Corrigé MP2A

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Centrale_2013
I-Décomposition polaire d’un endomorphisme de n
I.A- On munit nde sa structure euclidienne canonique.
I.A.1)Soituun endomorphisme de n,Bune base orthonormale de net Mla matrice de udans
cette base. [ uest autoadjoint si et seulement si Mest symétrique ].
De plus uet Mont le même spectre, spuspM.supposons alors que Mest symétrique.
[uest défini positif spuspM⊂
∗M∈Sn ].
I.A.2)SiS∈Sn
alors Sest symétrique et spS⊂ ∗,alors Sest inversible et S−1est
symétrique, et puisque Sest diagonalisable, spS−11
tq ∈spS ⊂
∗.
D’où S−1∈Sn
.
I.B-Soituun endomorphisme de nautoadjoint défini positif.
I.B.1)Soitvun endomorphisme de nautoadjoint défini positif tel que v2u.
Soit ∈spu.uv v3vu,alorskeru−Idest stable par v.Notons vla restriction de và
keru−Id.Puisque vest diagonalisable, alors vest aussi diagonalisable, et si est une valeur
propre de valors il existe un vecteur non nul xde keru−Idtel que vxxet
ux2xx.Mais0,alorset vIdkeru−Id.
I.B.2) Puisque uest diagonalisable, n
∈spu
⊕keru−Id,alorsv
∈spu
⊕v.
C’est à dire que : ∀∈spu;∀x∈keru−Id;vx.x
Reciproquement, pour ce vainsi défini, on a : v∈£net v2u.
uest autoadjoint, donc diagonalisable et ses sous espaces propres sont deux à deux
orthogonaux. Il existe alors une base orthonormale de nadaptée à la somme directe,
n
∈spu
⊕keru−Iddans laquelle la matrice de vest diagonale à élèments diagonaux dans 
∗.
vest alors bien autoadjoint défini positif vérifiant : v2u.D’où l’existence et l’unicité de v.
I.B.3) Soient 1,...,ples valeurs propres distinctes de u,etm1,...,mpleurs multiplictés
respectives, il existe une base orthonormale Bde ndans laquelle la matrice de uest diagonale
( par blocs ) donnée par : MBudiag1Im1,2Im2,...,pImp, alors par unicité de v,ona:
MBvdiag1Im1,2Im2,..., pImp.
Soient L1,...,Lples polynômes de Lagrange associés au réels 1,...,p.
C’est à dire : ∀i∈1,p ;LiX
j1;j≠i
p
X−j
i−j.ona:Liji,j1si ij
0si non .
Posons : QX
i1
p
∑iLiX.Qest un polynôme vérifiant : ∀i∈1,p ;Qii.
Donc QMBu MBvc’est à dire encore : vQu.
I.C-SoitA∈GLn.
I.C.1)tAA est symétrique, et ∀X∈Mn,1;tXtAAX tAXAX 0pour X≠0, car dans ce cas
AX ≠0, puisque Aest inversible. D’où tAA ∈Sn
.
I.C.2) D’aprés I.B) il existe une unique matrice S∈Sn
telle que : tAA S2.
Posons : OAS−1,tOO S−1tAAS−1S−1S2S−1In,alorsO∈On.
Reciproquement si O,S∈OnSn
tel que : AOS,alorstAA S2et OAS−1.

D’où l’existence et l’unicité de O,S∈OnSn
tel que AOS.
I.C.3)A
30−1
2
232 −32 2
−2
232 32 2
;tA
32
2−2 2
03232
−1−32
232 2
;tAA 
50−5
0360
−5010
.
Notons : MtAA et Le polynôme carctéristique de Mest :
MX36 −XX2−15X2536 −XX−1555
2X−15−55 2.
Les sous espaces propres de Msont :
E36M
0
1
0
;E1555
2M
1
0
−15
2
;E15−55
2M
1
0
5−1
2
Les vecteurs X1
0
1
0
;X2
1
0
−15
2
;X3
1
0
5−1
2
sont deux à deux orthogonaux, alors par unicité de S, ona : SPΔP−1.
avec P
01 1
10 0
0−15
25−1
2
et Δdiag 6, 1555
2,15−55 2diag6, 55 2,5−5 2.
S
20−1
060
−10 3
.OAS−1
10 0
02
2−2 2
02
22 2
.
I.D.1)SoitM∈On, les colonnes de Mforment une base orthonormale de n,alors
∀i,j∈1,n ;|mi,j|≤1et donc ‖M‖≤n2,deplusIn∈On,alorsOnest une partie non vide
bornée de l’espace vectoriel normé Mnqui est de dimension finie, alors pour montrer que c’est
un compact, il suffit de montrer que Onest fermé dans Mn.
L’application X
XtXXest continue sur Mn, car les coefficients de tXX sont
des polynômes aux coefficients de X.On−1In est donc un fermé comme image
reciproque par une application continue d’un fermé de Mn.
I.D.2)Snest un fermé de Mn, puisque sous espace vectoriel de dimension finie,
il suffit alors de montrer que Sn
est un fermé de Sn.
Soit Aqq∈ℕune suite de Sn
convergente vers A∈Sn.Montrons que A∈Sn .
Soit X∈Mn,1,l’application MtXMXest une forme linéaire continue sur Sn.
∀q∈ℕ;tXAqX≥0, alors par passage à la limite tXAX ≥0. D’où A∈Sn
.
I.D.3)SoitA∈Mn,le nombre des valeurs propres de Aest fini, alors il existe un entier non nul
Ntel que : ∀q≥N;1
q∉spAou encore A−1
NpInp∈ℕest une suite de GLnqui converge
vers A. D’où GLnest dense dans Mn.
I.D.4)SoitA∈Mn, d’aprés la question précèdente, il existe une suite Aqq∈ℕde GLnqui
converge vers A, alors d’aprés I.C.2) il existe deux suites Oqq∈ℕde Onet Sqq∈ℕde Sn
telles que : ∀q∈ℕ;AqOqSq.

