(p)+…+

Chapitre
Théorie de l’équilibre
concurrentiel
Nicholson and Snyder, Copyright ©2008 by Thomson South-Western. All rights reserved.
Marchés parfaitement
concurrentiels
•  Un marché concurrentiel parfait peut
être défini à l’aide des critères suivants:
–  De nombreux vendeurs et acheteurs
–  Entreprises sont petites par rapport au
marché
–  Les biens sont homogènes
–  Il n’y a pas de coûts d’entré sur le marché
pour les firmes (libre entrée)
Equilibre partiel sur le marché
des biens
•  Introduction de la notion d’équilibre partiel i.e.
un équilibre tel que
Demande Globale=Offre Globale
•  Pour déterminer un équilibre partiel il faut :
–  Une fonction d’offre agrégée, déterminée par
l’agrégation de toutes les fonctions d’offre
individuelles
–  Une fonction de demande agrégée, déterminée
par l’agrégation de toutes les consommations
optimales individuelles, connaissant les prix
Courbe de demande agrégée
•  On part des résultats sur la théorie du
consommateur : les demandes
Marshaliennes pour un bien x et pour un
consommateur : dx (px , py , I)
•  S’il y a n consommateurs sur le marché du
bien x. Alors la demande
agrégée est :
n
Dx (px ) = ∑ dxi (px )
€
i =1
–  Les prix des autres biens ainsi que le revenu
sont constants dans un équilibre partiel.
€
Courbe de demande agrégée
•  Courbe de demande agrégée pour le
bien x est la somme de toutes les N
courbes d’offre des N firmes pour ce
bien : S (p , r, w) = ∑ s (p ,r,w) = ∑ s (p )
N
x
i
x
x
i =1
€
N
i
x
x
i =1
x
Equilibre concurrentiel partiel
•  Définition : Un équilibre partiel sur le
marché du bien x est un prix p*x tel que
Dx(p*x) = Sx(p*x)
Exemple 1
•  Supposons que la fonction d’offre agrégée
sur le marché de l’automobile soit donnée
par S(p)=2+15p
•  La fonction de demande agrégée sur ce
même marché est D(p)=110+3p
•  L’équilibre est alors le prix p* tel que:
D(p*)=S(p*) 110-3p*=2+15p*  p*=6
•  La quantité d’équilibre sera lors :
q*=2+15.6=92
Equilibre partiel vs Equilibre
général
•  Jusqu’à présent : équilibre partiel sur un
marché particulier par un bien particulier
(automobile par ex.).
•  La relation de ce marché avec d’autres est
absente (pétrole, énergie, travail etc.)
•  Nous avons besoin alors d’un modèle qui
relie tous les marchés tel que si un prix
d’équilibre change sur un marché, les prix
et les quantités d’équilibre sur d’autres
marchés seront affectés.
Exemple 2
•  Si l’on taxe un bien particulier, alors le prix
relatif des autres biens risque de changer,
et donc les prix d’équilibre sur l’autre
marché peuvent varier.
•  Il faut donc regarder non seulement le
marché où la taxe est appliquée mais
également tous les autres marchés.
•  Application : cas de l’élargissement de
l’espace européen (taxe sur le lait par
exemple).
Théorie des l’équilibre général
- Introduction
•  Débute avec Walras. Point de départ de l’analyse
économique rigoureuse.
•  Mais il faut attendre les 70’s pour résoudre certains
problèmes (existence, stabilité). Arrow et Debreu.
•  Quelques limites à la théorie de Walras
– 
– 
– 
– 
Coûts de transaction
L’information
La monnaie
Les externalités
•  Problèmes résolus par la suite
Cartographie du cours
•  Interdépendance des marchés – la loi
de Walras
•  L’équilibre : la commissaire priseur
•  La main invisible : Efficacité de Pareto
Interdépendance des marchés
– la loi de Walras
•  Avantage de la théorie de l’équilibre
général
–  Prend en compte l’interdépendance des
marchés.
•  Soit une économie à L marchés (voiture,
travail, chaussure etc.), alors on peut
montrer que si (L-1) marchés sont à
l’équilibre (i.e. où D=S) alors il en sera de
même pour le Lième marché. C’est
l’essence même de la loi de Walras.
