( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) Terminale S Exercices du Chapitre 10 « Loi Normale

Exercice 1 :
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale
(
)
10,0.3
B.
Réaliser un histogramme de cette loi.
Exercice 2 :
Si une variable aléatoire X suit la loi
(
)
0,1
N, utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées à
3
10 près
−
de
(
)
(
)
(
)
0.3 0.6 0.5 et 0.1
P X P X P X− ≤ ≤ ≤ ≥
Exercice 3 :
On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On suppose que
X suit la loi normale de moyenne 178 et d'écart-type 10.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
1) A : « Un homme interrogé au hasard a une taille supérieure ou égale 180 »
2) B : « Un homme interrogé au hasard a une taille strictement inférieure à 150 »
3) C : « Un homme interrogé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 »
Exercice 4 : Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois
(
)
2
0,N
σ
et
(
)
0,1
N
1) Montrer que
( )
5
0, 5P X P Z σ
σ
∀ > < = <
2) Donner le réel x tel que
(
)
0.8
P Z x< =
3) En déduire la valeur de
σ
telle que
(
)
5 0.8
P X < =
Exercice 5 : Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois
(
)
2
,4
N µ et
(
)
0,1
N
1) Montrer que
( )
20
, 20 4
µ
µ P X P Z − ∀ ∈ > = > »
2) Donner le réel x tel que
(
)
0.01
P Z x> =
3) En déduire la valeur de µ telle que
(
)
20 0.01
P X > =
Exercice 6 : On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population avec une moyenne de 1 g/l et un
écart-type de 0.03 g/l. On mesure la glycémie chez un individu.
1) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit inférieure à 1.06.
2) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit comprise entre 0.94 et 1.08.
3) On mesure la glycémie chez 1000 individus.
Donner le nombre moyen d’individus dont la glycémie est supérieure à 0.99.
4) Donner le taux moyen de la glycémie dans la population.
Exercice 7 :
Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre. Par suite de
variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flocon est une variable aléatoire de loi normale de
moyenne m et d’écart type 1.1 mg. Les flacons sont vendus comme contenant 100 mg de produit.
1) La machine est réglée sur
101.2 mg
m
=
. Quelle est la probabilité que le poids de produit dans un flacon soit inférieur
au poids annoncé de 100 mg ?
2) Donner une valeur approchée de la valeur de m sur laquelle il faut régler la machine pour qu’au plus 4 % des flacons
aient un poids inférieur au poids annoncé de 100 mg ?
1
ère
méthode : On pourra tracer la courbe de la fonction
( )
(
)
,1.1
100
N x
x P X→ ≤
.
2
ème
méthode : On pourra utiliser la démarche de l’exercice 5.
Terminale S Exercices du Chapitre 10 « Loi Normale »
21/03/2013

Exercice 8 : (BTS biochimie 1994)
On effectue des contrôles d’alcoolémie d’automobilistes dans une région donnée, un jour donné, pendant une période
horaire donnée. Les statistiques permettent d’établir que la probabilité pour qu’un automobiliste choisi au hasard dans les
conditions précédentes présente un contrôle positif est
1
50
. On considère un échantillon de la population constitué de
2000 automobilistes dont on veut contrôler le taux d’alcoolémie dans les conditions précédentes. On appelle X la variable
aléatoire comptant le nombre de contrôles positifs parmi ces 2000.
1) Quelle loi suit la variable X ? En donner les paramètres. Calculer l’espérance et l’écart type de X.
2) Calculer la probabilité que X soit compris entre 33 et 43.
3) Est-il raisonnable d’utiliser une approximation normale pour calculer cette probabilité ?
Quels sont alors ses paramètres.
4) En utilisant cette loi normale calculer les probabilités
(
)
(
)
36 et 33 43 .
P X P X≥ ≤ ≤
Exercice 9 : (BTS biochimie 1998)
Dans un pays d’Afrique, 15% de la population est atteinte du virus du sida.
Partie A :
La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui doit être négatif si le sujet est sain, et positif si le sujet est
contaminé.
La probabilité qu’un test soit positif sachant que le sujet est sain est 0.004.
La probabilité qu’un test soit négatif sachant que le sujet est contaminé est 0.024.
On choisit un individu au hasard dans ce pays.
1) Calculer la probabilité que le test soit positif et l’individu sain.
2) Calculer la probabilité que le test soit négatif et l’individu contaminé.
3) En déduire la probabilité que le résultat soit erroné.
Partie B :
Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population. On
suppose que l’effectif de la population est très grand. On suppose que les risques d’erreur du test sont négligeables et on
admet que la probabilité qu’un test réalisé sur une personne prise au hasard soit positif est 0.15. On appelle X la variable
aléatoire qui compte le nombre de tests positifs sur les 500 tests effectués.
1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer son espérance et son écart type.
2) Par quelle loi peut-on approcher la loi définie ci-dessus ?
3) En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que plus de 80 individus soient positifs au test.
Exercice 10 :
Un revendeur de téléphones désire s’implanter dans une galerie marchande.
Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes.
Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marque A réalise 38.6 % du marché.
1) On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre d’appareils de marque A vendus ce jour-là.
2) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Préciser ces paramètres.
b) Calculer la probabilité que , sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de marque A.
Calculer l’espérance de X . Calculer l’écart type à 0.1 près.
3) On décide d’approcher cette loi par une loi normale de paramètres µ et
σ
a) Expliquer pourquoi
15.44 et 3
µ
σ
= =
b) On note Y la variable aléatoire qui suit la loi normale
(
)
15.44,3
N.
Donner une valeur approchée à 0.01 près de
(
)
19.5 20.5
P Y≤ ≤
c) Déterminer la probabilité de l’événement : « un jour donné, 20 au moins des appareils vendus sont de marque
A ».
d)
Déterminer une valeur approchée de l’événement : « un jour donné, le nombres d’appareils de marque A vendus
est compris entre 15 et 25 ».
.

Exercice 12 : 110 du livre page 407
Un fabricant de diodes électroluminescentes (LED) garantit que la probabilité qu’une diode ne fonctionne pas vaut au
plus 0.03. Pascal s’est fait livrer 5000 diodes. On note X le nombre de diodes défectueuses parmi les 5000 diodes et F
leur fréquence.
1) Quelle est la loi suivie par X ?
2) D’après Moivre-Laplace, dans quel intervalle fluctue F avec une probabilité 0.95 ?
3) En déduire que X fluctue à plus de 95% dans l’intervalle [127,174].
Pascal a constaté que 172 diodes ne fonctionnaient pas dans le lot de 5000 qu’il a commandé.
Il trouve que ce nombre est trop élevé. Peut-il considéré que le lot est « non conforme » ?
4) Quelle est la probabilité pour qu’un lot ne soit pas conforme ?
5) Si le lot de Pascal n’avait contenu aucune diode défectueuse, aurait-il été considéré comme
conforme ?
6) Pascal trouve cette règle de décision absurde, il propose une autre règle : si le lot contient moins de
170 diodes défectueuses, alors il est jugé conforme. Suivant cette nouvelle règle, qu’elle est la
probabilité qu’un lot ne soit pas conforme ?
7) Quelle règle de décision vous parait plus adaptée au problème : celle de fabricant ou celle de Pascal ?
8) Selon sa règle de décision, le lot reçu par Pascal est-il conforme ?