02 Trigo - Collège Le Grand Clos

CH II
TRIGONOMETRIE
Tri / gono / métrie
trois
angles
mesure
2. Les trois formules trigonométriques.
A) Connaître les côtés dans un triangle rectangle
B
B
hypoténuse
côté opposé à Â
C
■
côté adjacent B̂
côté adjacent à Â
A
C
■
hypoténuse
côté opposé à B̂
A
B) Connaître les trois formules de trigonométrie
hypoténuse x cos  = côté adjacent à Â
B
cos  =
hypoténuse
côté opposé à Â
C
■
côté adjacent à l'angle Â
hypoténuse
hypoténuse x sin  = côté opposé à Â
côté adjacent à Â
A
sin  =
côté opposé à l'angle Â
hypoténuse
côté adjacent à  x tan  = côté opposé à Â
tan  =
C) Remarques
côté opposé à l'angle Â
côté adjacent à l'angle Â
1. Cosinus, sinus et tangente sont des nombres sans unité.
2. Le cosinus et le sinus sont inférieurs à 1.
3. La tangente peut être supérieure à 1.
D) Calculatrice
cos 20° ≈ 0,94
cos 60° = 0,5
sin 45° ≈ 0,71
tan 62° ≈ 1,89
A l'inverse :
cos  = 0,22
tan  = 2,8
 = cos –1 ( 0,22 )
 = tan –1 ( 2,8 )
 ≈ 77 °
 ≈ 70 °
3. Savoir calculer un côté connaissant deux mesures.
A) On connaît 2 côtés
Calculer EG
Je sais que le triangle EFG est rectangle en E :
Appliquons le th. de Pythagore
!
2
2
GF = EG
!
F
2
+ EF
?
5,42 = EG2 + 52
29,16 = EG2 + 25
EG2 = 29,16 – 25
EG =
5 cm
E
5,4 cm
G
4,16 ( cm )
EG ≈ 2,0 cm )
B) On connaît un angle et un côté
• Calcul de AC
cos  =
AB
AC
5
cos 32° =
AC =
AC
5
cos32°
C
• Calcul de BC
?
BC
tan  =
?
AB
tan 32° =
BC
32°
5
5 x tan 32° = BC
A
5 cm
B
BC ≈ 3,1 ( cm )
AC ≈ 5,9 ( cm )
• Calcul de AC
tan  =
BC
AC
tan 25° =
AC =
3
AC
3
tan25°
AC ≈ 6,4 ( cm )
• Calcul de AB
sin  =
BC
?
AB
sin 25° =
AB =
B
3 cm
3
AB
3
sin25°
AB ≈ 7,1 (cm )
25°
A
?
C
• Calcul de RS
RS
cos R̂ =
RT
cos 28° =
• Calcul de ST
TS
sin R̂ =
RT
RS
sin 28° =
5, 2
RS = 5,2 x cos 28°
RS ≈ 4,6 ( cm )
T
5,2 cm
TS
?
5, 2
TS = 5,2 x sin 28°
TS ≈ 2,4 (cm )
28°
R
?
S
3. Savoir calculer un angle.
• Calcul de Ĝ
tan Ĝ =
tan Ĝ =
EF
5 cm
E
EG
5
F
3 cm
3
Ĝ = tan–1 (
5
3
?
)
G
Ĝ ≈ 59°
• Calcul de Ĝ
sin Ĝ =
sin Ĝ =
EF
5 cm
E
EG
5
?
5,4
–1
Ĝ = sin (
Ĝ ≈ 68°
5
5,4
)
G
5,4 cm
F
2,8215
3,8
4. Savoir se repérer et calculer dans une figure plus complexe
On fait pivoter une feuille de format A4 ( 29,7 cm sur 21 cm ) autour de son sommet C.
La distance BB’ est alors de 20 cm.
A quelle distance de la droite horizontale se trouve le sommet D ?
1,995
A
21 cm
29,7 cm
D
A
B
D
20 cm
C
D'
B
∑
1°) Calcul de l’angle BCB'
C
B'
Démarche
∑
2°) Calcul de l’angleDCD'
3°) Calcul de la longueur DD’
1°) Dans le triangle rectangle CBB’, on a
∑ BB′
sin BCB' =
BC
∑
20
sin BCB' =
29, 7
∑
20
)
BCB' = sin–1 (
29, 7
∑
BCB' ≈ 42,3°
∑
∑
2°) L’angleD'CB' est un angle plat et DCB est un angle droit, donc
∑
∑ ∑
DCD' = 180° – ( BCB' + DCB )
∑
DCD' ≈ 180° – ( 42,3° + 90° )
∑
DCD' ≈ 47,7°
3°) Dans le triangle DCD’ rectangle en D’, on a
∑
DD′
sin DCD' =
DC
sin 47,7° ≈
DD′
21
DD’ ≈ 21 x sin 47,7°
DD’ ≈ 15,5 ( cm )
Le point D est donc à 15,5 cm environ de la droite horizontale.