•  Loi de Walras :
–  Débutons par l’équation de la droite de budget du
consommateur i, étant donné que nous connaissons
les fonctions de demande (Marshallienne) dil(p) et les
fonctions d’offre sil(p) (où l représente le bien l) de ce
consommateur :
p1di1(p)+…+pldil(p)+…+pLdiL(p) = p1si1(p)+…+pLsiL(p)
–  A gauche du signe «=» : la valeur de tous les biens
demandés (qui peuvent inclure le travail)
–  A droite du signe «=» : la valeur de tous les biens
offerts (travail, dotations initiales…)
•  On peut reformuler le problème en utilisant la fonction d’excés
de demande (ou demande nette du consommateur), notée nil(p)
t.q.
nil(p) = xil(p)-sil(p)
On obtient donc
p1ni1(p)+…+plnil(p)+…+pLniL(p) = 0
(*)
•  Les prix, sur lesquels la demande repose, sont présentés sous
forme vectorielle
p=(p1, …, pl,…, pL)
•  L’identité (*) ci-dessus peut être réécrite en
L
i
l l
∑ p n (p) ≡ 0
l =1
•  Sommons maintenant sur les M individus
de l’économie :
M
L
∑ ∑ p n ( p) ≡ 0
i
l
l
i=1
l =1
M
L
∑ p ∑ n ( p) ≡ 0
i
l
l
i=1
l =1
•  Notons N (demande nette) la somme de
toutes demandes individuelles sur le
marché€ d’où:
L
∑ p N ( p) ≡ 0
l
l =1
l
•  La loi de Walras établit que la somme des
demandes nettes sur le marché est égale
à 0 et ce à l’équilibre ou non.
–  Pourquoi ? Si dans l’économie il y a L biens,
alors si (L-1) marchés sont à l’équilibre (i.e.
Nl(p)=0, pour l=1,2,..,(L-1)), alors le Lième
marché doit être à l’équilibre également, i.e.
NL(p)=0. (Remarque: on ne s’occupe que des
quantités !)
–  Mais que devons nous apprendre à propos
des préférences des consommateurs ?
•  Revenons à la contrainte de base du
consommateur pxxi(px,py,M)+pyyi(px,py,M) = M
•  Cette constrainte nous dit seulement ce
que le consommateur peut au plus
acheter. Mais doit-il nécessairement
consommer autant ? On pourrait avoir
pxxi(px,py,M)+pyyi(px,py,M) < M
•  Donc la loi de Walras n’est pas tout à
fait une identité, mais suppose la non
saturation des préférences.
Equilibre général d’une
économie d’échange pure
•  Il n’y a pas de production, et le revenu
des agents provient de leurs dotations
initiales (les fruits de leurs arbres).
•  Par convention nous noterons xli la
quantité de bien l consommée par l’agent
i. La fonction de demande (Marshal.)
pour ce bien l sera notée xli(p) où p=(p1,
…, pl,…, pL).
Description de l’économie
•  N individus dont les préférences sont
données par des fonctions d’utilité U(x1i,
x2i,…, xLi)
•  L biens disponibles
•  ωli sont les dotations initiales en bien l
de l’individu i
Qu’est-ce qu’un équilibre ?
•  Définition : Pour une économie donnée
(décrite ci avant), un équilibre
concurrentiel général est :
–  une allocation {( xˆ11, xˆ 12 ,..., xˆ 1L ),..., ( xˆ1i , xˆ 2i ,..., xˆ Li ),..., ( xˆ1N , xˆ 2N ,..., xˆ LN )}
–  un vecteur de prix p = ( p1, p2 ,..., pl , ..., pL )
€
€
•  Tels que :
–  L’optimalité individuelle est respectée :
étant donné un vecteur de prix pour chaque
consommateur i, l’allocation
( xˆ , xˆ ,..., xˆ )
est solution du problème
max U(x1i, x2i,…, xLi)
€
sc
p1x1i+p2x2i+…+pLxLi = p1ω1i+p2ω2i+…+pLωLi
–  Le marché est à l’équilibre : pour chaque
bien l=1,…, L, la demande agrégée et égale
à la dotation (offre) agrégée ;
1
1
N
N
∑ xˆ = ∑ω
i
l
i=1
i=1
i
l
1
2
1
L
Comment arriver à l’équilibre ?
