Corrigé MP2A

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Centrale_2013
I - Décomposition polaire d’un endomorphisme de  n
I.A - On munit  n de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit u un endomorphisme de  n , B une base orthonormale de  n et M la matrice de u dans
cette base. [ u est autoadjoint si et seulement si M est symétrique ].
De plus u et M ont le même spectre, spu  spM. supposons alors que M est symétrique.
[ u est défini positif  spu  spM ⊂  ∗  M ∈ S 
n  ].
∗
−1
I.A.2) Si S ∈ S 
est
n  alors S est symétrique et spS ⊂   , alors S est inversible et S
1
∗
−1
symétrique, et puisque S est diagonalisable, spS     tq  ∈ spS ⊂   .
D’où S −1 ∈ S 
n .
I.B - Soit u un endomorphisme de  n autoadjoint défini positif.
I.B.1) Soit v un endomorphisme de  n autoadjoint défini positif tel que v 2  u.
Soit  ∈ spu. uv  v 3  vu, alors keru − Id est stable par v. Notons v  la restriction de v à
keru − Id. Puisque v est diagonalisable, alors v  est aussi diagonalisable, et si  est une valeur
propre de v  alors il existe un vecteur non nul x de keru − Id tel que vx  x et
ux   2 x  x. Mais   0, alors    et v    Id keru−Id .
I.B.2) Puisque u est diagonalisable,  n  ⊕
∈spu
keru − Id, alors v  ⊕
∈spu
v.
C’est à dire que : ∀ ∈ spu ; ∀x ∈ keru − Id ; vx   . x
Reciproquement, pour ce v ainsi défini, on a : v ∈ £ n  et v 2  u.
u est autoadjoint, donc diagonalisable et ses sous espaces propres sont deux à deux
orthogonaux. Il existe alors une base orthonormale de  n adaptée à la somme directe,
 n  ⊕ keru − Id dans laquelle la matrice de v est diagonale à élèments diagonaux dans  ∗ .
∈spu
v est alors bien autoadjoint défini positif vérifiant : v 2  u. D’où l’existence et l’unicité de v.
I.B.3) Soient  1 ,..., p les valeurs propres distinctes de u, et m 1 , . . . , m p leurs multiplictés
respectives, il existe une base orthonormale B de  n dans laquelle la matrice de u est diagonale
( par blocs ) donnée par : M B u  diag 1 I m 1 ,  2 I m 2 , . . . ,  p I m p , alors par unicité de v, on a :
M B v  diag  1 I m 1 ,  2 I m 2 , . . . ,  p I m p .
Soient L 1 , . . . , L p les polynômes de Lagrange associés au réels  1 ,..., p .
p
C’est à dire : ∀i ∈ 1, p ; L i X 

