Cours : Energie mécanique

Energie mécanique.
I.Travail d’une force.
Un corps soumis à une force peut se déformer temporairement ou définitivement, être mis en mouvement, changer de direction,
d'altitude, voire sa température augmenter.
1. Travail d'une force constante lors d'un déplacement rectiligne
Une force constante conserve sa direction, son sens et sa valeur au cours du temps.
Le point d'application de la force constante
F
se déplace rectilignement d'un point A à un point B :
F : valeur de la force en newtons (N)
AB = l : longueur du déplacement en mètres (m)
 : angle entre les vecteurs
F
et
AB
)(FWAB
: travail de la force en joules (J)
Travail moteur, résistant ou nul :
si  aigu ( 0° <  < 90° )
 cos  > 0
)(FWAB
>0 : travail moteur
si  angle droit ( = 90° )
 cos  = 0
)(FWAB
= 0 : travail nul :
si  obtus ( 90° <  < 180° )
 cos  < 0
)(FWAB
<0 : travail résistant
2. Travail d'une force lors d'un déplacement quelconque
Soit un déplacement quelconque de A vers B du point d'application d'une force
F
.
a.Travail élémentaire de la force
Sur un déplacement élémentaire
ld
(entre deux points très voisins de la
trajectoire), la force
F
peut être considérée comme pratiquement
constante.
Pour ce déplacement élémentaire
ld
le travail élémentaire de la force
F
est :
ldFFW 
 .)( 
b. Travail de la force sur le trajet AB
Pour le déplacement total de A à B le travail de la force
F
est la somme de tous les travaux élémentaires :
 B
A
B
A
AB ldFFWFW 
 .)()(
Remarque : si
F
est constante, on peut écrire :
ABFldFldFFW B
A
B
A
AB ...)( 
Le travail d'une force constante
F
, entre deux points A et B , est indépendante du chemin suivi
cos...)( lFABFFWAB  

3.Travail du poids
Soit un solide S de masse m dont le centre d'inertie G se déplace de A à B.
Le poids
gmP 
.
du solide est une force constante.
   B
A
B
A
AB ABPldPldPPW
cos....)( 
Donc :
Le travail du poids d'un corps ne dépend pas du chemin suivi, il dépend de la
différence d'altitudes entre le point de départ A et le point d'arrivée B .
mghzzmgPW BAAB  )()( 
pour un déplacement vers le bas.
4.Travail d'une force extérieure appliquée à l'extrémité d'un ressort
La force extérieure
e
F
exercée par un opérateur sur l'extrémité libre du
ressort de raideur k, l'autre extrémité étant fixe, est appelée tension du
ressort; elle est opposée à la force de rappel
F
exercée par le ressort
(3eme loi de Newton).
ixkFFe
..
Travail élémentaire de la force
e
F
.
Lorsque l'allongement du ressort passe de x à x+dx, dx étant très
petit, la force
e
F
peut être considérée comme constante et le travail
élémentaire s'écrit :
).).(..()..(.)( idxixkidxFldFFW eee
soit:
dxxkFW e..)( 
Expression du travail de
e
F
pour un déplacement fini :
Expression du travail de la force extérieure lorsque l'allongement algébrique du ressort passe de la valeur x1 à la valeur x2
Par méthode graphique :
Fe = k.x. La courbe de Fe en fonction de x est une droite passant par O.
Le travail élémentaire
dxxkFW e..)( 
de la force
e
F
pour allonger le
ressort de x à x+dx représente l'aire du rectangle de côtés Fe(x) et dx. ; celle-
ci est très proche de l'aire sous la droite Fe(x) entre x et x+dx car dx est très
petit.
Le travail
)(
12 e
FW 
pour passer de l’allongement x1 à l'allongement x2 , est
égal à la somme des travaux élémentaires
)( e FW 
. Il est donc très proche
de l'aire S du trapèze A1 A2 x2 x1 qui est égale à la différence entre les aires
S2 et S1 des triangles OA2 x2 et OA1x1.
2
1
2
211221212 .
2
1
.
2
1
)..
2
1
()..
2
1
()( xkxkxkxxkxSSSFW e
).(
2
1
)( 2
1
2
212 xxkFW e
Par intégration :
Le travail
)(
12 e
FW 
de la force
e
F
entre les points A1 d'abscisse x1 et A2 d'abscisse x2 est égal à la somme de tous les
travaux élémentaires entre A1 et A2 , cette somme est égale à l'intégrale définie :
)()( BAAB zzmgPW 
).(
2
1
)(
2
1
)( 2
1
2
212
2
12
2
1
2
1xxkFWkxkxdxFW e
x
x
x
x
e

