Topologie des espaces métriques I

Topologie des espaces métriques I
ÉCOLE POLYTECHNIQUE –
Topologie des espaces métriques I
Frank Pacard
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Définition
Soit X un ensemble et d : X × X → R+ .
Définition
On dit que d est une distance sur X si :
(i) d(x, y ) = 0 si et seulement si x = y (séparation) ;
(ii) ∀x, y ∈ X , d(x, y ) = d(y , x) (symétrie) ;
(iii) ∀x, y , z ∈ X , d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z) (inégalité triangulaire).
On dit alors que (X , d) est un espace métrique.
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Exemples
Exemple : Sur tout ensemble non vide X , on peut définir la distance discrète
(
0
si x = y
d(x, y ) :=
1
si x =
6 y.
Exemple : Soit (E , k k) un espace vectoriel normé et X ⊂ E . On peut munir X de la
distance
d(x, y ) := kx − y k.
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Exemple
Exemple : On peut munir C (R; K) de la distance de la convergence uniforme
d∞ (f , g ) := min 1, sup |f (x) − g (x)| .
x∈R
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Exemple
Dém : Soient f , g , h ∈ C (R; K).
Si d(f , h) = 1 ou si d(h, g ) = 1, il est clair que
d(f , g ) ≤ d(f , h) + d(h, g ).
Sinon, on a
|f (x) − g (x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g (x)|,
pour tout x ∈ R et par conséquent
|f (x) − g (x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g (x)| ≤ d(f , h) + d(h, g ).
x∈R
x∈R
et finalement, d(f , g ) ≤ d(f , h) + d(h, g ).
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Boules ouvertes et boules fermées
Si (X , d) est un espace métrique, ∀x ∈ X et ∀r > 0, on note
B(x, r ) := {y ∈ X : d(x, y ) < r },
la boule ouverte
Bf (x, r ) := {y ∈ X : d(x, y ) ≤ r },
la boule fermée,
de centre x ∈ X et de rayon r > 0.
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Exemple
Exemple : Sur Z, on considère la distance
(
0
si
n=m
1
si
n 6= m.
d(n, m) :=
Pour cette distance
B(n, 1/2) = Bf (n, 1/2) = {n} et
Bf (n, 1) = Z,
pour tout n ∈ Z.
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Exemple
Exemple : Sur l’ensemble X := [0, 1[ , muni de la distance usuelle d(x, y ) := |x − y |, on
vérifie que
B(0, 1/2) = [0, 1/2[ ,
B(1/2, 1/2) = ]0, 1[ ,
B(1/2, 1) = [0, 1[ ,
et
Bf (0, 1/2) = [0, 1/2] ,
Bf (1/2, 1/2) = [0, 1[ ,
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Bf (1/2, 1) = [0, 1[.
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Définition
U ⊂ X est un ouvert de (X , d) si
∀x ∈ U,
∃r > 0,
B(x, r ) ⊂ U.
On appelle topologie associée à la métrique d l’ensemble Td constitué des ouverts de (X , d).
∅, X sont des ouverts de (X , d).
Pour tout x ∈ X et r > 0, B(x, r ) est un ouvert de (X , d).
Dém : Si y ∈ B(x, r ), on a |z − x| ≤ |z − y | + |y − x|, donc B(y , r − |y − x|) ⊂ B(x, r ). Topologie des espaces métriques I
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Propriétés
Proposition
Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert de (X , d).
Dém : Soit (Oi )i∈I une famille quelconque d’ouverts de (X , d) et x ∈
S
Oi .
i∈I
Il existe j ∈ I tel que x ∈ Oj , qui est un ouvert. Donc, il existe r > 0 tel que
[
B(x, r ) ⊂ Oj ⊂
Oi ,
i∈I
ce qui montre que
S
i∈I
Oi est un ouvert.
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Propriétés
Proposition
Une intersection finie d’ouverts est un ouvert de (X , d).
Dém : Soit (Oi )i∈I une famille finie d’ouverts de (X , d) et x ∈
T
i∈I
Oi .
Pour tout j ∈ I , il existe rj > 0 tel que B(x, rj ) ⊂ Oj . Notons r := mini∈I ri . La famille I
est finie donc r > 0.
Par construction B(x, r ) ⊂ Oi pour tout i ∈ I . Donc
\
B(x, r ) ⊂
Oi ,
i∈I
ce qui montre que
T
i∈I
Oi est un ouvert.
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Définition
F ⊂ X est un fermé de (X , d) si son complémentaire X − F est un ouvert de (X , d).
∅, X , sont des fermés de (X , d).
Pour tout x ∈ X et r > 0, Bf (x, r ) est un fermé de (X , d).
Une réunion finie de fermés est un fermé de (X , d).
Une intersection quelconque de fermés est un fermé de (X , d).
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Attention : On considère X = R, muni de la distance usuelle. On a
\
] − 1j , 1 + 1j [ = [0, 1],
j≥1
et
[
[ 1j , 1 − 1j ] = ]0, 1[ ,
j≥2
ce qui montre qu’une intersection (réunion) quelconque d’ouverts (de fermés) n’est pas
nécessairement un ouvert (un fermé).
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