i. introduction

Compétence 5
La géométrie
BACCALAUREAT PROFESSIONNEL
TRIGONOMETRIE
Option : Services aux personnes et aux territoires
Prérequis : Maîtriser le calcul numérique, les puissances
I. INTRODUCTION
La trigonométrie a déjà 3 000 ans. La discipline religieuse, en posant un certain nombre de
problèmes liés au calendrier (pour célébrer des fêtes religieuses), a donné un élan décisif à
l'épanouissement de l’astronomie mathématique. L'étude des astres a conduit les mathématiciens a
établir des tables permettant le passage de la mesure des angles (θ), la longueur des cordes [AB] et
la valeur des arcs.
L'unité d'angle d'Hipparque de Nicée (-190 ; -120) était
le degré qu'il partageait en 60 minutes, et les minutes en
60 secondes. il introduit la division du cercle en 360°
rayon1=AO=OB , on a
Pour un cercle de
AB=2sin(θ /2) et donc une relation entre le sinus de
l'angle et la corde.
L'origine des noms
 Tangente ça vient du latin "tangere", toucher (désigne la droite qui "touche" le cercle
trigonométrique au point étudié)
 Sinus vient d'une confusion de traduction de l'arabe au latin. En arabe, "gaybr" désignait à la
fois l'ouverture au niveau de la poitrine d'un vêtement et la demi-corde de l'angle double
(notre sinus actuel). Quand les mathématiciens latinistes ont cherché à traduire ce terme, ils
l'ont traduit par "sinus" qui signifiait "pli de la toge" en latin.
 Cosinus d'un angle c'est le sinus du complémentaire de cette angle, d'où l'appellation "co sinus"
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Une table, c'est quoi ?
Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) sont des algorithmes, c'est-à-dire une
succession d'opérations (additions, soustractions, multiplications, divisions) faisant intervenir les
nombres en puissance et les nombres factoriels. Les factorielles ont de nombreuses applications en
théorie des nombres (rappel
). Le développement de TAYLOR nous donne les
équations décrivant l’approximation du sinus, cosinus ou tangente d’un angle autour de 0.
Heureusement, la table trigonométrique donne
les résultats en fonction des angles en degrés
La table trigonométrique était très utile lorsque la
calculatrice n’existait pas
Aujourd'hui, la calculatrice réalise toutes ces opérations (notice de CASIO GRAPH 35 +)
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II-CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Soit un triangle rectangle, traçons un cercle autour, d'unité 1.
Le cosinus de l'angle est alors l'absisse du
point B.
Le sinus est son ordonnée.
Nous voyons ainsi que le cosinus et le sinus
d'un angle sont toujours des nombres compris
entre -1 et 1.
Dans un triangle RECTANGLE, nous avons les relations suivantes :
sin( x)=
opposé
hypoténuse
cos(x)=
adjacent
hypoténuse
tan (x )=
opposé
adjacent
Pour mieux retenir les formules utilisez la petite astuce pour s'en souvenir : Soh Cah Toa !!
S = sinus, C = cosinus, T = tangente, O = opposé, A = adjacent, H = hypoténuse
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III-APPLICATION EN PHYSIQUE
En physique, lors de l’étude du bilan des forces appliquées à un objet sur un plan incliné, le cercle
trigonométrique est indispensable pour l’exercice.



Vecteurs : Poids P , Réaction du sol R , Force de frottement F
Exemple : Soit un objet de masse m=50kg et gravité g=10N/kg
Le poids P=m×g
P=50×10
P=500 N
Le plan est incliné d’un angle α = 20°
Le Poids est toujours perpendiculaire à l’horizontale
 
Ecriture des coordonnées des vecteurs par rapport au repère O; i ; j 
 Px  P  cos(250)
α’=270°-20°=250°  P
Py  P  sin(250)
 Px  500  cos(250)  171N
P
Py  500  sin(250)  470 N
 Rx  R  cos(90)
R
Ry  R  sin(90)
 Rx   Py  cos(90)  0 N
R
Ry   Py  sin(90)  470 N
 Fx  F  cos(0)
F
Fy  F  sin(0)
 Fx   Px  cos(0)  171N
F
Fy   Px  sin(0)  0 N
A l’équilibre la somme des forces est nulle
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
La norme d’un vecteur correspond à une longueur donc, nous pouvons écrire P  P
Le cercle trigonométrique
 Px  P  cos(270   )
P
Py  P  sin(270   )
 Px  ..............................N
P
Py  ..............................N
 Px  ....................N
P
Py  ....................N
IV-FORMULES UTILES
formules additions
formules de duplication
en appliquant le théorème de Pythagore
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V-VALEURS REMARQUABLES
Certaines valeurs du sinus et du cosinus sont à connaître par coeur, pour les apprendre tu peux
apprendre le dessin.
Angle
0°
x
30°
45°
60°
90°
Cos(x)
1
0
Sin(x)
0
1
Les valeurs de la tangente d'un angle se calculent, lorsque cos(x)≠0, avec la formule
.
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