X− j
 i − j
. on a : L i  j    i,j 
j1 ; j≠i
1 si i  j
0 si non
.
p
Posons : QX ∑
 i L i X. Q est un polynôme vérifiant : ∀i ∈ 1, p ; Q i  
i .
i1
Donc QM B u  M B v c’est à dire encore : v  Qu.
I.C - Soit A ∈ GL n .
I.C.1) t AA est symétrique, et ∀X ∈ M n,1  ; t X t AAX  t AXAX  0 pour X ≠ 0, car dans ce cas
AX ≠ 0, puisque A est inversible. D’où t AA ∈ S 
n .
t
2
I.C.2) D’aprés I.B) il existe une unique matrice S ∈ S 
n  telle que : AA  S .
Posons : O  AS −1 , t OO  S −1  t AAS −1  S −1 S 2 S −1  I n , alors O ∈ On.
t
2
−1
Reciproquement si O, S ∈ On  S 
n  tel que : A  OS, alors AA  S et O  AS .
D’où l’existence et l’unicité de O, S ∈ On  S 
n  tel que A  OS.
3
2
2
I.C.3) A 
−
−1
0
3 2 −
2
2
3 2
2
; tA 
3 2
2
3 2
3
2
2
0
3 2
−1 −
−
2
2
3 2
3 2
2
; t AA 
3 2
2
5
0
−5
0
36
0
−5
0
10
.
Notons : M  t AA et Le polynôme carctéristique de M est :
155 5
2
 M X  36 − XX 2 − 15X  25  36 − XX −
Les sous espaces propres de M sont :
15−5 5
2
.
1
0
E 36 M  
X −
; E 155 5 M  
1
; E 15−5 5 M  
0
2
−
0
; X2 
1
1 5
2
5 −1
2
1
; X3 
0
−
0
0
2
1
0
Les vecteurs X 1 
1
0
5 −1
2
1 5
2
sont deux à deux orthogonaux, alors par unicité de S, ona : S  PΔP −1 .
avec P 
0
1
1
1
0
0
0 −
S
2
0 −1
0
6
0
−1 0
3
1 5
2
155 5
2
et Δ  diag 6,
,
15−5 5
2
 diag6,
5 5
2
,
5− 5
2
.
5 −1
2
. O  AS −1 
1
0
0
2
2
0
2
2
0
−
2
2
.
2
2
I.D.1) Soit M ∈ On, les colonnes de M forment une base orthonormale de  n , alors
∀i, j ∈ 1, n ; |m i,j | ≤ 1 et donc ‖M‖ ≤ n 2 , de plus I n ∈ On, alors On est une partie non vide
bornée de l’espace vectoriel normé M n  qui est de dimension finie, alors pour montrer que c’est
un compact, il suffit de montrer que On est fermé dans M n .

