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M6. Exercices.
Mouvement d’une particule
chargée dans un champ
électromagnétique.
M6.1. Action d'un champ électrique. Optique électronique.
Les électrons seront considérés comme des particules non relativistes de masse m se déplaçant
dans le vide.
Deux surfaces équipotentielles L1 et L2, représentées par deux électrodes planes et parallèles
transparentes aux électrons, portées respectivement aux potentiels V 1 et V2, délimitent trois régions
dans un espace traversé par un fin pinceau d'électrons. Les surfaces équipotentielles ont des
dimensions suffisamment grandes pour que l'on puisse les considérer comme des plans infinis.
On désigne par Oz un axe perpendiculaire aux surfaces L 1 et L2 situées respectivement en z= 0 et
z = a. On suppose que la région (1) ( z  0 ) et la région (3) ( z  a ) forment respectivement deux
domaines équipotentiels respectifs V1 et V2. Le potentiel dans la région (2) ( 0  z  a ) est variable
entre V1 et V2.
1) Un électron émis sans vitesse initiale par une source éloignée maintenue au potentiel zéro
pénètre dans le domaine équipotentiel V1. Quelle est sa vitesse v1 à l'intérieur de ce
domaine?
2) Cet électron atteint la surface L1 sous l'incidence i1 et émerge de la surface L2 sous
l'incidence i2 avec une vitesse v2. Exprimer le théorème de l'énergie cinétique entre L1 et L2.
3) On suppose V1 > V2 . Quelle est la direction du champ électrique E dans la région (2)? En
déduire une relation entre i1, i2, v1 et v2.
4) A l'aide de la relation précédente et du théorème de l'énergie cinétique, établir une relation
entre V1, sin i1 , V2 et sin i2.
Dépend-elle de a? En supposant a > 0, le système et la relation précédente vous rappellentils un système optique? Préciser les analogies.
Les surfaces équipotentielles L1 et L2 sont maintenant constituées de deux calottes sphériques
concentriques d'axe D, de rayons respectifs R1 et R2. Elles délimitent comme précédemment trois
régions dont deux domaines équipotentiels respectivement notés (1) et (3) et de potentiels V 1 et V2.
Le système est étudié dans les mêmes conditions que précédemment.
M6. Exercices. 1/3
5) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour l'électron entre I et J.
6) Compte tenu de la symétrie du dispositif quelle est la direction du champ électrique?
7) On considère le vecteur moment cinétique L = OM  mv , OM est le vecteur position de
l'électron et v son vecteur vitesse, et le moment de la force M = OM  F. Déterminer la
relation liant la dérivée temporelle du moment cinétique et le moment de la force électrique.
8) Compte tenu des questions 6 et 7, que peut-on dire du moment cinétique de l'électron sur la
trajectoire IJ?
En déduire une relation entre V1, R1, sin i1 d'une part, et V2, R2, sin i2 d'autre part.
M6.2. Action d'un champ magnétique. Déflexion magnétique. Mouvement hélicoïdal.
Des électrons non relativistes pénètrent dans une région W d'épaisseur L o où règne un champ
magnétique uniforme Bo perpendiculaire à la vitesse incidente vo des électrons.
1) Donner l'expression de la force qui s'exerce sur un électron. Montrer que la trajectoire décrite
par un électron dans la région W est circulaire. Préciser en particulier le rayon de cette
trajectoire ro et la pulsation o du mouvement en fonction de m, e, vo et Bo.
Pour résoudre cette question, on considérera un repère orthonormal o, x, y , z. Les électrons
arrivent à t = 0 au point O avec une vitesse initiale v0 colinéaire à l'axe Oz. Le champ Bo sera
dirigé selon Oy. La région W est comprise entre les plans z = 0 et z = L.
2) Quelle déviation  = (L) - (0) a subi la trajectoire d'un électron à la sortie de la région W,
(z) étant l'angle que fait la vitesse de l'électron à l'abscisse z avec l'axe Oz.
3) La vitesse incidente des électrons à l'entrée de la région W fait maintenant un angle a avec
la direction du champ B ( tout en étant perpendiculaire à Ox). Montrer que le mouvement de
l'électron est alors hélicoïdal, c'est-à-dire qu'il résulte de la composition d'un mouvement
circulaire uniforme ( dont on précisera la pulsation  et le rayon r en fonction de o et ro et
de l'angle  ), et d'un mouvement rectiligne uniforme dont on précisera la vitesse va.
4) Déterminer le pas de l'hélice, c'est-à-dire la distance parcourue selon l'axe pendant une
période de rotation.
M6.3. E et B orthogonaux. Cycloïde.
A l'instant pris pour origine des dates une particule de masse m et de charge q est immobile dans
le vide en un point représentant l'origine des espaces. On établit à cet instant un champ magnétique
constant B et un champ électrique E.
1) Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de la particule. On posera
qB

.
m
E
2) Trouver les équations paramétriques de la trajectoire. On posera R 
.
B
3) Donner l'allure de la trajectoire.
4) Exprimer la valeur de la vitesse à l'instant t en fonction de E, B,  et w. Calculer la valeur de

celle-ci pour t 

5) Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
M6. Exercices. 2/3
M6.4. Précession de Larmor
Une particule A (masse m, charge électrique q) est soumise à l’action d’un champ magnétique B
uniforme et constant dirigé suivant l’axe Oz du référentiel du laboratoire. À l’instant choisi comme
origine, la particule est en O. On se propose d’étudier le mouvement de A dans le référentiel R’
tournant autour de B de telle sorte que la projection P de A dans le plan Oxy soit fixe dans R’ .
1) Ecrire dans R’ la loi fondamentale de la dynamique.
2) En déduire trois équations scalaires en projetant la relation précédente dans la base de R’.
3) Montrer que la coordonnée radiale  oscille avec une pulsation L que l’on exprimera en
fonction de la pulsation cyclotron c = qB/m.
M6.5. Focalisation électrique dans un condensateur cylindrique
Une source ponctuelle émet des électrons à l’intérieur d’un condensateur cylindrique. Pour une
vitesse d’émission vo appropriée, un électron décrit une trajectoire circulaire, de rayon ro,
concentrique avec les armatures et située à mi-distance entre elles. On se propose d’étudier le
mouvement d’un électron émis avec une vitesse voisine de vo et faisant un angle  petit avec vo.
1) Ecrire en coordonnées polaires (r,  ) les équations différentielles du mouvement dans un
plan de section du condensateur.
A quelle condition sur ro, o et Eo, valeur du champ correspondant, la trajectoire est-elle
circulaire?
r
2) On pose r =r - ro. Etablir, à l’ordre un, que    o (1  ) ,  O étant la valeur de  , lorsque la
rO
trajectoire est circulaire,
3) Quelle est l’équation différentielle à laquelle satisfait r? Montrer que les trajectoires se
recoupent après avoir décrit un angle que l’on déterminera.
M6. Exercices. 3/3