Le commissaire priseur de
Walras
1.  Le CP annonce un prix pour tous les biens de
l’économie;
2.  Chaque consommateur calcule sa demande pour les
biens au prix annoncé. Il soustrait ensuite sa dotation
pour obtenir la demande nette de ce bien;
3.  Le CP vérifie si la somme des demandes nettes est
égale à 0 sur chaque marché;
4.  Si ce n’est pas égal à 0, le CP recommence à l’étape 1,
en choisissant un prix différent; si c’est égal à 0, nous
avons l’équilibre. Plusieurs tours peuvent être
nécessaires, puisque l’équilibre sur un marché dépend
de l’équilibre sur un autre marché.
La boîte d’Edgeworth
•  On reprend l’analyse (graphique) du
consommateur, mais en combinant 2
biens et 2 agents. Bien que ce soit une
version réduite de l’économie, il n’en
reste pas moins que nous cherchons un
équilibre général sur les marchés des 2
biens !
Description du modèle
•  Une économie à 2 agents, Gina (agent 1) et
Mario (agent 2) et 2 biens, des jeux (biens 1) et
des Chips (bien 2).
–  Le problème du consommateur i :
max U(x1i, x2i)
sc
p1x1i+p2x2i = p1ω1i+p2ω2i
–  Remarque : la CB ne contient pas la variable
exogène M, mais la valeur des dotations
(évaluées aux prix du marché)
•  A quoi ressemble cette CB ?
Réécrivons là comme une fonction
x2i(x1i) donc :
i
1
i
2
p1ω + p2ω p1 i
x =
− x1
p
p
2
2
 
i
2
ordonné à origine
pente
•  Pour déterminer la CB, nous devons en
premier lieu déterminer le point des
dotations initiales (en bien 1 et 2 pour
chaque i), et ensuite étant donnée la
pente (donnée par le ratio des prix),
tracer la CB passant par le point de
dotation.
problème max d’utilité de Gina
•  Problème max d’utilité pour Mario
•  Nous sommes prêts pour construire la
boîte d’Edgeworth en réunissant les
deux graphiques.
–  faire pivoter le graphique de Mario (agent
2) de 180° et le placer sur le graphique de
Gina.
–  la dimension de la boîte est déterminée par
les dotations initiales. Les axes des x1 et x2
ont une longueur égale à la somme des
dotations, i.e. x1 = ω11+ω12 et x2 =
ω21+ω22
•  Chaque point :
Allocation possible et
points hors de la boîte
sont impossibles.
•  Situation d’équilibre:
Sachant les prix, les
utilités des deux
agents sont max.
A l’équilibre, les deux
IC sont tangentes i.e.
les TMS sont égaux et
égaux au rapport des
prix.
M
G
Trouver l’équilibre : Exemple
•  Les deux agents ont des préférences
identiques représentées par une CD :
max (x1i)0.6(x2i)0.4
s.c.
p1x1i+p2x2i = p1ω1i+p2ω2i
pour i=1(Gina), 2(Mario)
•  Les dotations initiales sont :
–  Pour i=1(Gina) : (ω11 = 7, ω21 = 5)
–  Pour i=2(Mario) : (ω12 = 3, ω22 = 7)
•  Les fonctions de demande en x1 et x2 sont les
mêmes pour les deux agents :
i
i
p
ω
+
p
ω
i
1 1
2 2
x1 ( p1, p2 ) = 0.6 ×
p1
i
i
p
ω
+
p
ω
2 2
x 2i ( p1, p2 ) = 0.4 × 1 1
p2
pour i = 1 ou 2
€
•  Maintenant, imposons la condition
d’équilibre D=O sur les marchés du
bien l :
2
2
i
i
x
=
ω
∑ l ∑ l
i=1
pour l = 1,2
i=1
•  Intéressons nous au bien l=1 :
€
x11 + x12 = ω11 + ω12
p1ω11 + p2ω 12
p1ω12 + p2ω 22
0.6 ×
+ 0.6 ×
= ω11 + ω12
p1
p1
•  Substituons par les valeurs des
dotations:
p1 7 + p2 5
p1 3 + p2 7
0.6 ×
+ 0.6 ×
= 7+3
p1
p1
•  Résolvons sur les prix:
€
p2
p2
4.2 + 3 ×
+1.8 + 4.2 ×
= 7+3
p1
p1
p2
4
5
=
= ≈ 0.5556
p1 7.2 9
•  Normalisation des prix:
–  Nous avons une équation à 2 inconnues,
les prix. Mais comme nous sommes dans
une économie d’échange pure sans argent,
seuls les prix relatifs importent. On peut
donc normaliser un des prix à 1
(numéraire) t.q. p1=1 et p2=5/9
–  i.e., p2 donne le nombre d’unités de bien 1
que l’on peut échanger contre une unité de
bien 2
•  Remarque:
–  Ce résultat est lié au fait que les fonctions
de demande sont homogènes de degré 0.
