02 Trigo - Collège Le Grand Clos

CH II TRIGONOMETRIE
Tri / gono / métrie
trois angles mesure
2. Les trois formules trigonométriques.
A) Connaître les côtés dans un triangle rectangle
B) Connaître les trois formules de trigonométrie
C) Remarques
1. Cosinus, sinus et tangente sont des nombres sans unité.
2. Le cosinus et le sinus sont inférieurs à 1.
3. La tangente peut être supérieure à 1.
D) Calculatrice
cos 20° ≈ 0,94 cos 60° = 0,5 sin 45° ≈ 0,71 tan 62° ≈ 1,89
A l'inverse :
cos
ˆ
A
= 0,22 tan
ˆ
A
= 2,8
ˆ
A
= cos –1 ( 0,22 )
ˆ
A
= tan –1 ( 2,8 )
ˆ
A
≈ 77 °
ˆ
A
≈ 70 °
hypoténuse x cos
ˆ
A
= côté adjacent à
ˆ
A
cos ˆ A=côté adjacent à l'angle ˆ
A
hypoténuse
hypoténuse x sin
ˆ
A
= côté opposé à
ˆ
A
sinˆ A=côté opposé à l'angle ˆ
A
hypoténuse
côté adjacent à
ˆ
A
x tan
ˆ
A
= côté opposé à
ˆ
A
tanˆ A=côté opposé à l'angle ˆ
A
côté adjacent à l'angle ˆ A
côté opposé à
ˆ
A
côté adjacent à
ˆ
A
hypoténuse
A
C
B
■
côté adjacent
ˆ
B
côté opposé à
ˆ
B
hypoténuse
A
B
C
■
côté opposé à
ˆ
A
côté adjacent à
ˆ
A
hypoténuse
A
C
B
■

3. Savoir calculer un côté connaissant deux mesures.
A) On connaît 2 côtés
Calculer EG
Je sais que le triangle EFG est rectangle en E :
Appliquons le th. de Pythagore
!!GF2 = EG2 + EF2
5,42 = EG2 + 52
29,16 = EG
2 + 25
EG
2 = 29,16 – 25
EG =
4,16
( cm )
EG ≈ 2,0 cm )
B) On connaît un angle et un côté
• Calcul de AC
cos
ˆ
A
=
AB
AC
cos 32° =
5
AC
AC =
5
cos32°
AC ≈ 5,9 ( cm )
• Calcul de BC
tan
ˆ
A
=
BC
AB
tan 32° =
BC
5
5 x tan 32° = BC
BC ≈ 3,1 ( cm )
• Calcul de AC
tan
ˆ
A
=
BC
AC
tan 25° =
3
AC
AC =
3
tan25°
AC ≈ 6,4 ( cm )
• Calcul de AB
sin
ˆ
A
=
BC
AB
sin 25° =
3
AB
AB =
3
sin25°
AB ≈ 7,1 (cm )
?
4,75 2,85
7,6
5,7
5,13
EF
G
5,4 cm
5 cm
4,75
AB
C
5 cm
32°
?
?
6,118
2,85
AC
B
25°
3 cm
?
?

• Calcul de RS
cos
ˆ
R
=
RS
RT
cos 28° =
RS
5,2
RS = 5,2 x cos 28°
RS ≈ 4,6 ( cm )
• Calcul de ST
sin
ˆ
R
=
TS
RT
sin 28° =
TS
5,2
TS = 5,2 x sin 28°
TS ≈ 2,4 (cm )
3. Savoir calculer un angle.
• Calcul de
ˆ
G
tan
ˆ
G
=
EF
EG
tan
ˆ
G
=
5
3
ˆ
G
= tan–1 (
5
3
)
ˆ
G
≈ 59°
• Calcul de
ˆ
G
sin
ˆ
G
=
EF
EG
sin
ˆ
G
=
5
5,4
ˆ
G
= sin–1 (
5
5,4
)
ˆ
G
≈ 68°
?
5,7
RS
T
28°
5,2 cm
?
4,75 2,85
EF
G
5 cm
3 cm
?
?
4,75 2,85
7,6
5,7
5,13
EF
G
5,4 cm
5 cm

4. Savoir se repérer et calculer dans une figure plus complexe
On fait pivoter une feuille de format A4 ( 29,7 cm sur 21 cm ) autour de son sommet C.
La distance BB’ est alors de 20 cm.
A quelle distance de la droite horizontale se trouve le sommet D ?
29,7 cm 21 cm
20 cm
C
3,8
1,995
2,8215
D
A
B
B'
D'
C
3,8
1,995
2,8215
DA
B
Démarche
1°) Calcul de l’angle
BCB'
∑
2°) Calcul de l’angle
DCD'
∑
3°) Calcul de la longueur DD’
1°) Dans le triangle rectangle CBB’, on a
sin
BCB'
∑
=
B′ B
BC
sin
BCB'
∑
=
20
29, 7
BCB'
∑
= sin–1 (
20
29, 7
)
BCB'
∑
≈ 42,3°
2°) L’angle
D'CB'
∑
est un angle plat et
DCB
∑
est un angle droit, donc
DCD'
∑
= 180° – (
BCB'
∑
+
DCB
∑
)
DCD'
∑
≈ 180° – ( 42,3° + 90° )
DCD'
∑
≈ 47,7°
3°) Dans le triangle DCD’ rectangle en D’, on a
sin
DCD'
∑
=
D′ D
DC
sin 47,7° ≈
D′ D
21
DD’ ≈ 21 x sin 47,7°
DD’ ≈ 15,5 ( cm )
Le point D est donc à 15,5 cm environ de la droite horizontale.