L’application X  X  t XX est continue sur M n , car les coefficients de t XX sont
des polynômes aux coefficients de X. On   −1 I n  est donc un fermé comme image
reciproque par une application continue d’un fermé de M n .
I.D.2) S n  est un fermé de M n , puisque sous espace vectoriel de dimension finie,
il suffit alors de montrer que S n  est un fermé de S n .
Soit A q  q∈ℕ une suite de S n  convergente vers A ∈ S n . Montrons que A ∈ S n .
Soit X ∈ M n,1 , l’application M  t XMX est une forme linéaire continue sur S n .
∀q ∈ ℕ ; t XA q X ≥ 0, alors par passage à la limite t XAX ≥ 0. D’où A ∈ S n .
I.D.3) Soit A ∈ M n , le nombre des valeurs propres de A est fini, alors il existe un entier non nul
1
N tel que : ∀q ≥ N ; 1q ∉ spA ou encore A − Np
I n  p∈ℕ est une suite de GL n  qui converge
vers A. D’où GL n  est dense dans M n .
I.D.4) Soit A ∈ M n , d’aprés la question précèdente, il existe une suite A q  q∈ℕ de GL n  qui
converge vers A, alors d’aprés I.C.2) il existe deux suites O q  q∈ℕ de On et S q  q∈ℕ de S 
n 
telles que : ∀q ∈ ℕ ; A q  O q S q .
Mais d’aprés I.D.1) On est compact, alors il existe une sous suite O q  q∈ℕ qui converge vers
un certain O ∈ On. Mais ∀q ∈ ℕ ; S q  t O q A q  t OA  S.
q→
S 
n 
S n 
Mais S q  q∈ℕ est une suite de
⊂
alors d’aprés I.D.2) S ∈ S n .
Ce couple n’est pas unique, voici un contre exemple :
O  diag−1, 1, 1, . . . , 1 et S  diag0, 1, 2, . . . , n − 1.
O ≠ I n , O et I n sont dans On et S ∈ S n  et OS  I n S  S.
I.E - Soit  l’application de On  S 
n  dans GL n  par : O, S  OS.
D’aprés I.C.2) tout élèment A de GL n  admet un et un seul antécèdent par , alors  est
bijective. De plus  est la restriction d’une application bilinéaire en dimension finie,
alors  est continue.
Soit A q  q∈ℕ une suite de GL n , convergente vers A ∈ GL n .
On pose : O, S   −1 A et ∀q ∈ ℕ ; O q , S q    −1 A q .
∀q ∈ ℕ ; t A q A q  S 2q  t AA  S 2 .
q→
∀q ∈ ℕ ; S q  t O q A q , alors pour la norme subordonnée à la norme euclidienne de  n .
‖|S q | ‖  ‖|A q | ‖, alors la suite S q  q∈ℕ est bornée dans un espace vectoriel de dimension finie,
alors d’aprés le théorème de Bolzano-Weirstrass, cette suite admet une sous suite S q  q∈ℕ
convergente vers une certaine matrice S ′ ∈ S n .
La suite S 2q  q∈ℕ converge vers S 2  S ′2 qui est inversible, alors S ′ ∈ S 
n .
′
D’où d’aprés I.B) S  S . On vient de montrer que S est la seule valeur d’adhérence de
la suite S q  q∈ℕ . Montrons que S q  q∈ℕ converge vers S.
Par l’absurde supposons que la suite S q  q∈ℕ ne converge pas vers S.
Il existe   0, et une sous suite S q  q∈ℕ telle que : ∀q ∈ ℕ ; ‖S − S q ‖ ≥ .
D’aprés ce qui précède S q  q∈ℕ est une suite bornée, donc admet une valeur d’adhérence,
qui est aussi valeur d’adhérence de la suite S q  q∈ℕ , donc ne peut être que S.
ceci est absurde car ∀q ∈ ℕ ; ‖S − S q ‖ ≥ . .
−1
Finalement la suite S q  q∈ℕ converge vers S et par conséquent, la suite S −1
q  q∈ℕ converge vers S .
En effet : l’application M  M −1  est continue sur GL n .
−1
La suite O q  q∈ℕ  A q S −1
 O.
q  q∈ℕ converge alors vers AS
Finalement lim  −1 A q    −1 A,  −1 est séquentiellement continue sur GL n  donc
q→
continue sur GL n .
II - Deux applications
II.A - Première application
Soient A, B ∈ M n . On suppose qu’il existe U ∈ GL n ℂ telle que UU ∗  I n et A  UBU −1 .
II.A.1) U −1  U ∗  t U  U  t U −1   t A  U t B t U.
Mais A est réelle alors t A  U t B t U  U t B t U  U t BU −1 .
