Géométrie, points entiers et courbes entières

G´eom´etrie, points entiers et courbes enti`eres
Pascal Autissier
To cite this version:
Pascal Autissier. G´eom´etrie, points entiers et courbes enti`eres. Annales Scientifiques de l’´ Ecole
Normale Sup´erieure, Elsevier Masson, 2009, 42 (2), pp.221-239.
HAL Id: hal-00174050
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Submitted on 21 Sep 2007
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hal-00174050, version 1 - 21 Sep 2007
G´eom´etrie, points entiers et courbes enti`eres
Pascal Autissier
21 septembre 2007
Abstract : Let Xbe a projective variety over a number field K(resp. over C). Let Hbe
the sum of “sufficiently many positive divisors” on X. We show that any set of quasi-integral
points (resp. any integral curve) in X−His not Zariski dense.
2000 Mathematics Subject Classification : 14G25, 11J97, 11G35.
1 Introduction
Soient Kun corps de nombres et Sun ensemble fini de places de K. On note OK;S
l’anneau des S-entiers de K. On s’int´eresse dans cet article aux solutions dans Or
K;Sde
syst`emes d’´equations du type
∀i∈ {1; ···;n}Fi(x1;···;xr) = 0 ,(∗)
o`u les Fisont des polynˆomes `a rvariables et `a coefficients dans OK;S. Pour formaliser cette
´etude, on utilise le langage de la g´eom´etrie alg´ebrique :
D´esignons par Yla “vari´et´e alg´ebrique” sur Kd´efinie par F1= 0,··· , Fn= 0. Tout
ensemble de solutions de (∗) dans Or
K;Sd´efinit alors un ensemble (de points) S-entier sur Y.
Le probl`eme est de donner des conditions g´eom´etriques suffisantes sur Ypour que tout
ensemble S-entier soit non Zariski-dense dans Y.
Dans la suite, on se donne Ysous la forme Y=X−D, o`u Xest une vari´et´e projective
sur Kde dimension d≥1 et Dun diviseur effectif sur X. L’esprit de la conjecture de Lang
et Vojta (cf conjecture 4.2 de [11] p. 223) est qu’une telle condition suffisante s’exprime en
termes de “positivit´e” de D:
Conjecture (Lang, Vojta) : Soit Xune vari´et´e projective lisse sur Kde diviseur canon-
ique KX. Soit Dun diviseur effectif sur X, `a croisements normaux. Posons Y=X−D. On
suppose KX+Dgros (par exemple ample) sur X. Alors tout ensemble S-entier sur Yest non
Zariski-dense dans Y.
Les th´eor`emes de Siegel et de Faltings [7] montrent cette conjecture lorsque Xest une
courbe. Plus g´en´eralement, cet ´enonc´e est connu de Faltings [8] lorsque Xest une sous-vari´et´e
de vari´et´e ab´elienne. Notons cependant que la conjecture est encore largement ouverte : le
1

cas o`u X=P2
Kn’est par exemple pas connu.
Dans cet article, on d´emontre des cas particuliers de cette conjecture, lorsque Da “suff-
isamment” de composantes irr´eductibles. Plus pr´ecis´ement, on prouve le r´esultat suivant (cf
section 2 pour les d´efinitions) :
Th´eor`eme 1.1 : Soit Xune vari´et´e projective sur Kde dimension d≥2. Soient
D1;···;Ddδ des diviseurs effectifs presque amples sur Xqui se coupent proprement deux
`a deux (avec δ≥2). On suppose que toute intersection de δ+ 1 quelconques d’entre eux est
vide. Posons Y=X−D1∪ · · · ∪ Ddδ. Alors Yest arithm´etiquement quasi-hyperbolique. En
particulier, tout ensemble E ⊂ Y(K)S-entier sur Yest non Zariski-dense dans Y.
Cet ´enonc´e am´eliore un r´esultat r´ecent de Levin (cf th´eor`eme 10.4A de [13]). En fait,
Levin a besoin de 2jδ+ 1
2kd+ 1 diviseurs au lieu de dδ.
