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Chapitre 4
Topologie des
espaces m´etriques

422 Chapitre 4. Topologie des espaces m´etriques
4.1 El´ements de topologie g´en´erale
4.1.1 Espaces topologiques
D´efinition 4.1.1 Soit Eun ensemble. On appelle topolo-
gie sur Etoute partie Tde P(E)v´erifiant les propri´et´es
– (i) ∅ ∈ T et E∈ T
– (ii) A, B ∈ T ⇒ A∩B∈ T
– (iii) Pour toute famille (Ui)i∈Id’´el´ements de T,[
i∈I
Ui
appartient `a T.
Les ´el´ements de Ts’appellent les ouverts de la topologie. On
appelle espace topologique un couple (E, T)d’un ensemble
Eet d’une topologie Tsur E.

4.1. El´ements de topologie g´en´erale 423
Remarque 4.1.1 On d´eduit de la propri´et´e (ii) que toute
intersection finie d’ouverts est encore un ouvert.
Exemple 4.1.1 {∅, E}est une topologie sur Eappel´ee la
topologie grossi`ere ; de mˆeme P(E) est une topologie sur E
appel´ee la topologie discr`ete.

424 Chapitre 4. Topologie des espaces m´etriques
4.1.2 La topologie de R
D´efinition 4.1.2 On dit qu’une partie Ide Rest un in-
tervalle ouvert si elle est de l’une des formes suivantes
– (i) I=]a, b[= {x∈R|a < x < b}
– (ii) I=]a, +∞[= {x∈R|a < x}ou I=] − ∞, a[=
{x∈R|x < a}
– (iii) I=] − ∞,+∞[= R
On v´erifie facilement que cet ensemble not´e Iest stable
par intersection finie (car on a un ordre total). Soit alors
Tl’ensemble des r´eunions de familles d’intervalles ouverts.
On v´erifie facilement la proposition suivante

4.1. El´ements de topologie g´en´erale 425
Proposition 4.1.1 Test une topologie sur Rappel´ee la
topologie usuelle.
Th´eor`eme 4.1.1 Soit Uune partie de R. On a ´equivalence
de
– (i) Uest un ouvert pour la topologie usuelle
– (ii) ∀x∈U, ∃Ix∈ I, x ∈Ix⊂U
D´emonstration 4.1.1 ((i)⇒(ii)) Si U=[
k∈K
Iket x∈U,
alors ∃k∈K, x ∈Iket Ix=Ikconvient.