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M4
Rotation autour d’un axe fixe
Exercices
Exercice A Ordres de grandeur de moments cinétiques
Calculer un moment cinétique
(1) On considère tout d’abord un électron en mouvement circulaire uniforme autour du noyau d’un atome. On donne le rayon de sa
trajectoire r e = 5,3 · 10−11 m, sa fréquence de rotation f e = 6,6 · 1015 Hz ainsi que sa masse me = 9,1 · 10−31 kg. Calculer le moment
cinétique de l’électron par rapport au centre du noyau.
(2) On considère maintenant que la Lune est en rotation circulaire uniforme autour de la Terre. On donne le rayon de sa trajectoire
r l = 3,8 · 105 km, sa période de révolution T l = 27,3 jours, ainsi que sa masse ml = 7,3 · 1022 kg. Calculer le moment cinétique de
la Lune par rapport au centre de la Terre.
Exercice B Le modèle de Bohr
Calculer un moment cinétique
Le modèle de B OHR est un modèle de l’atome semi classique: il postule une quantification du moment cinétique de l’électron ainsi que
celui-ci circule selon des trajectoires circulaires uniformes pour expliquer des résultats expérimentaux, en particulier la quantification de
l’énergie.
Nous étudions un atome d’hydrogène constitué d’un proton situé en O, de masse mp et de charge qp = +e ainsi que d’un électron situé
en M, de masse me et de charge qe = −e. Comme B OHR, nous supposerons que l’électron est animé d’un mouvement circulaire uniforme,
nh
, où n est un
de rayon R et à la vitesse v, autour de O et que le moment cinétqiue de l’électron par rapport à O est quantifié σO (M ) =
2π
entier naturel positif et h la constante de PLANCK.
On se place dans le référentiel du proton supposé galiléen.
(1) Déterminer une relation entre R, v, me , n et h.
(2) En utilisant le fait que l’électron n’est soumis qu’à la force électrostatique (justifier rapidement) ainsi que la nature du mouvement,
trouver une nouvelle relation entre R et v.
(3) Montrer alors que R = a0 n2 où a0 , le rayon de B OHR est une constante que l’on exprimera puis calculera.
(4) Montrer alors que l’énergie mécanique de l’électron peut se mettre sous la forme E m = −
à la force électrostatique E p =
Données:
h = 6,64 · 10−34 J · s
E0
. On donne l’énergie potentielle associée
n2
−e2
. Exprimer et calculer E0 en électrons-volts (1 eV = 1,602 · 10−19 J).
4π"0 R
"0 = 8,84 · 10−12 F · m−1
me = 9,1 · 10−31 kg
1
e = 1,6 · 10−19 C
M4 Rotation autour d’un axe fixe
Exercices
Exercice C Rotation d’une masse accrochée à un ressort
On considère une table à coussin d’air horizontale sur laquelle peut se mouvoir, sans frottements, un mobile autoporteur
ponctuel
M de masse m accroché à l’extrémité d’un ressort.
€
Š
−
→ −
→
La table forme le plan O, e x , e y , l’extrémité fixe du ressort est située en O. La table à
coussin d’air permet de compenser le champ de pesanteur terrestre qui est dirigé le long de la
−
→
→
verticale descendante −
g = −g ez . Le ressort possède une longueur à vide l0 et sa constante de
raideur est notée k.
Calculer un moment cinétique
Calculer un moment de force
Utiliser le théorème du moment cinétique
−
→
ez
M
θ
−
→
ey
O
−
→
ex
(1) Montrer que le moment cinétique −
σ→
O (M ) du point M par rapport à O est conservé au cours du mouvement.
(2) À t = 0, le mobile M est abandonné en A x = 65 l0 , y = 0 sans vitesse initiale.
(a) Calculer −
σ→
O (M ) et en déduire la nature de la trajectoire.
−→
(b) Établir l’expression de OM (t) et indiquer dans quel intervalle varie la longueur du ressort.
(3) On prend de nouvelles conditions initiales,
−→
−
→ →
−
→
v (t = 0) = l1 ω0 e y
OM (t = 0) = l1 e x et −
€
Š
−
→
de manière à ce que le mobile autoporteur adopte un mouvement de rotation autour de l’axe O, ez .
(a) Exprimer en fonction de m, l1 et ω0 la norme σ de −
σ→
O (M ).
(b) Montrer que l’énergie mécanique de M se conserve au cours du mouvement et donner son expression.
1
(c) Montrer que cette énergie peut être écrite sous la forme E m = mṙ 2 + E p,ef (r) où E p,ef (r) représente une énergie potentielle
2
−
→
effective (comme si la masse n’avait qu’un mouvement selon e r ) à exprimer en fonction de r, σ, k, l0 et m. Pour faire apparaitre
σ on pourra le calculer en fonction des coordonnées et remplacer θ̇ dans l’énergie potentielle.
(d) Tracer l’allure de la fonction E p,ef (r) et en déduire pourquoi la masse ne peut jamais atteindre O ni s’en éloigner infiniment.
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