Algèbre 9 – Matrices et AL

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Algèbre 9 – Matrices et AL
Indications ou solutions pour l’exercice 1 –
1 9 −1
1. 2
3 −1
2. Aidez-vous de l’échelonnement
pour décomposer les éléments f (b1 ), f (b2 ) et f (b3 ) dans cette
 de la base d’arrivée,

−1 1 −1
base. On obtient la matrice  2
1
3 .
−2 −1 −2
k
3.
, (formule du binôme) avec la convention ki = 0 si i > k.
(−a)k−i
i
06i,k6n
k k−i
4.
(formule du binome pour X k = (X − a + a)k , ou formule de Taylor)
a
i
06i,k6n


1 −1 0 · · ·
0

.. 
0 1 −1 . . .
. 




..
..
5. 0 0

.
.
0


.

.
.
..
. . −1
 ..
0 ··· ···
0
1


0
1 1 0
0
0 0 1

6. 
−1 0 0 1
0 −1 0 0
1 0 −2 · · · 2 − 2k · · · 2 − 2n
2 − 20 2 − 21 2 − 22 · · · 2 − 2k · · · 2 − 2n
7.
=
0 1 3 · · · 2k − 1 · · · 2n − 1
20 − 1 21 − 1 22 − 1 · · · 2k − 1 · · · 2n − 1
Indications ou solutions pour l’exercice 2 – Considérer b3 tel que f 2 (b3 ) 6= 0.
Indications ou solutions pour l’exercice 10 – S’aider du théorème des noyaux itérés, pour comprendre et construire
le raisonnement ; jordaniser, puis raisonner en formant de produits par blocs.
Indications ou solutions pour l’exercice 11 –
• Si un des coefficients de la colonne 1 est non nul, annuler le coeff a1,1 par une opération sur les lignes. Vérifier que
l’opération correspondante sur les colonnes ne perturbe pas.
• Sinon, si un coeff non diagonal est non nul, le ramener sur la première ligne ; même type de vérification. On est ramené
au cas précédent.
• Sinon, la matrice est diagonale. Si deux coefficients sont distints, s’arranger pour obtenir un coefficient diagonal non
nul par une opération sur les lignes.
• Sinon, conclure.
• Puis récurrence.
Indications ou solutions pour l’exercice 12 – Si u est de trace nulle, et non homothétie, considérer une base débutant
par x, u(x).
On pourra montrer que Ker(ϕ) est l’ensemble des matrices diagonales. Donner une des deux inclusions intéressantes pour
Im(ϕ)...
Indications ou solutions pour l’exercice 13 –
1. On pourra considérer l’image d’une certaine base.
2. On pourra considérer les matrices Ei,j .
1
Indications ou solutions pour l’exercice 14 – Utiliser le fait que tout hyperplan
est
noyau de X 7→ tr(AX), et
Ir 0
justifier qu’il suffit de trouver Y inversible tel que Jr Y soit de trace nulle, où Jr =
.
0 0
Indications ou solutions pour l’exercice 15 –
1. Si (b1 , . . . , bk ) est une base de S, montrer que (b1 , . . . , bk , f (b1 ), . . . , f (bk ), . . . , f p−1 (b1 ), . . . , f p−1 (bk )) est une famille
libre.
2. (a) Par l’absurde, si ce n’est pas le cas, par telescopage, on trouve une dimension trop grande pour Ker(f q ).
(b) Notons d′ le saut de dimension entre Ker(f q0 −1 ) et Ker(f q0 ). Restreindre f à Ker(f q0 ). L’argument de la
question 1, permet de construire une famille libre de cardinal q0 d′ . Compter les vecteurs de cette famille qui
sont dans Ker(f q ).
3. Montrer que la famille de la question 1 est une base, et la réordonner comme il faut... Ça se devine par analyse/synthèse.
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