Chapitre 9 – Lois de Probabilité à Densité

Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 9 : Lois de Probabilité à densité
Chapitre 9 – Lois de Probabilité à Densité
A) Introduction
1) Lois de probabilités à densité
On appelle lois de probabilités à densité les lois de probabilités dans un univers de taille infinie,
autrement dit pour une expérience dont le nombre d’issues possibles est infini.
Exemple :
Imaginons pour prendre un exemple simple que l’on tire au hasard des nombres entre 0 et 1, 0 non
compris.
Si l’on parle de nombres réels (ou même décimaux), il y a une infinité d’issues possibles d’un tirage.
Dans le cas d’un univers fini, on se limiterait par exemple à 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9
et 1.
2) Comparaison entre un univers fini et un univers infini
a) Inadaptation du modèle fini
Reprenons l’exemple ci-dessus, et supposons une loi équiprobable, cela donnera une probabilité de 1/10
pour chaque nombre.
Si je passe à tous les nombres à 2 décimales compris entre 0 et 1, la probabilité de chacun deviendra
1/100 !
Prenons maintenant 9 décimales : on obtient 1/1 000 000 000 000 !!!
On comprend dès lors que si l’on prend tous les nombres décimaux (a fortiori tous les nombres réels),
chaque nombre aura une probabilité nulle d’apparaître.
b) Solution d’équiprobabilité pour un modèle infini sur [0 ; 1]
Il faut donc trouver un autre moyen pour définir la loi de probabilité que dans le cas fini...
Dans le cas d’équiprobabilité, on va dire que la probabilité d’un intervalle ]0 ; a] sera égale à la valeur de
a (a est entre 0 et 1), ce qui paraît raisonnable.
On peut remarquer que puisque la probabilité d’un nombre est nulle, p(]0 ; a]) = p([0 ; a]) = p([0 ; a[) : les
crochets ouverts ou fermés ne changent rien à la probabilité !
De même, les conditions "X < a" ou "X ≤ a" sont équivalentes ainsi que les conditions "X > a" et "X ≥ a",
ou plus précisément, on a p(X > a) = p(X ≤ a ) et p(X > a) = p(X ≥ a ).
On pourra désormais noter, pour simplifier l’écriture, p(]0 ; a]) = p(X < a).
On a donc p(X < a) = a.
Par exemple :
p(X < 0,5) = 0,5 : cela paraît naturel !
Il faut aussi vérifier que cette loi respecte les contraintes d’une loi de probabilité :
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- L’univers étant l’intervalle ]0 ; 1], on a bien p(Ω) = p(]0 ; 1]) = 1.
- Prenons deux nombres distincts a et b avec 0 < a < b < 1.
. I = ]0 ; a] et J = ]a ; 1] : il faudra avoir p(I) + p(J) = p(I U J), or ici la réunion de ces deux intervalles
est ]0 ; 1] = Ω, donc p(I) + p(J) = 1.
On en déduit que p(]a ; 1]) = 1 – p(]0 ; a]) = 1 – a ou encore p(X > a) = 1 – a.
. De même, on aura ;
p(X < a) + p(a < X < b) + p(X > b) = 1 d’où p(a < X < b) = 1 - a - (1 – b) = b – a.
La probabilité d’un intervalle est sa longueur, cela paraît naturel puisque c’est le quotient de sa longueur
par la longueur totale de l’intervalle-univers qui est de 1.
- Par rapport à la probabilité en univers fini, on ne peut plus parler de probabilité d’un événement
élémentaire, puisque ici elle serait nulle...
Calculer les probabilités suivantes :
p([0,5 ; 0,47]) =
p([0,002 ; 0,6]) =
p([1/3 ; 1/2]) =
c) Modélisation mathématique de cette probabilité
b
Dans le cas fini, on aurait p( a< X < b)=∑ p ( X i ) .
i =a
b
Pour passer à l’infini, on va utiliser l’intégrale au lieu de la somme : p( a< X < b)=∫ f ( x) dx , où la
a
fonction f(x) s’appellera la fonction de densité de la probabilité.
On remarquera que la fait d’employer ainsi une intégrale permet d’assurer la relation indispensable des
lois de probabilité qui est p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).
Il restera à s’assurer dans chaque cas que la probabilité de l’univers est bien égale à 1.
b
Ici, f(x) = 1 convient car
∫ dx=[ x ]ba=b – a .
a
B) Loi uniforme sur [a ; b]
1) Définition
On appelle loi uniforme sur un intervalle la loi de probabilité à densité qui correspond à l’équiprobabilité
en univers fini, c’est à dire que la probabilité de tout sous-intervalle sera proportionnelle à sa longueur.
Elle correspond à l’expérience qui consiste à choisir un nombre au hasard entre deux valeurs.