Le travail de la force
e
F
appliquée à l'extrémité d'un ressort pour passer de l'allongement x, à l'allongement x2
s'exprime par :
II.Energies
1. Energie cinétique de translation
Définition :
L'énergie cinétique d'un solide indéformable de masse m est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement
Ec : énergie cinétique en joules (J)
m : masse en kg ;
v vitesse en m.s-1
Relation entre la variation d’énergie cinétique et la somme des travaux des forces appliquées
(Théorème de l'énergie cinétique)
La variation d'énergie cinétique d'un solide en translation dans un référentiel galiléen, entre deux positions A
et B, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre les positions A et B.
2. Énergie potentielle de pesanteur
L'énergie potentielle de pesanteur d'un corps en interaction avec la Terre est l'énergie qu'il possède du fait de
sa position par rapport à la Terre. La référence étant prise à l'altitude z = 0.
EPP : énergie potentielle de pesanteur en joules (J)
m : masse en kg
g : intensité de la pesanteur en m.s-2
z : altitude du centre d'inertie en mètre (m)
3. Énergie potentielle élastique d'un ressort
L'énergie potentielle élastique d'un ressort EPE est l'énergie qu'il possède du fait de sa déformation. La
référence étant prise pour x = 0 ( ressort détendu).
Cette énergie est égale au travail mécanique de la force extérieure
e
F
qu'un opérateur exerce sur le ressort
détendu pour retirer ou le comprimer.
EPE : énergie potentielle élastique en joules (J)
k : raideur en N.m-1
x : allongement algébrique en mètres (m)
Cette formule relie la déformation du ressort à l'énergie potentielle de déformation stockée.
Un allongement ou un raccourcissement d'une même valeur confèrent la même énergie potentielle de déformation.
Cette énergie est liée uniquement à la déformation du ressort. Lorsque le ressort est déformé, il possède cette
énergie même si l'opérateur n'agit plus sur lui.
4. Énergie mécanique d'un système
L'énergie mécanique d'un système est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie
potentielle.
5. Énergie mécanique du système « solide-ressort » horizontal
L'énergie mécanique du système est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie
potentielle élastique du ressort :
a.En l'absence de frottements :
)
2
cos()( 0
0
 t
T
xtx m
)
2
(cos)( 0
0
222
 t
T
xtx m
)
2
sin(
2
)( 0
00
 t
T
x
Tdt
dx
vtv mx
)
2
(sin
4
)( 0
0
22
2
0
2
2
 t
T
x
T
tv m
).(
2
1
)( 2
1
2
212 xxkFW e
2
.
2
1vmEC
 )()()( extABCCC FWAEBEE 
EPP = m g z
2
.
2
1xkEPE 
Em = EC + EP
22 .
2
1
.
2
1xkvmEEE PECm 

D’où :
)
2
(cos
2
1
)
2
(sin
4
2
10
0
22
0
0
22
2
0
2
 t
T
kxt
T
x
T
mE mmm
De plus :
m
k
T
k
m
T 2
0
2
04
2
Donc :
)
2
(cos
2
1
)
2
(sin
2
10
0
22
0
0
22
 t
T
kxt
T
x
m
k
mE mmm
)
2
(cos.
2
1
)
2
(sin.
2
10
0
22
0
0
22
 t
T
xkt
T
xkE mmm
))
2
(cos)
2
((sin.
2
10
0
2
0
0
22
 t
T
t
T
xkE mm
L'énergie mécanique du système « solide-ressort » est constante si le système évolue sans frottement :
Au cours d'une oscillation, il y a conservation
réciproque des énergies cinétique et potentielle
élastique. Il y a échange d'énergie entre le solide
et le ressort. (fig 11 p 307)
b.Avec des frottements :
En présence de frottements, l’énergie
mécanique diminue au cours du temps.
(fig 12 p 308)
La variation d’énergie mécanique, au cours d’une
certaines durée, est égale au travail des forces de
frottement :
0
1212  )f(WEEΔE mmm
teconsxkE mm tan.
2
12
teconsxkvmxkvmEEE mmPECm tan.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
12222 

6. Énergie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme
L'énergie mécanique du projectile est égale à la somme de son énergie cinétique de son énergie potentielle de
pesanteur :
a.En l'absence de frottements :
L'énergie mécanique est constante : Em = Ec + EPP = constante
Exemple : chute parabolique : projectile lancé avec une vitesse initiale inclinée par rapport à l'horizontale
t(s)
EC(J)
EP(J)
Em(J)
0
20
40
60
80
100
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
temps (s)
énergie (J)
EC(J) EP(J) Em(J)
0
90
0
90
0.15
73.68
16.32
90
0.3
59.08
30.92
90
0.45
46.22
43.78
90
0.6
35.08
54.92
90
0.75
25.67
64.33
90
0.9
17.99
72.01
90
1.05
12.04
77.96
90
1.2
7.82
82.18
90
1.35
5.32
84.68
90
1.5
4.56
85.44
90
1.65
5.52
84.48
90
1.8
8.21
81.79
90
1.95
12.63
77.37
90
2.1
18.78
71.22
90
2.25
26.66
63.34
90
2.4
36.27
53.73
90
2.55
47.61
42.39
90
2.7
60.67
29.33
90
2.85
75.46
14.54
90
b.En présence de frottements :
L'énergie mécanique diminue au cours du temps.
La variation de l'énergie mécanique, au cours d'une certaine durée, est égale au travail des forces de frottements :
0
1212  )f(WEEΔE mmm
zgmvmEEE PPCm ...
2
12