DM1 Corrigé - MP*1
Centrale-MP-2005
Partie I- Le modèle de Thomson
I-A-La force ressentie par l’électron est une force de rappel. Tout se passe comme si
l’électron était lié au centre O de la sphère par un ressort de raideur k.
I-B-1-La force
est une force centrale. Montrons que le moment cinétique se conserve :
; le mouvement est donc
plan dans le plan perpendiculaire au moment cinétique.
I-B-2- Le moment cinétique au temps est dans la direction . Le mouvement est donc
dans le plan .
On applique la loi de la quantité de mouvement à l’électron :
et on projette sur une
base cartésienne ce qui donne : ; ; .
On donne les conditions initiales : et . D’où les équations du mouvement :
;
; .
I-B-3-La trajectoire est une ellipse. On a
et
ce qui donne
équation d’une ellipse centrée en O.
I-B-4-
.
I-B-5- .
I-B-6-Si le moment cinétique est nul, la trajectoire est une droite. On retrouve l’analogue avec
une particule ponctuelle liée à un ressort que l’on tire sans vitesse initiale.
Partie II- Du modèle de Thomson à celui de Rutherford
II-A-Si on considère l’interaction entre une particule et un électron. On est dans la situation
où la masse de la particule est très grande devant la masse de l’électron. Celle-ci n‘est pas
affectée par la présence de l’électron.
II-B-1-
II-B-2- On suppose que la force
est sur la direction .
On applique la loi de la quantité de mouvement à la particule :
ce qui donne :
et
soit : et
;
On suppose que ce qui donne
. On a alors une vitesse
. L’angle de déviation est donné par sa tangente :
soit :
.
II-B-3 -Si une feuille d’or contient 400 plans la particule peut être déviée 400 fois et on
a : soit . Or dans l’expérience certaines particules sont déviées d’un
angle supérieur à Le modèle de Thomson n’est pas le bon.
II-C-1- On parle de modèle planétaire car les électrons gravitent autour du noyau selon une
interaction de type newtonien en
.
II-C-2-L’énergie d’interaction est :
.
II-C-3-On a déjà répondu à cette question dans le I. Il s’agit d’une force centrale, le moment
cinétique est constant et le mouvement est dans le plan perpendiculaire au vecteur moment
cinétique.
II-C-4-La trajectoire est une hyperbole dont B est un
foyer.
II-C-5-On dérive le vecteur :
.
Mais
et
on a donc :
II-C-6-A l’état initial on a et ce qui donne :
et on a
D’où :
II-C-7-A l’instant final la norme de la particule reste mais elle est déviée d’un angle .
On a ; ;
Ce qui donne :
,
II-C-8-Comme
on en déduit deux équations :
;
En introduisant l’angle moitié on constate que ces deux équations sont identiques et
donnent :
soit
II-C-9-a- L’énergie mécanique de la particule s’écrit :
, ce qui
donne
Le moment cinétique s’écrit : ce qui donne en éliminant entre les deux
équations :
.
II-C-9-b- A la distance minimale d’approche on a ce qui donne :
soit
. Cette équation du second degré admet une solution
positive :
B
𝜑
x
y
. La plus petite distance est obtenue pour Pour cette valeur
on a
Partie III- Modèle semi-quantique de Bohr
III-A-1-On suppose que l’électron a une trajectoire circulaire autour du noyau sous l’action
d’une force électrique attractive :
. On applique la loi de la quantité de
mouvement à l’électron :
ce qui donne
soit :
et
III-A-2-La force ressentie par l’électron est une force centrale. Elle dérive d’une énergie
potentielle :
. L’énergie mécanique est :
mais
en tenant compte de l’expression de la vitesse trouvée dans la question précédente, on a
III-A-3-Il faut trouver une expression de l’énergie en fonction du moment cinétique. Le
moment cinétique est :
ce qui donne
. On a donc
soit
ce qui donne :
III-A-4-On a
. Bohr pose
. On en déduit la
relation:
ce qui permet de donner l’expression de la constante de
Rydberg :
1
/
3
100%
