Topologie des espaces métriques I

ÉCOLE POLYTECHNIQUE –
Topologie des espaces m´etriques I
Topologie des espaces m´etriques I Frank Pacard 1 / 1

D´efinition
Soit Xun ensemble et d:X×X→R+.
D´efinition
On dit que dest une distance sur Xsi :
(i) d(x,y)=0si et seulement si x=y(s´eparation) ;
(ii) ∀x,y∈X,d(x,y) = d(y,x)(sym´etrie) ;
(iii) ∀x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y) + d(y,z)(in´egalit´e triangulaire).
On dit alors que (X,d)est un espace m´etrique.
Topologie des espaces m´etriques I Frank Pacard 2 / 1

Exemples
Exemple : Sur tout ensemble non vide X, on peut d´efinir la distance discr`ete
d(x,y) := (0 si x=y
1 si x6=y.
Exemple : Soit (E,k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E. On peut munir Xde la
distance
d(x,y) := kx−yk.
Topologie des espaces m´etriques I Frank Pacard 3 / 1

Exemple
Exemple : On peut munir C(R;K) de la distance de la convergence uniforme
d∞(f,g) := min 1,sup
x∈R
|f(x)−g(x)|.
Topologie des espaces m´etriques I Frank Pacard 4 / 1

Exemple
D´em : Soient f,g,h∈C(R;K).
Si d(f,h) = 1 ou si d(h,g) = 1, il est clair que
d(f,g)≤d(f,h) + d(h,g).
Sinon, on a
|f(x)−g(x)|≤|f(x)−h(x)|+|h(x)−g(x)|,
pour tout x∈Ret par cons´equent
|f(x)−g(x)| ≤ sup
x∈R
|f(x)−h(x)|+ sup
x∈R
|h(x)−g(x)| ≤ d(f,h) + d(h,g).
et finalement, d(f,g)≤d(f,h) + d(h,g). 
Topologie des espaces m´etriques I Frank Pacard 5 / 1