II.A.2) On note X, Y les matrices de M n  telles que : U  X  iY.
a) Rt  detX  tY définit une fonction polynôme, non nulle puisque Ri ≠ 0, et donc admet un
nombre fini de zéros réels. D’où il existe un réel  tel que : R ≠ 0.
b) AU  UB, alors en séparant parties réelles et imaginaires, on obtient : AX  XB et AY  YB.
c) On pose : alors P  X  Y ∈ GL n  et AP  PB c’est à dire : A  PBP −1 .
De même, on a : t AU  U t B alors t AX  X t B et t AY  Y t B et donc t AP  P t B.
D’où A  PBP −1 et t A  P t BP −1
II.A.3) On écrit P sous la forme P  OS avec O ∈ On et S ∈ S 
n .
−1
t
t
−1
t
2
a) A  PBP et A  P BP et PP  S .
Calculons A 2 de deux façons, A 2  PB 2 P −1  t P t BP −1 PBP −1  t P −1 B t PPBP −1
PB 2 P −1  t P −1 BS 2 BP −1 . On multiplie par t P à gauche et par P à droite.
On obtient alors S 2 B 2  BS 2 B. Si B est inversible, on on a évidement BS 2  S 2 B.
Dans le cas génèral, soit  un réel qui n’est pas valeur propre de B, et posons :
B ′  B − I n et A ′  A − I n
Tout ce qui précède dans cette application reste vrai en remplaçant A par A ′ et B par B ′ .
B ′ étant inversible, alors B ′ S 2  S 2 B ′ et par conséquent : BS 2  S 2 B.
Montrons maintenant que BS  SB.
D’aprés I.B.3), il existe un polynôme Q tel que QS 2   S, d’où BS  SB.
b) D’aprés la question précèdente, B  SBS −1 , alors A  PBP −1  OSBS −1t O  OB t O.
II.B - Seconde application
Soit A ∈ M n , on se propose de donner une condition nécesaire et suffisante d’existence
t
d’une solution X ∈ GL n  au système : ∗
t
t
AA  XX  I n
t
AX − XA  0 n
.
II.B.1) Supposons que le système admet une solution X ∈ GL n .
∀Z ∈ M n,1 \0 ; t Z t AAZ  t Z t XXZ  t ZZ.
t t
t
t
Or t XX ∈ S 
n , alors Z XXZ  0 et donc ∀Z ∈ M n,1 \0 ; ZI n − AAZ  0.
∗
t
t
t
I n − t AA ∈ S 
n , alors spI n − AA  1 −  tq  ∈ sp AA ⊂   . D’où sp AA ⊂ 0, 1.
II.B.2) On suppose dans cette question que sp t AA ⊂ 0, 1.
a) D’aprés I.D.4) Tout X ∈ GL n  s’écrit d’une unique façon sous la forme : X  UH
avec U, H ∈ On  S 
n .
b) t XX  H 2  I n − t AA ∈ S 
n .
Puisque I n − t AA ∈ S n  et spI n − t AA  1 −  tq  ∈ sp t AA ⊂  ∗ .
2
t
Alors d’aprés I.B) il existe une unique matrice H ∈ S 
n  telle que : H  I n − AA.
c) Fixons alors le H de la question précèdente, et Posons X  UH avec U ∈ On.
Il s’agit alors de trouver U ∈ On tel que : t AUH − H t UA  0 n càd B  t AUH est symétrique.
Selon I.D.4) on peut écrire A  OS avec O, S ∈ On  S n . Posons U  O, alors B  SH.
t
AA  t XX  I n  S 2  H 2 , alors S 2 et H 2 commutent, et en appliquant la technique de I.B.3)
à S et à H, on a : SH  HS, c’est à dire B  t B.
III - Valeurs propres d’une matrice
Pour tout p ∈ ℕ ∗ , on pose : A p 
2
−1
−1
2
0
.
..
−1 2 . . . 0
. . . . . . . . . −1
0
...
0
...
−1 . . .
0
−1
0
.
..
2
∈ M p .
Soit le polynôme réel : P p x  detxI p − A p .
III.A - Soit p ≥ 3. P p x 
x−2
1
0
1
x−2
1
0
.
..
1
.. .
0
...
...
.. .
0
.
..
x − 2 .. .
0
.. . .. .
1
0
1 x−2
On développe suivant la première ligne.
.. .
.
..
0 x − 2 .. .
.
.. . . . . . .
0
1
P p x  x − 2P p−1 x −
1
0
0
 x − 2P p−1 x − P p−2 x.
1
x−2
1
III.B - Soit x ∈  tel que |2 − x|  2, 2−x
∈ − 1; 1 et l’application   cos est une bijection de
2
0,  vers  − 1; 1, alors il existe un unique  ∈0,  tel que : 2 − x  2 cos.
sin2
P 1 x  x − 2  −2 cos  − sin ;
P 2 x  x − 2 2 − 1 
4 cos 2  sin−sin
sin
∗
Par récurrence sur p ∈ ℕ , montrons
2 sin2 cos−sin
sin3
 sin .
sin
sinp1
que P p x  −1 p sin .