Par définition nous avons :
dx(px,py)=dx(αpx,αpy) pour tout α>0
–  Posons α=1/px, nous obtenons alors:
dx(px,py)=dx(1,py/px)
•  On peut maintenant déterminer les
demandes individuelles pour le bien 1:
5
x11 (1, ) = 0.6 ×
9
1× 7 +
5
x12 (1, ) = 0.6 ×
9
1× 3+
1
5
×5
9
= 5.87
1
5
×7
9
= 4.13
•  Vérifions que la Demande est égale à
l’Offre sur le marché du bien 1:
€
x11 + x12 = ω11 + ω12
5.87 + 4.13 = 7 + 3
10 = 10
•  Le Marché du bien 2 ?
–  Par la loi de Walras, si un des deux
marchés est à l’équilibre, le second le sera
également (si le nombre total de marchés
est 2 !).
–  Ainsi, en utilisant les prix déjà calculés ciavant, nous obtenons les demandes à
l’équilibre sur le marché du bien 2.
p1=1, p2=5/9 et
x12=4.13, x22=4.96
•  En résumé:
L’équilibre de cette économie est donné
par:
–  Un vecteur des prix : p*=(1, 5/9)
–  L’allocation des biens entre Gina et Mario :
{(x*11, x*21),(x*12, x*22)}={(5.87, 7.04), (4.13,
4.96)}
Une économie avec production
•  Les deux biens sont désormais produits dans deux
entreprises j (j=1 ou 2).
•  L’entreprise j produit le bien j avec uniquement du
travail (l).
•  On notera yj et lj respectivement la production et la
quantité de travail utilisée dans l’entreprise j.
•  On notera fj la fonction de production de
l’entreprise j.
•  yj=fj(lj) représente la quantité de bien j produite en
fonction de la quantité de travail disponible dans
l’entreprise.
•  Soient p1 et p2 les prix des deux biens;
•  Soit w le taux de salaire;
•  Les revenus des deux consommateurs
sont : salaires + profits;
•  Soit n (paramètre fixé) la quantité de
travaille offerte par les 2 agents (la même
pour simplifier).
•  On suppose que chaque agent détient la
moitié des titres de propriété de chaque
entreprise et donc reçoit la moitiés des
profits.
•  Ii := Revenu de l’agent i, d’où :
2
1
I =w
×n + ∑ p j y j − wl j

2 j =1
salaires


(
i
)
profits distribués
•  Sa contrainte budgétaire :
€
i
1 1
i
2
p x + p2 x = I
•  Sa fonction d’utilité :
i
i
1
i
2
U (x , x )
€
i
•  Dans cette économie, un EG est caractérisé
par :
•  2 vecteurs de consommation (x1i, x2i), i=1,2 ;
•  2 vecteurs de production (yj, lj), j=1,2 ;
•  1 vecteur de prix (p1, p2, w).
tels que les 4 conditions suivantes soient vérifiées :
•  Chaque agent maximise sont utilité sous contrainte bud ;
•  Chaque entreprise maximise son profit sous la contrainte
technique définie par sa fonction de production ;
•  Les quantités totales consommées = quantités totales
produites pour chaque bien ;
•  La quantité de travail utilisée par les entreprises =
quantité de travail offert par les agents.
•  Mathématiquement :
–  Condition 1 :
Le problème du consommateur i :
max U i (x1i , x 2i )
sc
p1 x1i + p2 x 2i = I i
i
i
ˆ
x
(
p
,
p
,
I
Notons h 1 2 ) la fonction de demande
de l’agent i pour le bien h=1,2
Sachant€Ii, la condition 1 s’écrit :
2
€
1
.
