Séminaire Mulhousien de Mathématiques Université de Haute

S´eminaire Mulhousien de Math´ematiques
Universit´e de Haute-Alsace Vendredi 8 f´evrier 2008
Valeurs zˆeta multiples, d’Euler `a nos jours.
Michel Waldschmidt
http://www.math.jussieu.fr/⇠miw/
Mise `a jour : 4 F´evrier, 2008
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P´eriodes : Maxime Kontsevich et Don Zagier
Une p´eriode est un nombre
complexe dont les parties
r´eelles et imaginaires sont
les valeurs d’int´egrales
absolument convergentes
de fractions rationnelles
`a c o e fficients rationnels
sur des domaines de Rn
d´efinis par des (in)´egalit´es
polynomiales `a coefficients rationnels.
Periods,Mathematics unlimited—2001 and beyond,
Springer 2001, 771–808.
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Exemples de p´eriodes
p2=Z2x21
dx
et tous les nombres alg´ebriques,
log 2 = Z1<x<2
dx
x
et tous les logarithmes de nombres alg´ebriques,
⇡=Zx2+y21 dxdy,
⇡2
6=⇣(2) = X
n1
1
n2=Z1>t1>t2>0
dt1
t1·dt2 1t2·
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⇣(2) est une p´eriode
Z1>t1>t2>0
dt1
t1·dt2 1t2
=Z1
0✓Zt1 0
dt2
1t2◆dt1 t1
=Z1
0 Zt1 0X
n1
tn1
2dt2!dt1
t1
=X
n1
1
nZ1
0
tn1
1dt1
=X
n1
1
n2=⇣(2).
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⇣(s)est une p´eriode
Pour sentier 2,
⇣(s)=Z1>t1>t2···>ts>0
dt1
t1···dts1 ts1·dts 1ts·
R´ecurrence :
Zt1>t2···>ts>0
dt2
t2···dts1 ts1·dts 1ts
=X
n1
tn1
1
ns1·
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Relations entre p´eriodes
1
Additivit´e
Zb
af(x)+g(x)dx =Zb a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx
et Zb
a
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx +Zb
c
f(x)dx.
2
Changement de variables
Z'(b)
'(a)
f(t)dt =Zb
a
f'(u)'0(u)du.
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Relations entre p´eriodes
3
Newton–Leibniz–Stokes
Zb
a
f0(t)dt =f(b)f(a).
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Conjecture de Kontsevich et Zagier
Periods,
Mathematics unlimited—
2001 and beyond,
Springer 2001, 771–808.
Conjecture (Kontsevich–Zagier). Si une p´eriode a deux
repr´esentations, on peut passer de l’une `a l’autre en
utilisant uniquement les r`egles 1 , 2 et 3dans lesquelles
toutes les fonctions et les domaines d’int´egration sont
alg´ebriques avec des coefficients alg´ebriques.
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Exemples
⇡=Zx2+y21 dxdy =2Z1
1
p1x2dx
=Z1
1
dx
p1x2=Z1
1
dx
1+x2
=22
7Z1
0
x4(1 x4)dx
1+x2=4Z1
0
dx
1+x2·
Cons´equences spectaculaires :
Il n’y a pas de “nouvelle” relation de d´ependance
alg´ebrique entre les constantes classiques de l’analyse.
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Fonction zˆeta de Riemann
⇣(s)= X
n1
1
ns
=Y
p
1
1ps
Euler : s2R. Riemann : s2C.
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Valeurs sp´eciales de la fonction zˆeta
s2Z:
Jacques Bernoulli
(1654–1705),
Leonard Euler (1739).
⇡2k⇣(2k)2Qpour k1(Nombres de Bernoulli).
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Nombres de Bernoulli
t
et1=1t 2+X
n1
(1)n+1Bn
t2n
(2n)!·
B1=1
6,B2=1 30,B3=1 42,B4=1 30,B5=5 66 ...
⇣(2n)=2
2n1Bn
(2n)!⇡2n(n1).
⇣(2) = ⇡2
6,⇣(4) = ⇡4 90,⇣(6) = ⇡6 945,⇣(8) = ⇡8 9450·
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D´emonstration de ⇣(2) = ⇡2/6`a l a E u l e r
La somme des inverses des racines d’un polynˆome
1+a1z+a2z2+···+anzn
est a1.
On ´ecrit sin x
x=1x2 3! +x4 5! x6 7! +···
Posons z=x2. Les z´eros de la fonction
sin pz
pz=1z
3! +z2 5! z3 7! +···
sont ⇡2,4⇡2,9⇡2,...donc la somme des inverses de ces
nombres est X
n1
1
n2⇡2=1 6·
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Justification
sin x
x=Y
n1✓1x2
n2⇡2◆.
Mais si
f(x)=1+a1x+···,
alors pour tout 2Con a
exf(x)=1+(a1+)x+···
et les deux fonctions f(x),exf(x)ont les mˆemes z´eros.
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Introductio in analysin infinitorum
Leonhard Euler
(1707 – 1783)
Introductio in analysin infinitorum
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S´eries divergentes
Euler :
11+11+11+···=1
2
⇣(0) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ···=1
2
⇣(1)=1+2+3+4+5+···=1
12
⇣(2) = 12+2
2+3 2+4 2+5 2+···=0.
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S´eries divergentes d’Euler
Pour 1<x<1on a
1+x+x2+x3+···=1+ x
1x=1 1x·
Le membre de gauche en x=1vaut 1/2. D’o`u la valeur
1/2attribu´ee par Euler `a la somme infinie divergente
S=11+11+···
On obtient la mˆeme valeur S=1/2en ´ecrivant
S1=S.
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⇣(0) = 1 + 2 + 3 + 4 + ···=1/12
On d´erive la relation
1+x+x2+x3+···=1
1x·
Donc pour 1<x<1
1+2x+3x2+4x3+···=1
(1 x)2·
Le membre de droite au point x=1prend la valeur 1/4.
Euler ´ecrit que
B=12+34+5+···
est ´egal `a 1/4.
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A=⇣(0) = 1 + 2 + 3 + 4 + ···=1/12
Rappelons
B=12+34+5+···=1
4
On soustrait Aet 4A
A=1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ ···
4A=4+ 8+ 12+ ···
3A= 12+ 34+ 56+ 7··· =B
Donc
A=1
12·
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Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)
Lettre de Ramanujan
`a M.J.M. Hill le 12 novembre 1912
1+2+3+···+1=1
12
12+2
2+3 2+···+12=0
13+2
3+3 3+···+13=1
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