On d´emontre en outre l’´enonc´e suivant (on prouve en fait un r´esultat plus g´en´eral) :
Th´eor`eme 1.2 : Soit Xune vari´et´e projective sur Kde dimension d≥2. Soient
D1;···;Drdes diviseurs effectifs amples sur Xqui se coupent proprement (avec r≥2d).
Posons L=
r
X
i=1
Diet Y=X−D1∪ · · · ∪ Dr. On suppose que le diviseur L−2dDiest nef
pour tout i∈ {1; ···;r}. Alors Yest arithm´etiquement quasi-hyperbolique.
L’hypoth`ese sur les L−2dDiest v´erifi´ee lorsque les Divivent dans un cˆone “suffisam-
ment ´etroit” du groupe de N´eron-Severi de X. L’int´erˆet de ce r´esultat r´eside dans le nombre
(potentiellement lin´eaire en d) de diviseurs `a consid´erer.
Remarquons que les th´eor`emes 1.1 et 1.2 s’inscrivent bien dans le cadre de la conjecture de
Lang et Vojta, puisque si Xest lisse sur Kde diviseur canonique KXet les Disont amples sur
X, alors KX+D1+···+Drest ample sur Xd`es que r≥d+2 (cf exemple 1.5.35 de [12] p. 87).
Les d´emonstrations reposent sur une extension (th´eor`eme 3.3) de travaux de Corvaja-
Zannier [5] et de Levin [13], qui donne des conditions g´eom´etriques de non-Zariski-densit´e des
points S-entiers, et sur un bon choix (th´eor`eme 4.4) de multiplicit´es associ´ees aux diviseurs
Di.
L’ingr´edient arithm´etique principal est la version de Vojta [18] du th´eor`eme du sous-
espace de Schmidt [15] et Schlickewei [14] (c’est un ´enonc´e d’approximation diophantienne
qui g´en´eralise le th´eor`eme de Roth).
Par ailleurs, Vojta [17] a d´evelopp´e un “dictionnaire” entre la g´eom´etrie diophantienne
et la th´eorie de Nevanlinna : l’´etude des points S-entiers sur les vari´et´es sur Kest mise en
analogie avec l’´etude des courbes enti`eres sur les vari´et´es complexes.
Pour ´etayer ce dictionnaire, on montre aussi les ´enonc´es qui “correspondent” aux th´eor`emes
1.1 et 1.2 :
2

Th´eor`eme 1.3 : Soit Xune vari´et´e complexe projective de dimension d≥2. Soient
D1;···;Ddδ des diviseurs effectifs presque amples sur Xqui se coupent proprement deux `a
deux (avec δ≥2). On suppose que toute intersection de δ+ 1 quelconques d’entre eux est
vide. Posons Y=X−D1∪ · · · ∪ Ddδ. Alors Yest Brody quasi-hyperbolique. En particulier,
toute courbe enti`ere f:C→Y(C)est d’image non Zariski-dense dans Y.
Th´eor`eme 1.4 : Soit Xune vari´et´e complexe projective de dimension d≥2. Soient
D1;···;Drdes diviseurs effectifs amples sur Xqui se coupent proprement (avec r≥2d).
Posons L=
r
X
i=1
Diet Y=X−D1∪ · · · ∪ Dr. On suppose que le diviseur L−2dDiest nef
pour tout i∈ {1; ···;r}. Alors Yest Brody quasi-hyperbolique.
Je remercie Antoine Chambert-Loir et Christophe Mourougane pour de fructueuses dis-
cussions.
2 D´efinitions et ´enonc´es
2.1 G´eom´etrie
Soit Kun corps de caract´eristique nulle.
Conventions : On appelle vari´et´e sur Ktout sch´ema quasi-projectif et g´eom´etriquement
int`egre sur K. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.