Mais d’aprés I.D.1)Onest compact, alors il existe une sous suite Oqq∈ℕqui converge vers
un certain O∈On.Mais ∀q∈ℕ;SqtOqAqq→
tOA S.
Mais Sqq∈ℕest une suite de Sn
⊂Sn alors d’aprés I.D.2)S∈Sn .
Ce couple n’est pas unique, voici un contre exemple :
Odiag−1,1,1,...,1et Sdiag0,1,2,...,n−1.
O≠In,Oet Insont dans Onet S∈Sn
et OS InSS.
I.E-Soitl’application de OnSn
dans GLnpar : O,SOS.
D’aprés I.C.2) tout élèment Ade GLnadmet un et un seul antécèdent par ,alorsest
bijective. De plus est la restriction d’une application bilinéaire en dimension finie,
alors est continue.
Soit Aqq∈ℕune suite de GLn, convergente vers A∈GLn.
On pose : O,S−1Aet ∀q∈ℕ;Oq,Sq−1Aq.
∀q∈ℕ;tAqAqSq
2q→
tAA S2.
∀q∈ℕ;SqtOqAq, alors pour la norme subordonnée à la norme euclidienne de n.
‖|Sq|‖‖|Aq|‖, alors la suite Sqq∈ℕest bornée dans un espace vectoriel de dimension finie,
alors d’aprés le théorème de Bolzano-Weirstrass, cette suite admet une sous suite Sqq∈ℕ
convergente vers une certaine matrice S′∈Sn
.
La suite Sq
2q∈ℕconverge vers S2S′2qui est inversible, alors S′∈Sn
.
D’où d’aprés I.B)SS′.On vient de montrer que Sest la seule valeur d’adhérence de
la suite Sqq∈ℕ.Montrons que Sqq∈ℕconverge vers S.
Par l’absurde supposons que la suite Sqq∈ℕne converge pas vers S.
Il existe 0, et une sous suite Sqq∈ℕtelle que : ∀q∈ℕ;‖S−Sq‖≥.
D’aprés ce qui précède Sqq∈ℕest une suite bornée, donc admet une valeur d’adhérence,
qui est aussi valeur d’adhérence de la suite Sqq∈ℕ, donc ne peut être que S.
ceci est absurde car ∀q∈ℕ;‖S−Sq‖≥..
Finalement la suite Sqq∈ℕconverge vers Set par conséquent, la suite Sq
−1q∈ℕconverge vers S−1.
En effet : l’application MM−1est continue sur GLn.
La suite Oqq∈ℕAqSq
−1q∈ℕconverge alors vers AS−1O.
Finalement q→
lim −1Aq−1A,−1est séquentiellement continue sur GLndonc
continue sur GLn.
II -Deux applications
II.A- Première application
Soient A,B∈Mn.On suppose qu’il existe U∈GLnℂtelle que UU∗Inet AUBU−1.
II.A.1)U−1U∗tUUtU−1tAUtBtU.
Mais Aest réelle alors tAUtBtUUtBtUUtBU−1.
II.A.2) On note X,YlesmatricesdeMntelles que : UXiY.
a) RtdetXtYdéfinit une fonction polynôme, non nulle puisque Ri≠0, et donc admet un
nombre fini de zéros réels. D’où il existe un réel tel que : R≠0.
b) AU UB, alors en séparant parties réelles et imaginaires, on obtient : AX XB et AY YB.
c) On pose : alors PXY∈GLnet AP PB c’est à dire : APBP−1.
De même, on a : tAU UtBalors tAX XtBet tAY YtBet donc tAP PtB.

