QUESTIONS DE COURS SUR LES APLICATIONS LINÉAIRES Vous

QUESTIONS DE COURS SUR LES APLICATIONS LINÉAIRES
Vous êtes tenus de connaître les démonstrations des propriétés suivantes concernant les
applications linéaires.
TABLE DES MATIÈRES
1. L’ensemble ker(f)est un sous espace vectoriel 1
2. fest injective si et seulement si ker(f) = {0}1
3. L’image d’un sev par une application linéaire est un sev 1
4. L’image réciproque d’un sev par une application linéaire est un sev 2
5. L’image d’une famille libre par une application injective est une famille libre 2
6. L’inverse d’un isoporhisme est linéaire 2
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels sur R. Soit f:E→Fune application linéaire.
1. L’ENSEMBLE ker(f)EST UN SOUS ESPACE VECTORIEL
Montrons que ker(f)est un sous espace vectoriel de E.
Vérifions que 0 ∈ker(f). On a bien f(0) = 0 car fest linéaire. Vérifions que ker(f)est
stable par combinaisons linéaires. Soient u,v∈ker(f), soient λ,µ∈R, montrons que λu+
µv∈ker(f). On a f(λu+µv) = λf(u) + µf(v) = λ·0+mu ·0=0. On a bien λu+µv∈
ker(f).
2. fEST INJECTIVE SI ET SEULEMENT SI ker(f) = {0}
Ceci n’est vrai que pour les applications linéaires !
Montrons que si fest injective alors ker(f) = {0}.
Supposons finjective. Montrons que ker(f) = {0}. On a déjà que {0} ⊂ ker(f)car f(0) =
0. Soit u∈ker(f), montrons que u=0. On a f(u) = 0 car u∈ker(f), donc uet 0 ont la
même image. Comme fest injective, on en déduit que u=0. On a donc ker(f)⊂ {0}.
Montrons que si ker(f) = {0}alors fest injective.
Supposons que ker(f) = {0}. Montrons que fest injective. Soient u,v∈Etels que f(u) =
f(v). On a alors par linéarité de f,f(u−v) = 0. Ainsi, on a u−v∈ker(f). Comme ker(f) =
{0}, on en déduit que u−v=0, c’est à dire u=v. L’application fest bien injective.
3. L’IMAGE D’UN SEV PAR UNE APPLICATION LINÉAIRE EST UN SEV
Soit Gun sous espace vectoriel de E, montrons que f(G)est un sous espace vectoriel de
F.
Vérifions que 0 ∈f(G). Comme Gest un sev de E, on a 0 ∈G. Ainsi, on a f(0) = 0 et
0∈Gest bien un antécédent de 0 par f.
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2 QUESTIONS DE COURS SUR LES APLICATIONS LINÉAIRES
Vérifions que f(G)est stable par combinaisons linéaires. Soient u,v∈f(G), soient λ,µ∈
R, montrons que λu+µv∈f(G), c’est à dire que l’on peut trouver un antécédent dans G
de λu+µv. Comme u∈f(G), il existe u0∈Gtel que f(u0) = u. De même, il existe v0∈G
tel que f(v0) = v. Comme Gest un sev de E,Gest stable par combinaisons linéaires, donc
λu0+µv0∈G. On a alors f(λu0+µv0) = λf(u0) + µf(v0) = λu+µv.λu0+µv0est bien
un antécédent de λu+µvpar f.
4. L’IMAGE RÉCIPROQUE D’UN SEV PAR UNE APPLICATION LINÉAIRE EST UN SEV
Soit Gun sous espace vectoriel de F, montrons que f−1(G)est un sous espace vectoriel de
E.
Vérifions que 0 ∈f−1(G). On a f(0) = 0 et 0 ∈Gcar Gest un sev de F, donc0 ∈f−1(G).
Vérifions que f−1(G)est stable par combinaisons linéaires. Soient u,v∈f−1(G), soient
λ,µ∈R, montrons que λu+µv∈f−1(G), c’est à dire que f(λu+µv)∈G. Comme u∈
f−1(G), on a f(u)∈G. De même, on a f(v)∈G. Comme Gest un sev de F,Gest stable par
combinaisons linéaires, donc λf(u) + µf(v)∈G. Mais on a λf(u)+ µf(v) = f(λu+µv),
on en déduit donc que f(λu+µv)∈G, c’est à dire λu+µv∈f−1(G).
5. L’IMAGE D’UNE FAMILLE LIBRE PAR UNE APPLICATION INJECTIVE EST UNE
FAMILLE LIBRE
Soit L={u1,...,up}une famille libre de E. On note L0=f(L) = {f(u1),..., f(up)}.
Montrons que la famille L0est libre.
Soient λ1,...,λp∈Rtels que λ1f(u1) + . . . λpf(up) = 0, montrons que λ1=··· =λp=0.
Comme fest linéaire, on a 0 =λ1f(u1) + . . . λpf(up) = f(λ1u1+. . . λpup). On en déduit
donc que f(λ1u1+. . . λpup) = 0, c’est à dire que λ1u1+. . . λpup∈ker(f). Comme fest
injective, on en déduit que λ1u1+. . . λpup=0. La famille Létant libre, on en déduit que
λ1=··· =λp=0.
6. L’INVERSE D’UN ISOPORHISME EST LINÉAIRE
Soit f:E→Fun isomorphisme, c’est à dire une application linéaire bijective, montrons
que f−1:F→Eest linéaire.
Soient u,v∈F, soient λ,µ∈R, montrons que f−1(λu+µv) = λf−1(u) + µf−1(v).
Notons w=λu+µv. On a d’une part f(f−1(w)) = wet d’autre part, en utilisant la linéarité
de f,f(λf−1(u) + µf−1(v)) = λf(f−1(u)) + µf(f−1(u)) = λu+µv=w. On constate
donc que f−1(w)et λf−1(u) + µf−1(v)ont la même image par f. Comme fest injective,
ceci entraîne que f−1(w) = λf−1(u) + µf−1(v), c’est à dire f−1(λu+µv) = λf−1(u) +
µf−1(v).