est un ensemble non vide car il contient d´eja {x}.
Soit E=∪
A⊂EA;Eest connexe car x∈ ∩ A∈EA, de plus tous les points de Esont connect´es `a x; donc E ⊂ C(X).
Par ailleurs, pour tout y∈C(X), il existe A∈Etel que xet y∈Aet donc y∈ E et donc C(X)⊂ E.
C(x) est appel´ee la composante connexe de x; c’est donc la plus grande partie connexe de Xcontenant x.
Les composantes connexes d’un esapce topologique Xsont celles de ses points.
L’espace Xest dit totalement discontinue si pour tout x∈X,C(x) = {x}.
Notons que les composantes connexes de Xforment une partition de X, ce sont en effet les classes
d’´equivalences. Dire que Xest connexe revient `a dire que Xn’a qu’une seule composante connexe.
Exemples :
1) Si Xest muni de la topologie discr`ete, alors il est totalement discontinu car toute partie de Xdont le cardinal
d´epasse 1 n’est pas connexe
2) Le sous-espace Qde Rest totalement discontinu car toute partie Anon vide connexe de Qreste connexe
dans R,Aest alors un intervalle contenu dans Qc’est donc un singleton.
Proposition 3 : a) Les composantes connexes de (X, τX)sont ferm´ees. En g´en´eral elles ne sont pas ouvertes
b) Si f:X→X0est une application continue, alors pour tout x∈X,f(C(x)) ⊂C(f(x)). Si fest un
hom´eomorphisme, alors f(C(x)) = C(f(x)).
c) Soit x= (x)ii∈I∈X= ΠXion a : C(x) = ΠC(xi)
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D´emonstration : (a) : Pour tout x∈X,C(x) est connexe, et d’apr´es §III.1 Proposition 6, son adh´erence C(x)
est aussi connexe. Comme elle contient xalors C(x)⊂C(x). D’o`u l’´egalit´e. C(x) n’est pas en g´en´erale ouverte;
par exemple, si X=Qmuni de la topologie induite par celle de R, on a C(x) = {x}qui n’est pas un ouvert de
Q.
(b) : C’est imm´ediat car f(C(x)) est un connexe qui contient f(x). Si en plus fest un hom´eomorphisme,
f−1est continue donc f−1(C(f(x))) ⊂C(x) d’ou f(f−1(C(f(x)))) ⊂f(C(x)), i.e : C(f(x)) ⊂f(C(x)).
(c) : Comme les projections prisont continues, alors pour tout x= (xi), pri(C(x)) ⊂C(xi), donc
C(x)⊂ΠC(xi). Inversement, pour tout i∈I,C(xi) est connexe, donc ΠC(xi).est un connexe qui contient x,
donc.ΠC(xi).⊂C(x).
Remarque : 1) D’apr´es (b) de la proposition ci-dessus, le nombre de composantes connexes est un invariant
topologique. Il mesure ”le degr´e” de non connexit´e de l’espace.
2) Le produit d’espaces totalement discontinus est un espace totalement discontinu.
Espaces localement connexes
D´efinition 4 : Un espace topologique (X, τX)est localement connexe, si tout point xde Xadmet un syst`eme
fondamental sf(x)de voisinages connexes.
Ceci revient `a dire que ∀x∈X, et ∀V∈v(x) , ∃ωun voisinage connexe de xtel que ω⊂V
Exemples :
-Xmuni de la topologie grosi`ere est localement connexe sf (x) = X
-Xmuni de la topologie discr`ete sf (x) = {x}
- Tout ouvert de Rn.
Proposition 5 : 1) L’int´erieur d’une partie localement connexe est localement connexe.
2) La connexit´e locale est une propri´et´e topologique
D´emonstration : (1) Soit Aune partie localement connexe, et x∈
◦
A, tout voisinage Vde xdans
◦
Aest un
voisinage de xdans A, il va donc exster un voisinage connexe ωde xcontenu dans V, mais V⊂
◦
A, donc
◦
Aest
localement connexe.
(2) Soit f:X→X0un hom´eomorphisme d’un espace localement connexe Xsur X0.∀y∈X0, et ∀V∈
v(y), f−1(V)∈v(x) ”x=f−1(y)” mais Xest localement connexe, donc il existe un voisinage connexe ωde
xtel que, ω⊂f−1(V) , mais ceci entraine que f(ω)⊂V, et comme fest un hom´eomorphisme f(ω) est
voisinage connexe de y.