Soit Xune vari´et´e projective sur Kde dimension d≥1. Lorsque Lest un diviseur sur X
tel que h0(X;L)≥1, on d´esigne par BLle lieu de base de Γ(X;L) et par ΦL:X−BL→
P(Γ(X;L)) le morphisme d´efini par Γ(X;L). Pour tout diviseur effectif Dsur X, on note 1D
la section globale de OX(D) qu’il d´efinit.
D´efinition : Un diviseur Lsur Xest dit libre lorsque BLest vide.
D´efinition : Un diviseur Lsur Xest dit gros lorsque lim inf
n→+∞
1
ndh0(X;nL)>0.
D´efinition : Soit Lun diviseur gros sur X. On dit que Lest presque ample lorsqu’il
existe un entier n≥1 tel que nL soit libre.
D´efinition : Un R-diviseur Lsur Xest dit nef lorsque pour tout 1-cycle effectif Csur
X, on a L.C≥0 (o`u L.Cd´esigne le nombre d’intersection).
D´efinition : Soient D1et D2deux diviseurs effectifs sur X. On dit que D1et D2se
coupent proprement lorsque OX(−D1−D2) = OX(−D1)∩ OX(−D2).
D´efinition : Plus g´en´eralement, soient D1;···;Drdes diviseurs effectifs sur X. On dit
que D1;···;Drse coupent proprement lorsque pour toute partie Inon vide de {1; ···;r},
3

la section globale (1Di)i∈Ide M
i∈I
OX(Di) est r´eguli`ere (autrement dit, pour tout x∈\
i∈I
Di,
en notant ϕiune ´equation locale de Dien x, les (ϕi)i∈Iforment une suite r´eguli`ere de l’anneau
local OX;x).
Soit Lun diviseur sur Xtel que h0(X;L)≥1. Soient D1;···;Drdes diviseurs effectifs
non nuls sur X(avec r≥1). Notons Pl’ensemble des parties Inon vides de {1; ···;r}telles
que \
i∈I
Disoit non vide. Pour I∈ P,a= (ai)i∈NIet k∈N∗, on d´efinit le sous-espace
vectoriel VI;a;kde Γ(X;L) par
VI;a;k=X
b
ΓX;L−X
i∈I
biDio`u la somme porte sur les b∈NItels que X
i∈I
aibi≥k .
D´efinition : On pose ν(L;D1;···;Dr) = inf
I∈P inf
a∈NI−{0}
X
k≥1
dim VI;a;k
h0(X;L)X
i∈I
ai
.
On d´emontre `a la section 4 le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 2.1 : On suppose d≥2. Soient D1;···;Drdes diviseurs effectifs presque
amples sur Xqui se coupent proprement deux `a deux ; supposons que toute intersection de
δ+ 1 quelconques d’entre eux est vide (avec 2≤δ≤r). Il existe alors (m1;···;mr)∈N∗rtel
qu’en posant L=
r
X
i=1
miDi, on ait lim inf
n→+∞
1
nν(nL;m1D1;···;mrDr)>r dδ .
Posons λd=h1−1−1
dd+1id d+ 1. On prouve `a la section 5.2 l’´enonc´e suivant :
Th´eor`eme 2.2 : Soient D1;···;Drdes diviseurs effectifs non nuls et nefs sur Xqui se
coupent proprement. On suppose que L=
r
X
i=1
Diest ample. Soit θ > 1un r´eel tel que le
R-diviseur L−dθDisoit nef pour tout i∈ {1; ···;r}. On a alors la minoration
lim inf
n→+∞
1
nν(nL;D1;···;Dr)≥λdθ .
Remarque : On a λd>1
2pour tout d≥2. En outre, λdconverge vers 1 −e−1lorsque d
tend vers +∞.
2.2 Hyperbolicit´e
Lorsque Kest un corps de nombres et Sun ensemble fini de places de K, on note OK;S
l’anneau des S-entiers de K,i.e. l’ensemble des x∈Ktels que |x|v≤1 pour toute place finie
v /∈S.
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