x hi = xˆ hi ( p1, p2 , w
×n + ∑ ( p j y j − wl j ))

salaires
2
j =1



profits distribués
–  Condition 2
Le problème de l’entreprise j s’écrit :
max p j y j − wl j
sc
y j = f j (l j )
Notons yˆ j , lˆ j les fonctions d’offre de bien
j et de demande de travail par
€ j : elles définissent la
l’entreprise
solution
optimale en fonction des prix pj
€
et w. On a donc : y j = yˆ j ( p j ,w)
l j = lˆ j ( p j ,w)
–  Condition 3 :
x1j + x j 2 = y j
–  Condition 4 :
l1 + l2 = n + n
€
€
•  Résumons l’ensemble des conditions:
1 2
x = xˆ ( p1, p2 , w
×n + ∑ p j y j − wl j ) 4 équations, i=1, 2

2 j =1
salaires
h=1,2


i
h
i
h
(
)
profits distribués
y j = yˆ j ( p j ,w)
€
€
€
€
l j = lˆ j ( p j ,w)
2 équations, j=1, 2
2 équations, j=1, 2
x1j + x j 2 = y j
2 équations, j=1, 2
l1 + l2 = n + n
1 équation
•  Au total : 11 équations à 11 inconnues :
–  les consommations : x11, x21, x12, x22 ;
–  les productions : y1, y2 ;
–  les quantités de travail utilisées par les
entreprises : l1, l2 ;
–  les prix des biens : p1, p2 ;
–  le taux de salaire : w
•  Mais :
–  pas forcément de solution au système ;
–  difficulté pour prouver l’existence d’une
solution (théorèmes du point fixe).
•  D’où :
–  Illustration graphique ;
–  Étude d’un exemple.
Une illustration Graphique
y2
H2
(C)
A
H1
O
y1
•  D’autre part, la quantité de L qui
maximise le profit de l’entreprise j est
donné par:
max pjfj(lj)-wlj
et elle vérifie la condition nécessaire
d’optimalité :
pj.(∂fj/∂lj)-w = 0
•  Tout point de la courbe (C) correspond à
des quantités de travail l1=f1-1(y1) et
l2=f2-1(y2) telles que l1+l2=2n.
•  D’après ce qui précède ces quantités sont
les demandes de L des entreprises (i.e.
celles qui correspondent au profit max) si
les prix relatifs p1 /w et p2 /w vérifient :
pj /w = 1/(∂fj /∂lj), avec j=1,2
on a alors:
(∂f2 /∂l2)/(∂f1 /∂l1) = p1 /p2
•  A l’équilibre général, le TmT du bien 2 au
bien 1 est égal au rapport des prix.
Boîte d’Edgeworth
Commentaires
•  Ce résultat montre :
–  Le fonctionnement des marchés conduit à
une certaine forme d’efficacité dans
l’allocation des ressources.
•  Les Taux marginaux (TmT et TmS) sont égaux.
–  A l’EG il n’est pas possible d’augmenter la
satisfaction d’un agent sans réduire celle
d’un autre. C’est un optimum de Pareto.
Efficacité de Pareto
•  Définition : Un vecteur d’allocation de biens
X={(x11, x11,…, xL1), (x12, x12,…, xL2),…, (x1N, x1N,…,
xLN)} parmi N consommateurs est efficace si
1.  l’allocation X est réalisable (possible) à savoir ∑i xli =
∑i ωli pour tous les biens l
2.  il n’existe pas une autre allocation Y={(y11, y11,…,
yL1), (y12, y12,…, yL2),…, (y1N, y1N,…, yLN)} telle que
a)  Y est réalisable i.e., ∑i yli = ∑i ωli
b)  Y est faiblement préférée par tous les consommateurs i.e.,
pour tout i=1,…, N, on a :
Ui(y1i, y1i,…, yLi)≥Ui(x1i, x1i,…, xLi)
a)  Y est strictement préférée par au moins un consommateur
j, i.e.
Ui(y1i, y1i,…, yLi)≥Ui(x1i, x1i,…, xLi)
Les deux théorèmes
fondamentaux de l’économie
du Bien Etre
•  Premier Théorème de l’EB : « Tout équilibre
concurrentiel est efficace au sens de Pareto. »
•  Deuxième théorème de l’EB : « Sous des
hypothèses faibles, chaque allocation efficace au
sens de Pareto est décentralisable en un équilibre
concurrentiel ; i.e. qu’on peut trouver un vecteur de
prix tel que si les dotations initiales sont égalisées
à l’allocation de Pareto, tous les agents
demanderont exactement ces dotations à
l’équilibre.