Remarque :
- Ni l’adh´erence, ni la fronti`ere d’une partie localement connexe ne sont g´en´eralement localement connexes. Par
exemple :
A={1,1
2,· · ·,1 n,· · ·} est un sous-espace discret de R, il est donc localement connexe. Son adh´erence
A=A∪ {0}n’est pas localement connexe; en effet, aucun voisinage Vde 0 dans An’est connexe, puisqu’il
existe un indice nsuffisament grand pour que 1
n∈V; et 1 nest un ouvert ferm´e non vide et diff´erent de V.
- Un espace localement connexe n’est pas n´ecessairement connexe
- L’image par une application continue d’un espace localement connexe n’est pas toujours localement connexe.
prendre par exemple X=N, et A={0,1,1
2,···,1 n,···} muni de la topologie induite par celle de Ret f:X→A
qui `a n6= 0 associe f(n) = 1
net f(0) = 0. L’espace discret Xest localement connexe, fest continue, mais A
n’est pas localement connexe.
Proposition 6 :mathbf Un espace topologhique (X, τX)est localement connexe si et seulement si les
composantes connexes de tout ouvert de Xsont ouvertes.
D´emonstration : Supposons Xlocalement connexe, et soit U∈τX.Notons CU(x)la composante connexe de
Ucontenant x∈U. Soit y∈CU(x)on a bien sur, U∈v(y), et comme Xest localement connexe, il va exister un
voisinage connexe V0∈v(y)tel que V0⊂U, et alors on a V0⊂CU(y) = CU(x); donc CU(x)∈v(y).
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R´eciproquement, Soit x∈X,V∈v(x), et A=C◦
V(x). Aest un ouvert, donc Aest un voisinage de x, de
plus Aest un connexe contenu dans Vdonc Xest localement connexe.
0.0.3 §III.3.Espaces connexes par arcs
D´efinition 1 :mathbf Soient (X, τX)un espace topologique, et x, y ∈X. Un chemin d’extr´emit´es x, y dans
Xest une application continue γ: [0,1] →Xtelle que γ(0) = xet γ(1) = y.
Un espace Xest dit localement connexe par arcs si tout point de Xposs`ede un syst`eme fondamental de
voisinages cinnexes par arcs.
Exemples :
1) Tout ensemble Xmuni de la topologie grossi`ere est connexe par arcs.
2) Tout sous-espace convexe de Rnest connexe par arcs.
3) Tout ensemble Xmuni de la topologie discr`ete est localement connexe par arcs, en effet on prend pour
syst`eme fondamental de voisinages de x∈X:s(x) = {{x}}.
Proposition 2 : L’image d’un espace connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
D´emonstration : C’est imm´ediat
Proposition 3 : Tout espace topologique (X, τX)connexe par arcs.est connexe
D´emonstration : Soit x0∈X, pour tout x∈Xil existe un chemin continue γxde x0`a x. Posons Γx=γx([0,1])
. C’est une partie connexe de Xqui contient x0et x, donc xet x0sont connect´es. Ainsi tout point xde Xest
conn´ect´e `a x0, ce qui revient `a dire que C(x0) = X. Donc Xest connexe.
La r´eciproque de cette proposition n’est pas vraie. Il existe des espaces qui sont connexes sans ˆetre connexes
par arcs. Exemple A={(x, sin 1
x)0≤x≤1}est un espace connexe qui n’est pas connexe par arcs.
Une composante connexe par arcs d’un espace Xest un sous-espace connexe par arcs maximal de X.
D´efinition 4 : Un espace topologique (X, τX)est localement connexe par arcs, si tout point xde Xadmet un
syst`eme fondamental sf (x)de voisinages connexes par arcs.
Exemples :
-Xmuni de la topologie discr`ete sf (x) = {x}
- Le produit de deux espaces localement connexes par arcs est connexe par arcs.
- Tout ouvert de Rn.
Proposition 5 : Dans un espace localement connexe par arcs, chaque composante connexe par arcs est ouverte.
D´emonstration : Supposons Xlocalement connexe par arcs, et C(x) la composante connexe par arcs de X
contenant x∈X. Soit y∈C(x) , comme Xest localement connexe par arcs, il va exister un voisinage connexe
par arcs V0∈v(y) tel que V0⊂X, et alors on a V0⊂C(y) = C(x); donc C(x)∈v(y).
Proposition 6 : Un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.
D´emonstration : En effet chaque composante connexe par arcs est ouverte , donc aussi ferm´ee 
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