Sa fonction de densité est la fonction constante f ( x )=
1
b−a
.
d
On a donc pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b] : p([c ; d ])=∫
c
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1
dx .
b–a
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d
On peut aussi écrire : p( c< X < d )=∫
c
1
dx .
b–a
2) Propriétés
a) Probabilité d’un sous-intervalle
On peut écrire, puisque b - a est une constante :
d
[ ]
x
d –c
p( c< X <d )=
=
b – a c b−a
On vérifie aisément que p(Ω) = 1.
b) Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme
Par analogie avec le modèle fini, on définira l’espérance par :
b
E ( X )=∫ x f ( x)dx
a
Ce qui donne ici :
b
b
1
x2
b 2−a 2 (b−a )(b+a ) b+ a
E ( X )=∫ x
dx=
=
=
=
.
b–a
2 (b−a) a 2(b−a)
2 (b−a)
2
a
D’où le résultat :
a +b
E ( X )=
2
[
]
c) Variance et écart-type
De même on définira variance et écart-type par :
b
V ( X )=∫ ( x – E ( X )) 2 dx
σ ( X )= √ V ( X )
et
a
Ce qui donne ici :
b
V ( X )=∫
a
(
a +b
x–
2
b–a
2
) dx=
1
b−a
[(
a+b
x–
2
3
)
3 b
] [(
=
a
1
b−a
3
b–
) (
a+b
a+ b
a–
2
2
−
3
3
soit :
V ( X )=
1
b−a
[
3
( ) ( )
b−a
2
3
a−b
2
−
3
3
] [
( )
b−a
2
1
=
2
b−a
3
3
]
=2
( b−a) 2 (b−a) 2
=
8×3
12
Donc :
(b – a) 2
V ( X )=
12
et
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σ ( X )=
b –a
√ 12
)
3
]
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C) Loi exponentielle sur [0;+∞[
1) Définition
Cette loi se rencontre dans la radioactivité et dans les mouvements amortis.
Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans [0;+∞[ suit la loi de probabilité exponentielle de
paramètre λ > 0 lorsqu’elle suit une loi dont la fonction de densité est f ( x )= λ e −λx .
On a alors :
b
p( a< X < b)=∫ λ e− λ x dx
a
On connaît les primitives de cette fonction de densité, on peut donc calculer :
b
b
p( a< X < b)=∫ λ e−λ x dx=[ −e−λ x ] a =e− λ a−e−λ b
a
En particulier,
b
−λx
p( X < b)=∫ λ e
−λ x b
0
dx =[ −e
] =1−e−λ b
0
On voit ici que lorsque b tend vers l’infini, p(X ≤ b) tend vers 1, donc on a bien p(Ω) = p([0;+∞[) = 1.
2) Propriétés
a) Autre définition
On peut aussi définir la loi exponentielle par la dernière formule ci-dessus, à savoir :
∀ b∈ [ 0 ; +∞ [ , p ( X ≤b)=1−e−λ b
Exemples :
Calculer p(X < 5) pour λ = 1, puis λ = 5 et λ = 10.
b) Espérance de X en loi exponentielle
+∞
E ( X )=∫ x λ e− λ x dx=
0
1
λ
(la démonstration de cette égalité n’est pas au programme)
c) Variance et écart-type
+∞
1 2 −λ x
1
V ( X )=∫ ( x – ) λ e dx = 2
λ
λ
0
d’où
σ ( X )=
1
λ
(la démonstration de ces égalités n’est pas au programme non plus)
3) Exemple
La durée de vie d’une diode est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,0008.
Calculer la probabilité qu’une diode tombe en panne :
- avant 4 000 heures
- pas avant 5 000 heures
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D) La loi normale sur ]-∞;+∞[
1) Définition
Une variable aléatoire X à valeurs dans ℝ suit la loi normale N(μ, σ) lorsque sa fonction de densité est
1
f ( x )=
e
σ √2 π
( )
−1 x – μ
2
σ
2
On a alors :
b
2
( ) dx
−1 x – μ
σ
1
p( a< X < b)=∫
e2
a σ√ 2π
2) Propriétés
a) Espérance et écart-type
E ( X )= μ
σ ( X )=σ
et
On parle donc de loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ.
(démonstrations non au programme)
b) Calcul de l’intégrale
Il n’existe pas d’expression mathématique explicite pour l’intégrale ci-dessus.
On admettra que p(Ω) = 1, c’est à dire que
+∞
1
∫ σ√2π e
−∞
probabilité.
2
( ) dx=1 , ce qui en fait bien une loi de
−1 x – μ
2
σ
Par contre, les calculatrices et les tableurs peuvent calculer sa valeur approchée pour a, b, μ et σ donnés.
c) Particularités de la fonction f(x)
La courbe de cette fonction est une courbe en cloche, son maximum est atteint lorsque x = μ , et elle est
symétrique par rapport à la droite verticale d’équation x = μ.
