Cours : Energie mécanique

Energie mécanique.
I.Travail d’une force.
Un corps soumis à une force peut se déformer temporairement ou définitivement, être mis en mouvement, changer de direction,
d'altitude, voire sa température augmenter.
1. Travail d'une force constante lors d'un déplacement rectiligne
Une force constante conserve sa direction, son sens et sa valeur au cours du temps.
Le point d'application de la force constante

F se déplace rectilignement d'un point A à un point B :
F
: valeur de la force en newtons (N)
AB = l : longueur du déplacement en mètres (m)

: angle entre les vecteurs

F et AB

W AB (F ) : travail de la force en joules (J)


WAB ( F )  F . AB  F .l. cos 
Travail moteur, résistant ou nul :
si  aigu

si  angle droit ( = 90° )
( 0° <  < 90° )
cos  > 0

 W AB (F ) >0 : travail moteur

si  obtus ( 90° <  < 180° )
cos  = 0

 W AB (F ) = 0 : travail nul :
2. Travail d'une force lors d'un déplacement quelconque
Soit un déplacement quelconque de A vers B du point d'application d'une force
a.Travail élémentaire de la force
Sur un déplacement élémentaire


cos  < 0

W AB (F ) <0 : travail résistant

F.

dl (entre deux points très voisins de la

F peut être considérée comme pratiquement


Pour ce déplacement élémentaire dl le travail élémentaire de la force F

 
est : W ( F )  F .dl
trajectoire), la force
constante.
b. Travail de la force sur le trajet AB

F est la somme de tous les travaux élémentaires :


B
B  
WAB ( F )  A W ( F )  A F .dl
Pour le déplacement total de A à B le travail de la force


 B  
B  
F est constante, on peut écrire : WAB ( F )  A F .dl  F .A dl  F . AB

Le travail d'une force constante F , entre deux points A et B , est indépendante du chemin suivi
Remarque : si
3.Travail du poids
Soit un solide S de masse m dont le centre d'inertie G se déplace de A à B.
Le poids


P  m.g du solide estune
 force
 constante.
B
B 
WAB ( P)  A P.dl  P.A dl  P. AB. cos 

WAB ( P)  mg( z A  z B )
Donc :
Le travail du poids d'un corps ne dépend pas du chemin suivi, il dépend de la
différence d'altitudes entre le point de départ A et le point d'arrivée B .

WAB ( P)  mg( z A  z B )  mgh pour un déplacement vers le bas.
4.Travail d'une force extérieure appliquée à l'extrémité d'un ressort
La force extérieure Fe exercée par un opérateur sur l'extrémité libre du
ressort de raideur k, l'autre extrémité étant fixe, est appelée tension du
ressort; elle est opposée à la force de rappel F exercée par le ressort
(3eme loi de Newton).


Fe   F  k.x.i
Travail élémentaire de la force
Fe .
Lorsque l'allongement du ressort passe de x à x+dx, dx étant très
Fe peut être considérée comme constante et le travail

  



élémentaire s'écrit : W ( Fe )  Fe .dl  Fe .(dx.i )  (k.x.i ).(dx.i )

soit: W ( Fe )  k.x.dx
petit, la force
Expression du travail de
Fe pour un déplacement fini :
Expression du travail de la force extérieure lorsque l'allongement algébrique du ressort passe de la valeur x1 à la valeur x2
Par méthode graphique :
Fe = k.x. La courbe de Fe en fonction de x est une droite passant par O.

Le travail élémentaire
W ( Fe )  k.x.dx
de la force
Fe pour allonger le
ressort de x à x+dx représente l'aire du rectangle de côtés Fe(x) et dx. ; celleci est très proche de l'aire sous la droite Fe(x) entre x et x+dx car dx est très
petit.

Le travail W12 ( Fe ) pour passer de l’allongement x1 à l'allongement x2 , est

égal à la somme des travaux élémentaires W ( Fe ) . Il est donc très proche
de l'aire S du trapèze A1 A2 x2 x1 qui est égale à la différence entre les aires
S2 et S1 des triangles OA2 x2 et OA1x1.

1
1
1
1
W12 ( Fe )  S  S 2  S1  ( x2 .k.x2 )  ( x1 .k.x1 )  k.x22  k.x12
2
2
2
2


1
W12 ( Fe )  k .( x22  x12 )
2
Par intégration :

Le travail W12 ( Fe ) de la force Fe entre les points A1 d'abscisse x1 et A2 d'abscisse x2 est égal à la somme de tous les
travaux élémentaires entre A1 et A2 , cette somme est égale à l'intégrale définie :
x2


x2
1
1 2 
W12 ( Fe )   kxdx   kx   W12 ( Fe )  k .( x22  x12 )
x1
2
2
 x1
Le travail de la force
Fe appliquée à l'extrémité d'un ressort pour passer de l'allongement x, à l'allongement x2
s'exprime par :

1
W12 ( Fe )  k .( x22  x12 )
2
II.Energies
1. Energie cinétique de translation
Définition :
L'énergie cinétique d'un solide indéformable de masse m est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement
EC 
Ec : énergie cinétique en joules (J)
1
m.v 2
2
m : masse en kg ;
v vitesse en m.s-1
Relation entre la variation d’énergie cinétique et la somme des travaux des forces appliquées
(Théorème de l'énergie cinétique)
La variation d'énergie cinétique d'un solide en translation dans un référentiel galiléen, entre deux positions A
et B, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre les positions A et B.

