2 PGCD, PPCM - Christophe Bertault

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ARITHMÉTIQUE DES ENTIERS RELATIFS
1 DIVISIBILITÉ,DIVISION EUCLIDIENNE
ET CONGRUENCES
1Vrai ou faux ? Justifier. Soient d,n,a∈Z.
1) 45 possède 12 diviseurs.
2) Si : n≡1[3], alors nest impair.
3) Si aet bsont divisibles par d, alors ab l’est par
d2.
4) Pour tous p,q∈P, si : q−p=3, alors :
p=2 et q=5.
5) Si : d|n2, alors : d|n.
6) Si : a2≡1[n], alors : a≡ ±1[n].
7) Si : 4a≡4b[13], alors : a≡b[13].
8) Si : 4a≡4b[6], alors : a≡b[6].
9) Si : n≡ ±1[8], tout diviseur de nest lui
aussi congru à ±1 modulo 8.
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2Montrer que 2123 +3121 est divisible par 11.
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3Montrer que n(n+2)(7n−5)est divisible par 6
pour tout n∈Z.
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4Calculer le reste de la division euclidienne :
1) de 32189 par 25. 2) de 55970321 par 8.
3) de 12344321 [phone] par 7.
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51) Pour quels entiers n∈Zest-il vrai que n+1
divise n+7 ?
2) Pour quelles valeurs de n∈Zl’entier :
n2+ (n+1)2+ (n+3)2
est-il divisible par 10 ?
3) Trouver tous les nombres premiers ppour
lesquels 3p+4 est un carré parfait.
4) Pour quels n∈Zle produit n(n+2)est-il
une puissance de 2 ?
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6Montrer que pour tout p∈P\2, 3:
p2≡1[24].
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7Montrer que pour tous n∈N∗et a,b∈Z, si :
a≡b[n], alors : an≡bnn2.
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8Montrer que pour tous a∈Zimpair et n∈N:
a2n≡12n+1.
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9Soient x,y,z∈Z.
1) Montrer que x2+y2est divisible par 7 si et seule-
ment si xet yle sont.
2) Montrer que si x3+y3+z3est divisible par 7,
alors x,you zaussi.
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10 Soit (un)n∈Nune suite réelle sous-additive,
i.e. telle que pour tous m,n∈N:um+n¶um+un.
On pose : A=nun
non∈N∗.
1) On suppose Aminoré et on pose : a=inf A.
a) Soient n,N∈N∗. On introduit la division eu-
clidienne de npar N:n=Nq +ravec
q∈Net r∈¹0, N−1º. Montrer qu’alors :
un
n¶uN N+ur n.
c) En déduire l’égalité : lim
n→+∞
un
n=a.
2) Montrer que : lim
n→+∞
un
n=−∞ dans le cas
où An’est pas minoré.
En résumé, la limite : lim
n→+∞
un
nexiste toujours. Ce
résultat est appelé le (lemme sous-additif de Fekete).
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2 PGCD, PPCM
ET NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
11 1) Montrer que n+1 et 2n+1 sont premiers entre
eux pour tout n∈N.
2) En déduire, grâce à 2n+1
n+1, que n+1 divise
2n
npour tout n∈N.
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12 1) Montrer que ln 6
ln 7 est irrationnel.
2) Montrer que ln a
ln best irrationnel pour tous a,b¾2
premiers entre eux.
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13 1) Calculer : n3+3n2−5∧(n+2)pour
tout n∈Z.
2) Montrer que pour tout n∈Z:
n4+3n2−n+2∧n2+n+1= (n−2)∧7.
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14 Simplifier : (a+b)∧(a∨b)pour tous
a,b∈Z.
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15 Montrer que pour tous a,b∈N∗:
Ua∩Ub=Ua∧b.
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16 Soient a,b∈N∗premiers entre eux.
1) Pour tout k∈N, on note rkle reste de la division
euclidienne de akpar b. Pourquoi l’application
k7−→ rkn’est-elle pas injective de Ndans N?
2) En déduire que pour un certain n∈N∗:
an≡1[b].
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17 Pour tout n∈N∗, on note div+(n)l’ensemble
des diviseurs positifs de n.
Soient a,b∈N∗premiers entre eux. Montrer que l’ap-
plication §div+(a)×div+(b)−→ N
(k,l)7−→ kl est bijective
de div+(a)×div+(b)sur div+(ab).
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18 Soient a1,...,ar∈N∗premiers entre eux
deux à deux et b∈Z.
1) Montrer que les entiers Y
1¶i¶r
i6=k
ai,kdécrivant ¹1, rº,
sont premiers entre eux dans leur ensemble.
2) En déduire qu’il existe une et une seule famille
d’entiers (y,x1,...,xr)telle que :
b
a1...ar
=y+
r
X
k=1
xk
ak
avec : 0 ¶xi<aipour tout i∈¹1, rº.
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19 On dira qu’une partie non vide Ede N∗est sympathique
si pour tous x,y∈E:x+y
x∧y∈E.
1) Montrer que toute partie sympathique contient
2 et que 2est une partie sympathique.
2) Déterminer toutes les parties sympathiques
qui contiennent 1.
3) Soit Eune partie sympathique non ré-
duite à 2et ne contenant pas 1.
On pose : m=min E\2.
a) Montrer que mest impair.
b) Montrer que Econtient tous les entiers im-
pairs plus grands que m.
c) Montrer que Econtient 2N∗.
d) En déduire E.
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3 VALUATIONS p-ADIQUES
20 Soit n∈N∗. Montrer que si nest à la fois un
carré parfait et un cube parfait, alors il est la puissance
sixième d’un entier.
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21 Soient a,b∈N∗. Montrer que si a2divise b2, alors
adivise b.
