PROBABILITES ET STATISTIQUES L2 STAPS ALEX KOUM

PROBABILITES ET STATISTIQUES
L2 STAPS
ALEX KOUM
PROBABILITES
Vocabulaire des probabilités
L'univers Ω ''omega''
Un événement A, A
L’événement impossible Ø
L'intersection A ∩ B
La réunion A U B
Événements incompatibles A ∩ B = Ø
Vocabulaire des probabilités
L'univers Ω ''omega''
Un événement A, A
A
Vocabulaire des probabilités
L’événement impossible Ø
L'intersection A ∩ B
A
B
Vocabulaire des probabilités
L'univers Ω ''omega''
La réunion A U B
A
B
A
B
P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Probabilités conditionnelles
Soit A et B deux événements,
la probabilité de B sachant A .
P ( A∩B)
PA(B) ou P (B|A) =
P ( A)
B
A
B
B
A
B
Probabilités conditionnelles
Soit A et B deux événements,
p(B)= p(B ∩ A) + p(B ∩ A)
B
A
B
B
A
B
Indépendance de deux événements
A et B sont indépendants lorsque :
PA(B)= P(B)
Ou
PB(A)= P(A)
On obtient alors la formule
P(A ∩ B)= P(A)* P(B)
Propriétés fondamentales
0< P(A) <1
P(A) = 1 - P(A)
P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
VARIABLES ALEATOIRES
Quantitatives
La variable discrète ne prend que des valeurs entières
( ex : le nombre d'étudiants).
La variable continue prend toutes les valeurs possibles
( ex : les notes obtenues en Anglais).
VARIABLES ALEATOIRES
Qualitatives
Variable nominale variable qualitative dont les valeurs ne
peuvent pas être ordonnées (ex : couleur des cheveux).
Variable ordinale variable qualitative dont les valeurs
peuvent être ordonnées (ex : mentions au baccalauréat).
VARIABLES ALEATOIRES
Fonction qui à chaque événement élémentaire d'une
expérience aléatoire associe un nombre réel x.
X est la variable aléatoire x sa réalisation P(X= x)
Le nombre de carton rouge lors d'un PSG vs OM
P(X= 0), P(X= 2), P(X= 3)
Loi de probabilité
IL s'agit de calculer l'ensemble des P(X=xi)= pi
Pi étant la probabilité que xi se réalise.
Le nombre de carton rouge lors d'un PSG vs OM
P(X= 0),P(X= 1), P(X= 2), P(X= 3)
Loi de probabilité
Le nombre de carton rouge lors d'un PSG vs OM
P(X= 0),P(X= 1), P(X= 2), P(X= 3)
X=xi
0
1
2
3
P(X=xi )
1/10
3/10
4/10
2/10
Loi de probabilité
Carton rouge lors d'un match PSG vs OM
L'Espérance mathématiques ou moyenne E(X)
E(X) = x1p1+ x2p2 + ... +xnpn
X=xi
0
1
2
3
P(X=xi )
1/10
3/10
4/10
2/10
Loi de probabilité
Carton rouge lors d'un match PSG vs OM
V(X) = E(X2)- (E(X))2 =
La Variance V(X)
=
k12p1+ k22p2 + ... +kn2pn- (E(X))2
X=xi
0
1
2
3
P(X=xi )
1/10
3/10
4/10
2/10
Loi de probabilité
Carton rouge lors d'un match PSG vs OM
●
L'écart type σx =
√V ( X )
X=xi
0
1
2
3
P(X=xi )
1/10
3/10
4/10
2/10
Arrangements et Combinaisons
Notation factorielle
Soit n un entier naturel
Factoriel de n n ! = n*(n-1)*(n-2)*....*4*3*2*1
Par convention 0!= 1
Exemple :
●
5!= 5*4*3*2*1
●
12!= 12*11*10 ! =12*11*10*9*8* ...1
Arrangements et Combinaisons
Combinaisons
Soit k et n des entiers naturels
()
n
k
=
n!
k !(n k )!
Combinaisons de k éléments parmi n
Exemple :
()
5
2
=
5!
2!(5 2)!
Arrangements et Combinaisons
Combinaisons calculatrice
TI
Maths / PRB /combinaisons ou ncr
CASIO
OPTN / Prob /combinaisons ou ncr
Exemple : 5 Combinaison 2
()
5
2
=
5!
2!(5 2)!
Loi binomiale
X~ B( n, p )
X la VA et k sa réalisation ( k = 0,1,2 ...n).
P(X=k) =
()
n
k
n-k
.
(
p)
.
(q)
k
LOIS DE PROBABILITE
1.
Loi binomiale
2.
Loi de poisson
3.
Loi Normale
4.
Loi de student
Schéma de Bernoulli → Loi binomiale
(loi discrète)
Une épreuve comportant 2 issues possibles
« succès » ou « l'échec » avec p la probabilité du
succès et q celle de l'échec.
B
E
B
B
S
B
Loi binomiale
(loi discrète)
E
E
E
S
E
S
S
Loi binomiale
(loi discrète)
Répétition de n épreuves de Bernoulli de façon
indépendante.
Soit X une variable aléatoire, X suit une loi binomiale de
paramètre n et p.
X~ B( n, p )
Loi binomiale
X~ B( n, p )
X la VA et k sa réalisation ( k = 0,1,2 ...n).
La probabilité q = (1- p)
P(X=k) =
()
n
k
n-k
.
(
p)
.
(q)
k
Loi binomiale
X~ B( n, p )
L'espérance E(X) = np
La Variance V(X) = npq = np(1-p)
L'écart-type σ = √ V ( x)
Loi de poisson
(loi discrète)
La loi des événements rares, définie par son paramètre λ
qui correspond à la moyenne.
Loi de poisson
(loi discrète)
Soit X une VA et k sa réalisation ( k = 0,1,2 ...n)
X~ P( λ )
k
λ
e
∗
P(X = k) =
k!
λ
Loi de poisson
(loi discrète)
L'espérance E(X) = λ
La Variance V(X) = λ
On remarquera que lorsqu'on s'éloigne de la moyenne
les probabilités décroissent rapidement.