LOIS A DENSITE

TES loi continues 1/8
LOIS A DENSITE
I.
Lois de probabilité à densité.
Dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre (du moins
théoriquement) toute les valeurs d un intervalle I de .
Ces variables aléatoires sont dites continues.
1.
Fonction de densité, variable aléatoire à densité.
Définition : On appelle fonction de densité de probabilité sur l intervalle I, toute fonction f telle que :
 f est positive sur I.
 f est continue sur I.
 l aire du domaine D délimité par la courbe de f dans un repère orthogonale et l axe des abscisses est 1.
Remarque : si I est un intervalle borné [a b] (ou ]a b[…), l aire de D est ………………...
I=[ 0,5 ; 0,5]
Exemple : montrer que la fonction f définie sur [0 10] par f(x)
sur [0 10].
I=
0,006(10x x²) est une fonction de densité
Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I et soit f une fonction de densité sur I.
On dit que X a pour densité la fonction f ou que X suit la loi de densité f si pour tous réels a et b de I,
P(a
X
2.
b)
Propriétés.
Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant la loi de densité f. Alors, pour tous réels a et b de I :
1) P(X a) ………..
2) P(a X b) P(X b) P(X a)
3) P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
4) P(XI) ……..
Justification :
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Exemple : La production quotidienne, en tonnes, X d un produit est une variable aléatoire continue qui prend
ses valeurs dans l intervalle [0 10] qui suit la loi de probabilité de densité f, où f est la fonction définie sur
[0 10] par f(x) 0,006(10x x²). On a montré dans l exemple précédent que f était une fonction de densité.
1.
Calculer P(X 7).
2.
Calculer la probabilité que la production dépasse 6 tonnes.
3.
La production dépasse 6 tonnes. Quelle est la probabilité qu elle soit inférieure à 7 tonnes ?
3.
Espérance mathématique.
Définition : Soit X une variable aléatoire suivant la loi de densité f sur l intervalle [a b]. L espérance
……………….
mathématique de X est le réel défini par E(X)
Exemple : Calculer l espérance de la variable aléatoire X de l exemple précédent. Interpréter.
II.
Loi uniforme sur un intervalle [a b].
Définition : a et b sont deux nombres réels tels que a
b. La loi uniforme sur [a b] est la loi ayant pour
densité de probabilité la fonction constante définie sur [a b] par ………………….
Soient a,b,c et d quatre réels tels que a
[a b].
P(c X d)
.
E(X)
c
d
b. et X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
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Propriétés : Soient a et b deux réels avec a b et soit la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur
[a b]. Alors :
 pour tous réels c et d tels que a c d b, P(c X d) …………….
 E(X)
…………………………….
Exemple 1 :
On choisit un nombre réel au hasard dans l intervalle [ 50 200]. On note X le nombre choisi.
1.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2.
Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit 100 ?
3.
Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit supérieur ou égal à 150 ?
4.
Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit inférieur à 0 ou supérieur à 100 ?
Exemple 2 :
Dans un supermarché, un jour de grande affluence, le temps d attente T à la caisse, en minutes, suit la loi
uniforme sur l intervalle [2 20].
1.
Définir la fonction de densité de probabilité f de la loi de T.
2.
Quelle est la probabilité pour que le temps d attente à la caisse soit inférieur à un quart d heure ?
3.
Quel est le temps d attente moyen à la caisse ?
III. La loi normale (0;1).
Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :
La répartition du QI dans la population
La taille des conscrits en 1907
Ces courbes sont des courbes en forme de cloche.
Le poids d une population de chatons
L âge des dirigeants de sociétés en France
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On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de
causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante (conditions de
Borel). Historiquement, cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812).
C’est pourquoi elle porte également les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss.
La distribution normale est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation mathématique
qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement
observées s’en rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche » (beaucoup d’individus autour de la
moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon symétrique).
Rappel :
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
X associe le nombre de succès lors de n répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Dans ce cas, E(X)=np et σ(X)= np(1−p) .
On réalise des histogrammes pour différentes valeurs de n, en faisant en sorte que l aire totale de
l histogramme soit 1 (l aire de chaque rectangle correspond à la probabilité).
On pose alors Y
On pose Z
Y
On a alors E(Z)
X np. On a E(Y)
=
0 : la variable est alors centrée.
X np
np(1 p)
0 et (Z) 1. La variable Z est centrée et réduite.
Pour des grandes valeurs de n l’histogramme de la variable Z décrit une
courbe en cloche.
Cette courbe est proche de celle de la fonction définie sur
x2
1
(x)
e 2.
2
par
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1.
Définition.
Définition : Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité de probabilité
x²
1
est la fonction définie sur IR par : (x) =
e 2 . Cette loi est notée (0 1).
2
b
On a alors, pour tous réels a et b tels que a b, P(a Z b)  (t)dt.
a
Remarques :
 La courbe de est la courbe de Gauss ou courbe en cloche.
 est continue et strictement positive sur IR et on admet que l aire totale sous la courbe est égale à 1. est
donc bien une fonction de densité.