Par conséquent, on a p(X < μ) = p(X > μ) = 0,5.
3) Intervalles "1, 2, 3 sigmas"
Théorème (admis) :
Si une variable X suit la loi normale N(μ, σ), on aura :
p( μ – σ < X < μ+ σ)≈ 68 %
p( μ – 2 σ < X < μ+ 2 σ )≈ 95 %
p( μ – 3 σ < X < μ+3 σ )≈ 99,7 %
Ceci permet, lorsqu’on suppose qu’une variable suit une loi normale, de déterminer avec une précision
raisonnable la valeur de σ à l’aide de statistiques.
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Exemple :
Une entreprise fabrique des clous de 60 mm. On suppose que leur longueur suit la loi N(μ, σ).
On mesure une centaine de clous produits, choisis au hasard et on en fait la moyenne.
Logiquement, on trouve 60 mm (sinon, il y a peut-être un réglage à revoir) d’où μ = 60 mm.
On calcule alors le nombre de clous de longueur comprise entre 58 et 62 mm.
Si on en trouve 95, quelle valeur approchée doit avoir σ ?
Combien de clous y aura-t-il en dehors de l’intervalle [59 ; 61] ?
(on aura σ ≈ 1 mm et on devrait trouver environ 32 clous à plus de 1 mm de 60 mm)
4) Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
a) Rappel : loi binomiale
La loi binomiale de paramètres (n, p) est celle qui régit la variable aléatoire X = "nombre de succès
obtenus" dans la répétition n fois d’une épreuve de Bernoulli (expérience aléatoire à deux issues, succès
ou échec, où le succès a pour probabilité p et donc l’échec 1 - p) de manière indépendante (chaque
épreuve n’a pas d’incidence sur les autres).
X prend alors ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; … ; n} et on a :
()
n
p( X =k )=
=
k
n!
k ! (n−k )!
b) Propriété (admise)
Si une variable X suit la loi binomiale de paramètres (n, p) avec n > 30, n p > 5 et n (1 – p) > 5, Alors la
loi de X peut être approchée par la loi normale de même espérance et de même écart-type, soit N(μ, σ)
avec μ = n p et σ= √ n p (1− p) .
L’avantage de remplacer la loi binomiale par la loi normale est que l’on peut alors utiliser les résultats vus
ci-dessus.
Exemple :
Une entreprise fabrique des rondelles d’acier. La probabilité qu’une rondelle soit conforme au cahier des
charges est de 0,08.
Ces rondelles sont conditionnées en lots de 500. Le nombre de lots produits est suffisant pour qu’on
considère le choix de 500 rondelles comme un tirage sans remise.
On appellera X le nombre de rondelles non conformes par lot de 500.
a) Justifier que X suit une loi binomiale, et en préciser les paramètres.
b) On va approcher cette loi binomiale par une loi normale. En préciser les paramètres μ et σ à 0,01 près.
c) En utilisant cette loi normale donner la probabilité qu’un lot de 500 rondelles contiennent moins de 50
rondelles non conformes.
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Lois à densité – Fiche de révision
Loi de probabilité de densité f(x) sur ]a ; b[
b
d
∫ f ( x)dx=1
p(c< X <d )=∫ f ( x) dx
a
c
b
b
E ( X )=∫ x f ( x) dx
V ( X )=∫ ( x – E ( X ))2 f ( x)dx
a
a
Loi uniforme sur [a ; b]
d
p(c< X <d )=∫
c
1
dx
b –a
p(c< X <d )=
d –c
b−a
E ( X )=
a+ b
2
σ ( X )=
b–a
√ 12
Loi exponentielle sur [0 ; +∞[
b
p(a< X <b)=∫ λ e−λ x dx
p(a< X <b)=e−λ a−e−λ b
E ( X )=
a
1
λ
σ ( X )=
1
λ
Loi normale N(μ, σ) sur ]-∞ ; +∞[
b
1
p(a< X <b)=∫
e
a σ √2π
2
( ) dx
−1 x – μ
2
σ
E ( X )= μ
σ ( X )=σ
p( μ – σ < X < μ+ σ)≈ 68 %
p( μ – 2 σ < X < μ+ 2 σ )≈ 95 %
p( μ – 3 σ < X < μ+3 σ )≈ 99,7 %
Si une variable X suit une loi binomiale de paramètres (n, p) avec n > 30,
n p > 5 et n (1 – p) > 5, Alors la loi de X peut être approchée par la loi
normale de même espérance et de même écart-type, soit N(μ, σ) avec :
μ=np
et
σ = √ n p(1− p) .
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