D’où APBP−1et tAPtBP−1
II.A.3)OnécritPsous la forme POS avec O∈Onet S∈Sn
.
a) APBP−1et tAPtBP−1et tPP S2.
Calculons A2de deux façons, A2PB2P−1tPtBP−1PBP−1tP−1BtPPBP−1
PB2P−1tP−1BS2BP−1.On multiplie par tPà gauche et par Pàdroite.
On obtient alors S2B2BS2B.Si Best inversible, on on a évidement BS2S2B.
Dans le cas génèral, soit un réel qui n’est pas valeur propre de B, et posons :
B′B−Inet A′A−In
Tout ce qui précède dans cette application reste vrai en remplaçant Apar A′et Bpar B′.
B′étant inversible, alors B′S2S2B′et par conséquent : BS2S2B.
Montrons maintenant que BS SB.
D’aprés I.B.3), il existe un polynôme Qtel que QS2S,d’oùBS SB.
b) D’aprés la question précèdente, BSBS−1,alorsAPBP−1OSBS−1tOOBtO.
II.B- Seconde application
Soit A∈Mn, on se propose de donner une condition nécesaire et suffisante d’existence
d’une solution X∈GLnau système : ∗
tAA tXX In
tAX −tXA 0n.
II.B.1) Supposons que le système admet une solution X∈GLn.
∀Z∈Mn,1\0;tZtAAZ tZtXXZ tZZ.
Or tXX ∈Sn
,alorstZtXXZ 0et donc ∀Z∈Mn,1\0;tZIn−tAAZ0.
In−tAA ∈Sn
,alorsspIn−tAA1−tq ∈sptAA ⊂ ∗.D’où sptAA⊂0,1.
II.B.2) On suppose dans cette question que sptAA⊂0,1.
a) D’aprés I.D.4) Tout X∈GLns’écrit d’une unique façon sous la forme : XUH
avec U,H∈OnSn
.
b) tXX H2In−tAA ∈Sn
.
Puisque In−tAA ∈Snet spIn−tAA1−tq ∈sptAA ⊂
∗.
Alors d’aprés I.B) il existe une unique matrice H∈Sn
telle que : H2In−tAA.
c) Fixons alors le Hde la question précèdente, et Posons XUH avec U∈On.
Il s’agit alors de trouver U∈Ontel que : tAUH −HtUA 0ncàd BtAUH est symétrique.
Selon I.D.4) on peut écrire AOS avec O,S∈OnSn
.Posons UO,alorsBSH.
tAA tXX InS2H2,alorsS2et H2commutent, et en appliquant la technique de I.B.3)
àSet à H,ona:SH HS, c’est à dire BtB.
III -Valeurs propres d’une matrice
Pour tout p∈ℕ∗, on pose : Ap
2−1 0 ... 0
−12−1....
.
.
0−12...0
.
.
..........−1
0 ... 0 −12
∈Mp.

Soit le polynôme réel : PpxdetxIp−Ap.
III.A-Soitp≥3. Ppx
x−2 1 0 ... 0
1x−21....
.
.
01x−2...0
.
.
..........1
0 ... 0 1 x−2
On développe suivant la première ligne.
Ppxx−2Pp−1x−
11....
.
.
0x−2...0
.
.
.......1
00 1x−2
x−2Pp−1x−Pp−2x.
III.B-Soitx∈tel que |2−x|2,2−x
2∈−1;1et l’application cosest une bijection de
0,vers −1;1, alors il existe un unique ∈0,tel que : 2−x2cos.
P1xx−2−2cos−sin2
sin;
P2xx−22−14cos2sin−sin
sin2sin2cos−sin sinsin3 sin.
Par récurrence sur p∈ℕ∗, montrons que Ppx−1psinp1
sin.
Ceci est vrai pour p∈1,2, supposons que c’est vrai pour p∈1,q−1 tel que q≥3.
Pqxx−2Pq−1x−Pq−2x−2cos−1q−1sinq
sin−−1qsinq−1 sin
Pqx−1q2cossinq
sin−sinq−1 sin−1qsinq1
sin.
N.B: On a utilisé la formule trigonométrique : 2sinacosbsinabsina−b.
III.C-Ppxsinp1
sin0si et seulement si k
p1avec k∈1,p.
Ppx0si et seulement si x21−cosk
p1 4sin2k
2p1avec k∈1,p.
Les valeurs propres de Apsont les k,p4sin2k
2p1avec k∈1,p.
III.D-Ap∈Mpet admet pvaleurs propres réelles distinctes, alors Apest diagonalisable.
Fixons k∈1,p et posons : Xk
x1,k
.
.
.
xp,k
∈Mp,1;