 La probabilité que Z soit compris entre a et b est l’aire du domaine sous la courbe en cloche entre les droites
d’équations x = a et x = b.
 La courbe représentative de est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
En particulier P(Z 0) = ………..
 Il n est pas possible de déterminer une forme explicite de
primitives de la fonction . On utilise donc des tables ou la
calculatrice pour donner une valeur approchée des intégrales.
Dans la suite, Z est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
2.
Calculs de probabilités.
Exemples :
On donne P(0 Z 1)
0,34
En utilisant la courbe de la fonction
1. calculer P( 1 Z 1)
2. Calculer P( 1
Z
3. Calculer P(Z
1)
4. Calculer P(Z
1)
5. Calculer P(Z
1)
0)
:
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Propriété (admise) : P( 1,96
IV. Loi normale (
1. Définition
Z
1,+6)
………………
²)
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale
(
²) si
X
suit la loi
(0 1).
Propriété admise : Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi N( ; ²), alors son espérance est  et
son écart-type est .
Remarque : Une loi normale N( ; ²) est une loi à densité, il existe une fonction g définie sur
pour tous réels a et b,
P(a  X  b) =

b
a
g (t )dt . L’expression de g n’est pas au programme.
L’allure des courbes de densité est entièrement déterminée par les valeurs de 
et  :
La courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation x μ.
P(Z
) =…………..
L’espérance  est un paramètre de position, il localise la zone où les
réalisations de X ont le plus de chance d’apparaître.
L’écart-type  est un paramètre de dispersion. Plus  est faible, moins les
réalisations de X sont dispersées autour de .
2.
Calculs de probabilités.
Utilisation de la calculatrice pour calculer P(a
Casio :
Menu Stat
Z
b):
TI :
Distrib
Choisir DIST : touche F5
Choisir normalcdf( ou normalFrep
Choisir NORM : touche F1
Entrer a, b, ,
Choisir Ncd : touche F2
Data : choisir Variable
Lower : entrer la valeur de a
Upper : entrer la valeur de b
: entrer
: entrer
Exemples :
Dans tous les exemples qui suivent, X suit la loi
Déterminer .
Calculer P( 1 X 2)
Calculer P(X 1)
Méthode 1 :
(2;9).
en séparant par des virgules.
telle que
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On utilise la courbe de la fonction
qui a pour axe de symétrie la droite d’équation x
Méthode 2 : autorisée au bac mais ne donnera pas tous les points en contrôle.
On calcule à la calculatrice P ( 1099 X 1)
Calculer P(X 2,5)
Méthode 1 :
On utilise la courbe de la fonction .
Méthode 2 : autorisée au bac mais ne donnera pas tous les points en contrôle.
On calcule à la calculatrice P ( 1099 X 2,5)
Calculer P(X
0,4)
Méthode 1 :
On utilise la courbe de la fonction .
Méthode 2 : autorisée au bac mais ne donnera pas tous les points en contrôle.
On calcule à la calculatrice P (0,4 X 1099)
Calculer P(X 2,4)
On utilise la courbe de la fonction .
Méthode 2 : autorisée au bac mais ne donnera pas tous les points en contrôle.
On calcule à la calculatrice P (2,4 X 1099)
3.
Valeurs remarquables à retenir.
μ, c'est-à-dire x
2.
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Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N( ; ²).
On a :
P(Xϵ[ - ; + ]) ……….
P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) …….
P(Xϵ[ -3 ; +3 ])
4.
Déterminer la valeur de a telle que P(X a) p, où p est donné.
Casio :
TI :
Menu Stat
Distrib
Choisir DIST : touche F5
Choisir FracNormale
Choisir NORM : touche F1
Entrer p, ,
en séparant par des virgules.
Choisir InvN : touche F2
Data : choisir Variable
Trail : choisir Left
Area : entrer la valeur de p
: entrer
: entrer
Exemple: La variable aléatoire X suit la loi (3 4).
1. Déterminer σ
2. Sans la calculatrice, en utilisant le cours, déterminer P(−3 X 9)
3. Sans la calculatrice, en utilisant le cours, déterminer la valeur du réel a tel que P(X
4. A la calculatrice, déterminer la valeur du réel a tel que P(X a) 0,3.
a)
0,5.
V. Exemples d application des lois normales.
Exemple 1. Une étude menée sur l eau du robinet provenant d un même captage affirme que la quantité, en
mg.L 1, de nitrates suit la loi normale d espérance 30 et d écart type 8.
Selon le code de la santé publique, la teneur en nitrates doit être inférieure à 50mg.L 1. Quelle est la
probabilité que l eau du robinet provenant de ce captage présente un risque pour la santé ?
Exemple 2. Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne la
masse en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale (120 225). Les
proabilités seront arrondies au millième.
1. Quelle est la masse moyenne d une ration de viande ?
2. Quelle est la probabilité pour qu une ration de viande ait une masse comprise entre 110g et 135g.
3. Quelle est la probabilité pour que la masse d une ration de viande dépasse 130g ?
4. Sur un prospectus déchiré, on peut encore lire :
90% de nos morceaux ont une masse supérieure ou égale à Compléter le prospectus.