Ceci est vrai pour p ∈ 1, 2, supposons que c’est vrai pour p ∈ 1, q − 1 tel que q ≥ 3.
sinq
sinq−1
P q x  x − 2P q−1 x − P q−2 x  −2 cos−1 q−1 sin − −1 q sin
P q x  −1 q 2 cos
sinq
sin
−
sinq−1
sin
 −1 q
sinq1
sin
.
N.B : On a utilisé la formule trigonométrique : 2 sina cosb  sina  b  sina − b.
III.C - P p x 
sinp1
sin
 0 si et seulement si  
P p x  0 si et seulement si x  21 − cos
k
p1
k
p1
avec k ∈ 1, p.
k
  4 sin 2  2p1
 avec k ∈ 1, p.
k
Les valeurs propres de A p sont les  k,p  4 sin 2  2p1
 avec k ∈ 1, p.
III.D - A p ∈ M p  et admet p valeurs propres réelles distinctes, alors A p est diagonalisable.
x 1,k
.
Fixons k ∈ 1, p et posons : X k 
.
.
x p,k
∈ M p,1  ;
k
2x 1,k − x 2,k  4 sin 2  2p1
x 1,k
k
−x 1,k  2x 2,k − x 3,k  4 sin 2  2p1
x 2,k
A p X k   k,p X k 
.
...
k
−x p−2,k  2x p−1,k − x p,k  4 sin 2  2p1
x p−1,k
k
−x p−1,k  2x p,k  4 sin 2  2p1
x p,k
k
x 2,k  2 cos p1
x 1,k
k
x 1,k  x 3,k  2 cos p1
x 2,k
A p X k   k,p X k 
.
...
k
x p−2,k  x p,k  2 cos p1
x p−1,k
k
k
 et pour 3 ≤ q ≤ p : x q,k − 2 cos p1
x q−1,k  x q,k  0.
On prend x 1,k  1 ; x 2,k  2 cos p1
L’équation caractéristique de cette suite est :
k
k
k
t 2 − 2t cos p1
  1  0  t − expi p1
t − exp−i p1
.
k
x q,k   k cos q p1
k
  k sin q p1
x 1,k   k cos
k
p1
  k sin
k
p1
1
x 2,k   k cos
2k
p1
  k sin
2k
p1
k
 2 cos p1