EC  EC ( B)  EC ( A)  WAB ( Fext )
2. Énergie potentielle de pesanteur
L'énergie potentielle de pesanteur d'un corps en interaction avec la Terre est l'énergie qu'il possède du fait de
sa position par rapport à la Terre. La référence étant prise à l'altitude z = 0.
EPP : énergie potentielle de pesanteur en joules (J)
EPP = m g z
m : masse en kg
g : intensité de la pesanteur en m.s-2
z : altitude du centre d'inertie en mètre (m)
3. Énergie potentielle élastique d'un ressort
L'énergie potentielle élastique d'un ressort EPE est l'énergie qu'il possède du fait de sa déformation. La
référence étant prise pour x = 0 ( ressort détendu).
Cette énergie est égale au travail mécanique de la force extérieure

Fe qu'un opérateur exerce sur le ressort
détendu pour retirer ou le comprimer.
1
k .x 2
2
EPE : énergie potentielle élastique en joules (J)
-1
k : raideur en N.m
x : allongement algébrique en mètres (m)
Cette formule relie la déformation du ressort à l'énergie potentielle de déformation stockée.
Un allongement ou un raccourcissement d'une même valeur confèrent la même énergie potentielle de déformation.
Cette énergie est liée uniquement à la déformation du ressort. Lorsque le ressort est déformé, il possède cette
énergie même si l'opérateur n'agit plus sur lui.
E PE 
4. Énergie mécanique d'un système
L'énergie mécanique d'un système est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie
potentielle.
Em = EC + EP
5. Énergie mécanique du système « solide-ressort » horizontal
L'énergie mécanique du système est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie
potentielle élastique du ressort :
E m  EC  E PE 
1
1
m.v 2  k.x 2
2
2
a.En l'absence de frottements :
x(t )  x m cos(
2
t  0 )
T0
dx
2
2
v(t )  v x 

xm sin( t   0 )
dt
T0
T0
2
t  0 )
T0

x 2 (t )  xm2 cos 2 (

4 2 2
2
v (t )  2 xm sin 2 ( t   0 )
T0
T0
2
1 4 2 2
2
1
2
m 2 xm sin 2 ( t   0 )  kxm2 cos 2 ( t   0 )
2 T0
T0
2
T0
D’où :
Em 
De plus :
m
4 2 k
T0  2
 2 
k
m
T0
Donc :
Em 
1 k 2
2
1
2
m xm sin 2 ( t   0 )  kxm2 cos 2 ( t   0 )
2 m
T0
2
T0
Em 
1
2
1
2
k.xm2 sin 2 ( t   0 )  k.xm2 cos 2 ( t   0 )
2
T0
2
T0
Em 
1
2
2
k .xm2 (sin 2 ( t   0 )  cos 2 ( t   0 ))
2
T0
T0

Em 
1 2
k .xm  cons tan te
2
L'énergie mécanique du système « solide-ressort » est constante si le système évolue sans frottement :
Em  EC  E PE 
1
1
1
1
m.v 2  k.x 2  m.vm2  k.xm2  cons tan te
2
2
2
2
Au cours d'une oscillation, il y a conservation
réciproque des énergies cinétique et potentielle
élastique. Il y a échange d'énergie entre le solide
et le ressort. (fig 11 p 307)
b.Avec des frottements :
En présence de frottements, l’énergie
mécanique diminue au cours du temps.
(fig 12 p 308)
La variation d’énergie mécanique, au cours d’une
certaines durée, est égale au travail des forces de
frottement :

ΔE m  Em 2  Em1  W12(f)  0
6. Énergie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme
L'énergie mécanique du projectile est égale à la somme de son énergie cinétique de son énergie potentielle de
pesanteur :
E m  EC  E PP 
1
m.v 2  m.g.z
2
a.En l'absence de frottements :
L'énergie mécanique est constante : Em = Ec + EPP = constante
Exemple : chute parabolique : projectile lancé avec une vitesse initiale inclinée par rapport à l'horizontale
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
1.2
1.35
1.5
1.65
1.8
1.95
2.1
2.25
2.4
2.55
2.7
2.85
EC(J)
90
73.68
59.08
46.22
35.08
25.67
17.99
12.04
7.82
5.32
4.56
5.52
8.21
12.63
18.78
26.66
36.27
47.61
60.67
75.46
EP(J)
0
16.32
30.92
43.78
54.92
64.33
72.01
77.96
82.18
84.68
85.44
84.48
81.79
77.37
71.22
63.34
53.73
42.39
29.33
14.54
Em(J)
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
EC(J)
EP(J)
Em(J)
100
80
énergie (J)
t(s)
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps (s)
b.En présence de frottements :
L'énergie mécanique diminue au cours du temps.
La variation de l'énergie mécanique, au cours d'une certaine durée, est égale au travail des forces de frottements :

ΔE m  Em 2  Em1  W12(f)  0