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22 Montrer que pour tous a,b,n∈N∗:
(a∧b)n=an∧bn.
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23 Soient a,b∈Net k¾2 entier. Si aet bsont
premiers entre eux et si ab est la puissance kème d’un
entier, montrer que aet bsont eux-mêmes des puis-
sances kèmes d’entiers.
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24 1) Montrer que pour tous p∈Pet n∈N:
vpn!=
+∞
X
k=1n
pk(formule de Legendre),
où la somme est faussement infinie car pour tout
k∈N∗:n
pk=0 dès que pk>n.
2) Par combien de zéros l’entier 100! s’achève-t-il ?
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25 Déterminer tous les entiers n∈N∗pour les-
quels 2ndivise 3n−1.
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4 NOMBRES PREMIERS
26 Pour tout n∈N∗, on note pnle nème nombre
premier. Montrer que pour tout n¾2 : pn+1<p1...pn.
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27 Soient a¾2 et n¾2. On suppose an−1 premier.
1) Proposer une factorisation non triviale de
an−1 en produit de deux entiers, puis montrer
que : a=2.
2) Montrer de même que nest premier.
Pour tout p¾2, l’entier Mp=2p−1 est appelé le
pème nombre de Mersenne. Tous ne sont pas premiers,
par exemple : M11 =23 ×89.
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28 1) a) Factoriser a2n+1+b2n+1par a+bpour
tous n∈Net a,b∈C.
b) Pour tout n∈N∗, montrer que si 2n+1
est premier, alors nest une puissance de 2.
Pour tout n∈N, l’entier Fn=22n+1 est appelé le nème
nombre de Fermat. On peut vérifier que F0,F1,F2,F3,F4
sont premiers et on conjecture que ce sont là les seuls
nombres de Fermat premiers. Les nombres de Fermat
premiers jouent un rôle étonnant dans le problème de
la constructibilité à la règle et au compas des polygones
réguliers.
2)
a) Montrer que pour tout n∈N:
Fn+1=F0...Fn+2.
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b) En déduire que Fmet Fnsont premiers entre
eux pour tous m,n∈Ndistincts.
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29 1) a) Montrer que tout entier naturel congru à 3
modulo 4 possède au moins un diviseur pre-
mier congru à 3 modulo 4.
b) Montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 3 modulo 4.
2) Montrer qu’il existe une infinité de nombres pre-
miers congrus à 5 modulo 6.
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30 Soit p∈P.
1) Montrer que :
∀y∈¹1, p−1º,∃!x∈¹1, p−1º/x y ≡1[p].
2) En déduire le théorème de Wilson :
(p−1)!≡ −1[p].
3) On suppose pimpair. Montrer que :
p−1
2!2≡(−1)p+1
2[p].
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5 ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
31 Résoudre les équations suivantes d’inconnue
(x,y)∈N2:
1) §x∧y=3
x+y=21.
2) (x∧y) + (x∨y) = 2x+3y.
3) x∨y=x+y−1.
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32 Résoudre les équations suivantes d’inconnue (x,y)∈Z2:
1) 9x2−y2=32.
2) x2−2y2=3 en raisonnant modulo 8.
3) 15x2−7y2=9 en raisonnant mo-
dulo 3.
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33 Soient a,b∈Zet n∈N∗. On s’intéresse à
l’équation : ax ≡b[n]Æd’inconnue x∈Z.
1) Montrer que Æn’a pas de solution si bn’est pas
un multiple de a∧n.
2) On suppose à présent que a∧ndivise b.
a) Montrer, grâce à une relation de Bézout de a
et n, que Æpossède une solution x0.
b) Résoudre alors Æ.
3) Résoudre l’équation : 7x≡3[17]d’incon-
nue x∈Z.
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34 Soient a,b,c∈Z,(a,b)6= (0, 0). On s’inté-
resse à l’équation : ax +b y =cÆd’inconnue
(x,y)∈Z2.
1) Montrer que Æn’a pas de solution si cn’est pas
un multiple de a∧b.
2) On suppose à présent que a∧bdivise c.
a) Montrer, grâce à une relation de Bézout de a
et b, que Æpossède une solution (x0,y0).
b) Résoudre alors Æ.
3) Résoudre les équations d’inconnue (x,y)∈Z2:
a) 7x−12 y=3. b) 20x−53 y=3.
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35 Résoudre le système : §x≡1 mod 5
x≡2 mod 11
d’inconnue x∈Z.
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36 On veut résoudre l’équation : x2+y2=3z2
Æd’inconnue (x,y,z)∈N3.
1) En raisonnant modulo 4, montrer que pour toute
solution (x,y,z)de Æ,x,yet zsont pairs.
2) En déduire les solutions d’Æ.
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37 Montrer que l’équation : 2n+1=m3d’in-
connue (m,n)∈N2n’a pas de solution.
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38 On veut résoudre l’équation : xy=yx
d’inconnue (x,y)∈N∗.
1) Soient x,y∈N∗. On suppose que : x¶yet
xy=yx. Montrer que xdivise yen étudiant
leur PGCD.
2) Conclure.
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39 Résoudre l’équation : y3=x2+xd’in-
connue (x,y)∈Z2.
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40 Résoudre l’équation : x2+px =y2d’in-
connue (x,y)∈N2pour tout p∈P.
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41 Pour montrer que l’équation : y2=x3+7
d’inconnue (x,y)∈Z2n’a pas de solution, on suppose
par l’absurde qu’elle en possède une (x,y).
1) Montrer que xest impair.
2) Factoriser x3+8. En déduire que y2+1 possède
un facteur premier pcongru à 3 modulo 4.
3) Calculer yp−1modulo pde deux manières diffé-
rentes, puis conclure.
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