k
p1
− sin
sin
k
p1
cos
k
p1
1
k
2 cos p1
 sin
2k
p1
cos
2k
p1
k
2 cos p1

Δ  sin
2k
p1
cos
1
k 
x q,k 
.
sin
k
sin q p1
sin
k
p1
k
p1
k
p1
cos
2k
p1
 sin
 0 et  k 
k
p1
sin
.
k
p1

1
sin
k
p1
.
.
k
Donc un vecteur propre associé à la valeur propre  k,p  4 sin 2  2p1
 avec k ∈ 1, p est
sin
Zk 
k
p1
k
sin 2 p1
.
..
.
k
sin p − 1 p1
k
sin p p1
IV - Soit f une forme linéaire sur M n .
IV.A - On muni M n  du produit scalaire,  X, Y  Tr t XY.
Il existe une unique matrice A ′ ∈ M n  telle que : ∀M ∈ M n  ; fM   A ′ , M   Tr t A ′ M.
La matrice A  t A ′ répond bien à la question.
IV.B.1) - f est une forme linéaire sur l’espace vectriel normé de dimension finie M n  donc
continue, en particulier continue sur le compact On à valeurs réelles, donc bornée et atteint
ses bornes sur On.
D’où l’existence de M n  sup fO, O ∈ On.
IV.B.2) t AA est symétrique positive.
IV.B.3) D’aprés I.D.4) il existe O 1 , S 1  ∈ On  S n  tel que : A  O 1 S 1 . alors t AA  S 21 .
S 1 est diagonalisable par une matrice orthogonale T et S 1  TD t T où D  diag  1 , . . . ,  n .
 fO, O ∈ On  TrAO, O ∈ On  TrO 1 TD t TO, O ∈ On
 fO, O ∈ On  TrD t TOO 1 T, O ∈ On. ( ∀X, Y ∈ M n  ; TrXY  TrYX )
L’application O  t TOO 1 T est une bijection de On vers On.
Alors : fO, O ∈ On  TrD,  ∈ On.
D’où M n  supTrD,  ∈ On.
n
n
IV.B.4) Soit  ∈ On ;    i,j  1≤i,j≤n . TrD ∑
 k  k,k ≤∑
k1
k1
 k , car ∀k ∈ 1, n ;  k,k ≤ 1,
puisque les colonnes de  sont de norme 1. Mais ce majorant est atteint pour   I n .
n
D’où M n  supTrD,  ∈ On ∑
k .
k1
IV.C - Dans cette question, f désigne la forme linéaire définie par :
n
n
∀M ∈ M n  ; fM ∑∑ m i,j .
j1 ij
1
IV.C.1) A 
1
... 1
0 1 ...
.
.. . . . . . .
1
.
..
0 ...
1
0
1 si i ≤ j
 a i,j  1≤i,j≤n avec a i,j 
0 si non
IV.C.2) Soient B 0  e 1 , . . . , e n  la base canonique de  n et w l’endomorphisme de  n de matrice A
j
dans la base canonique. ∀j ∈ 1, n ; we j  ∑ e k pour j ≥ 2, we j  − we j−1   we j − e j−1   e j .
−1
k1
−1
D’où w e 1   e 1 et pour j ≥ 2, w e j   e j − e j−1 .
2
IV.C.3) Posons T  A −1 t A −1 
−1
... 0
.
−1 2 −1 . . . ..
0 −1 . . . . . . 0
.
.. . . . . . . 2 −1
0
Le polynôme caractéristique de T est :
...
0
0
−1
1
.
x−2
1
0
1
x−2
0
.
..
1
.. .
1
.. .
0
...
Q n x  detxI n − T 
...
.. .
0
.
..
.. .
0
.. . x − 2
0
.
1
x−1
1
Utilisons encore les notations et les résultats de la partie III.B)
Pour n ≥ 3, développons suivant la dernière colonne : Q n x  x − 1P n−1 x − P n−2 x.
Posons encore 2 − x  2 cos avec  ∈0, .
sinn
sinn−1
Q n x  1 − 2 cos−1 n−1 sin − −1 n sin
Q n x 
−1 n
sin
2 sinn cos − sinn − sinn − 1
Q n x 
−1 n
cosn 12 
sinn  1 − sinn  −1 n
sin
cos 2 
.

2k
Q n x  0  n  12   2  k. k ∈ 0, n − 1    2n1
 2n1
. k ∈ 0, n − 1.
−1 t −1
Les valeurs propres de A A sont les
2k1
2k1
2n−k
n−k
 n−k  21 − cos 2n1   21  cos − 2n1   21  cos 2n1   4 cos 2  2n1 .
k
 pour k ∈ 1, n.
Les valeurs propres de A −1 t A −1 sont les  k  4 cos 2  2n1
IV.C.4) D’aprés la question précèdente, les valeurs propres de t AA sont les
k 
n
1
k 
4 cos 2  2n1
IV.C.5) ∀x ∈0,
n
1
2
∑
k1
pour k ∈ 1, n. D’où selon IV.B.4) M n ∑
 k ∑
k1
k1

2
 ; sinx  cos 2 − x et x −
n
≤ M n ∑
1
2k−1
 22n1 
k1
n
≤
1
2k−1
2 sin 22n1 
Sn 
1
2
k1
n 
∑∑
1
2
∑
1
6p
x3
6
2k−1
22n1
≤ sinx ≤ x et x −
1
2k−1
1− 16  22n1  2 
2k−1
 22n1  2p−1 
k1 p0
n
D’une part :
1
2
n
∑
k1
1
2k−1
 22n1 
D’autre part, 0 ≤ T n 

∑∑
k1 p1
Finalement M n 
n→
n

lnn .
∑
1
2k−1

n
n 12

∑
k1
n 
1
2
k1
n
2n1

1
6p

∑
2k−1
22n1

2p−1
≤
k1

n

∑
p1
1
k− 12
2
24
x3
6
≥ x1 −
 Sn
n
1
2
1
k 
2 cos 2n1
1
2k−1
 22n1 

n→
p
n

 Tn
lnn.
 ∘  n lnn.
n→
.
2
24
  0.